天津部分区县高三第一次模拟考试(数学)

1/10天津部分区县2007年高三年级第一次模拟考试数学（理工类）试题本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代号选出涂在答题卡上.资料个人收集整理，勿做商业用途1．复数22)1(ii=（）A．2B．－2iC．－2D．2i2．下列函数中，不存在反函数的是（）A．)1(12xxyB．)0(43xxxyC．)32(sinxxyD．)1(4)0(1xxxxy3．已知△ABC中，点D在BC边上，且srACsABrCDBDCD则,,2的值是（）A．32B．34C．－3D．04．与圆1)2(22yx相切，且在两坐标轴上截距相等的直线共有（）A．2条B．3条C．4条D．6条5．设函数0)(02),10()(xfbaxbaxxf是则恒成立的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件6．已知双曲线12222byax的左、右焦点分别为F1、F2，点P在双曲线上，且||5||21PFPF，则此双曲线的离心率e的最大值为（）A．34B．32C．35D．02/107．数列}{na满足}{,1),1(2121nnnnaSanNnaa是数列且的前n项和，则S21为（）A．29B．211C．6D．108．已知两个不同的平面、和两条不重合的直线m、n，有下列四个命题①若nmnm则,,//②若//,,则mm③则若,,//,nnmm④nmnm//,,//则若其中正确命题的个数是（）A．0个B．1个C．2个D．3个9．一排共有8个座位，甲、乙、丙三人按如下方式入坐：每人左、右两旁都有空座位，且甲必须在另两人之间，则不同的坐法共有（）资料个人收集整理，勿做商业用途A．8种B．24种C．40种D．120种10．已知定义在R上的函数)(xfy满足下列三个条件：①对任意的Rx都有)()4(xfxf；②对于任意的)()(,202121xfxfxx都有；③)2(xfy的图象关于y轴对称；则下列结论中，正确的是（）A．)7()5.1()5.4(fffB．)5.1()7()5.4(fffC．)5.1()5.4()7(fffD．)5.4()7()5.1(fff二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.把答案填在题中横线上.11．已知xx2sin,53)4sin(则的值为.12．在)12(3xx的展开式，只有第5项的二项式系数最大，则展开式中常数项为.（用数字作答）13．某市某类型的出租车，规定3公里内起步价8元（即行程不超过3公里，一律收费8元），若超过3公里，除起步价外，超过部分再按1.5元/公里收费计价，若乘客与司机约定按四舍五入以元计费不找零钱，下车后乘客付了16元，则乘客车乘车里程的范围是资料个人收集整理，勿做商业用途200704123/10（单位：公里）14．一个三棱锥的三个侧面中有两上是等腰直角三角形，另一个是边长为l的正三角形，则这个三棱锥的体积为（写出一个可能的值即可）.资料个人收集整理，勿做商业用途15．已知34224,21,22xxxxxxxRx由不等式，…启发我们可以得到推广结论：aNnnxaxn则),(1=.16．已知函数)(|2|)(2Rxbaxxxf，给出下列命题：①)(xf不可能为偶函数；②当f(0)=f(2)时，)(xf的图象必关于直线1x对称③),[)(,02axfba在区间则若上是增函数；④)(xf有最小值2ab；其中正确命题的序号是.（把你认为正确命题的序号都填上）三、解答题：本大题共6小题，共76分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．（本小题满分12分）)0,0(),sin,(cos),sin)1(,(cosba设是平面上的两个向量，且baba与互为垂直.（1）求的值；（2）若tan,34tan,54求ba的值.18．（本小题满分12分）甲、乙、丙三位大学毕业生，同时应聘一个用人单位，其能被中的概率分别为52、43、31，且各自能否被选中是无关的.（1）求3人都被选中的概率；（2）求只有2人被选中的概率；（3）3人中有几个人被选中的事件最易发生？200704124/1019．（本小题满分12分）如图，直三棱柱A1B1C1—ABC中C1C=CB=CA=2，AC⊥CB.D、E分别为棱C1C、B1C1的中点.资料个人收集整理，勿做商业用途（1）求点B的平面A1C1CA的距离；（2）求二面角B—A1D—A的大小；（3）在线段AC上是否存在一点F，使得EF⊥平面A1BD？若存在，确定其位置并证明结论；若不存在，说明理由.20．（本小题满分12分）已知函数axaxxxf(3232)(22R）.（1）当41||a时，求证：)1,1()(在xf内是减函数；（2）若函数)(xfy在区间（－1，1）内有且只有一个极值点，求a的取值范围.21．（本小题满分14分）已知双曲线12222byax的右焦点是F，右顶点是A，虚轴的上端点是B，346AFAB，150BAF.（1）求双曲线的方程；（2）设Q是双曲线上的点，且过点F、Q的直线l与y轴交于点M，若02QFMQ，求直线l的斜率.22．（本小题满分14分）设,2)0()0()],([)(),10,(22)(111nnnnnffaxffxfxxf且为常数（).Nn（1）求1a的值；（2）求证：数列}{na是等比数列;（3）设数列}{na的前n项和为121221,,aTbbbTnSabSnnnnnnn与试比较的大小.5/10参考答案一、选择题：1．C2．D3．D4．C5．B6．B7．A8．D9．A10．D二、填空题：11．25712．713．)326,8[（单位：公里）14．123,122,242中的一个15．nn16．③三、解答题17．解：（1）由题设，得2222222sincossin)1(cos||||)()(bababa=222sinsin)1(…………2分0,0sin,00sin)2(0sinsin)1(22222又即垂直与因为baba02故故的值为2.…………6分（2）)sin,(cos),sin,(cos,bababa垂直时与)cos(sinsincoscosba…………8分02,0,54)cos(则43)tan(,53)sin(…………10分247tan)tan(1tan)tan(])tan[(tan…………12分6/1018．解：记甲、乙、丙都被选中的事件分别为A、B、C则31)(,43)(,52)(CPBPAP…………2分（1）∵A、B、C是相互独立事件∴3人都被选中的概率为：101314352)()()()(1CPBPAPCBAPP…………4分（2）三种情形：①甲未被选中，乙、丙被选中，概率为)()()()(CPBpAPCBAP2033143)521(…………5分②乙未被选中，甲，丙被选中，概率为)()()()(CPBPAPCBAP30131)431(52…………6分③丙未被选中，甲、乙被选中，概率为)()()()(CPBPAPCBAP51)311(4352…………7分以上三种情况是互斥的。因此，只有两人被选中的概率为：6023513012032P…………8分（2）三人中都不被选中的概率为)()()()(3CPBPAPCBAPP101)311()431()521(…………10分三人中有且只有一人被选中的概率为125)1016023101(1)(13214PPPP…………11分1016023125∴三人中只有一人被选中的概率最大，此事件最易发生.…………12分19．解（1）∵A1B1C1—ABC为直三棱柱∴CC1⊥底面ABC∴CC1⊥BC∵AC⊥CB∴BC⊥平面A1C1CA…………2分∴BC长度即为B点到平面A1C1CA的距离∵BC=2∴点B到平面A1C1CA的距离为2…………4分（2）分别延长AC，A1D交于G过C作CM⊥A1G于M，连结BM∵BC⊥平面ACC1A1∴CM为BM在平面A1C1CA的内射影7/10∴BM⊥A1G∴∠CMB为二面角B—A1D—A的平面角…………6分在平面A1C1CA中，C1C=CA=2，D为C1C的中点∴CG=2，DC=1在直角三角形CDG中，5tan,552CMBCM即二面角B—A1D—A的大小为5arctan…………8分（3）在线段AC上存在一点F，使得EF⊥平面A1BD其位置为AC中点，证明如下…………9分∵A1B1C1—ABC为直三棱柱∴B1C1//BC∵由（1）BC⊥平面A1C1CA，∴B1C1⊥平面A1C1CA∵EF在平面A1C1CA内的射影为C1F∵F为AC中点∴C1F⊥A1D∴EF⊥A1D…………11分同理可证EF⊥BD∴EF⊥平面A1BD…………12分∵E为定点，平面A1BD为定平面∴点F唯一20．解：（1）41||,342)(2aaxxxf且…………2分0)41(4)1(0)41(4)1(afaf…………4分又函数)(xf的图象的对称轴)1,1(ax，.)1,1()(0)(,)1,1(内是减函数在故恒有内在区间xfxf（2）设极值点为0)(),11(000xfxx0)(,)1,(,0)(),1(0)41(4)1(0)41(4)1(,4100xfxxfxafafa内在内在时当.)1,(,),1()(00内是减函数在内是增函数在即xxxf8/10点内有且只有一个极大值在时当)1,1()(,41xfa…………8分)1,1()(,,41在同理可知时当xfa内有且只有一个极小值点…………10分)(,)1(,4141xfa可知由时当在（－1，1）内没有极值点.…………11分故所求a的取值范围是),41()41,(…………12分21．解：（1）由条件知A（a，0），B（0，b），F（c，0）23150cos)()(||||cos346)()0,(),(caacccaaAFABAFABBAFcaaacbaAFAB22346)(,23ccaaca中得代入…………4分2,6222acba若双曲线的方程为12622yx…………2分（2）∵点F的坐标为)0,22(…………7分∴可设直线l的方程为22(xky）即)22,0(kM…………8分设Q（m，n），则由02QFMQ得)0,0(),22(2)22,(nmnm…………10分)0,0()22,24(nkm即knm2224即…………12分9/10639,121312)22(6)24(12622222kkknm得故直线l的斜率为639…………14分22．解：（1）22)0(1f…………1分42)0()0(2111ffa…………4分（2）)0(22)]0([)0(1111ffffn…………5分nnnnnnnnaffffffa22)0()