金融数学课件--(10)利率的期限结构

1利率的期限结构termstructureofinterestrate孟生旺中国人民大学统计学院2利率的期限结构（termstructureofinterestrate）：利率和与之相联系的到期期限之间的关系。如果通过利率的期限结构，发现一项资产的定价过高或者过低，就有可能从中获得无风险收益，即套利（arbitrage）。本章主要内容：到期收益率远期利率即期利率套利3到期收益率到期收益率（yieldtomaturity）：资产的内部报酬率，是使得该项资产未来现金流的现值与其价格相等的利率。0(1)tttyCP4到期日年息票率年实际收益率债券的价格12%5.0%97.142925%5.5%99.076836%6.0%100.0000410%6.2%113.107354%6.5%89.6108612%6.8%124.939870%7.2%61.466287%7.3%98.229394%7.5%77.6739108%7.6%102.7331表1：利率的期限结构（由10种不同到期日的债券组成）54.5%5.0%5.5%6.0%6.5%7.0%7.5%8.0%12345678910收益率曲线：利率随着投资时期变化而变化的曲线平价收益率曲线（paryieldcurve）：债券的息票率等于其收益率时相应的收益率曲线。此时，债券的价格将等于它的票面值。6即期利率（spotrate）：从当前时点开始计算的未来一定限期的利率水平。用即期利率计算债券的价格：用即期利率计算的债券价格更加合理。0(1)ttttrCP即期利率7例：1年期的即期利率为5.2%，2年期的即期利率为5.5%。请计算一个年息票率为15%的两年期债券的价格，假设债券的面值为100元。解：该债券的价格为22121511515115117.5802(1)1(1)1.0521.055tttCPrrr8用即期利率计算年金的现值：212111...(1)(1)(1)nnnarrr211211111...(1)(1)(1)nnnarrr9例：假设1年期、2年期和3年期的即期利率分别为5％、7％和9％，请计算一项每年年末支付100元的三年期年金的现值。解：该年金的现值为233|111100100()259.801.051.071.09a10如何求得即期利率？两种方法1.通过市场上零息债券的价格计算：n年期的即期利率＝n年期零息债券的收益率2.自助法（bootstrapping）：从一系列含有息票的债券的价格中计算得到。由一年期债券的价格计算1年期的即期利率利用这个信息及两年期债券的价格，计算2年期的即期利率以此类推。在自助法中，要求应用收益率和即期利率计算的债券价格相等。11例：假设1年期和2年期的即期利率分别为5％和5.5126％。3年期债券的价格为100，息票率为6％。求3年期的即期利率。解：3年期的即期利率满足下述方程：23123661061001(1)(1)rrr36.0411%r233661061.051.055126(1)r124.0%5.0%6.0%7.0%8.0%9.0%12345678910年实际收益率即期利率与表1对应的即期利率曲线到期收益率是不同即期利率的一种加权平均。在该例中，收益率曲线是递增的，因此即期利率也是递增的。13远期利率远期利率（forwardrate）：未来两个时点之间的利率水平，由一系列即期利率所确定。例：如果1年期的即期利率是5%，2年期的即期利率是5.2%，求其隐含的第一年末到第二年末的远期利率f？解：(1+5%)(1+f)=(1+5.2%)2f=5.4%14用远期利率计算债券的价格，则有：ft——从t年到t+1年的远期利率0011(1)(1)...(1)tttCPfff15例：假设0到1年的远期利率为4.9%，1年期的远期利率为f1=5.2%，2年期的远期利率为f2=5.4%。请计算一个年息票率为10%的三年期债券的价格。假设该债券的面值为100元。解：该债券的价格为：011(1)(1)...(1)tttCPfff10101101.049(1.049)(1.052)(1.049)(1.052)(1.054)113.166216例：三年期债券的价格为100元，f0=5%,f1=6.0227%，计算2年期的远期利率。解：001012661061001(1)(1)(1)(1)(1)ffffff2661061001.05(1.05)(1.060277)(1.05)(1.060277)(1)f27.1059%f如何计算远期利率？类似于自助法。见下例。174.0%5.0%6.0%7.0%8.0%9.0%10.0%11.0%12345678910年实际收益率即期利率远期利率与表1对应的远期利率曲线在本例中，远期利率均大于相应的即期利率和到期收益率。但在现实市场中，远期利率小于即期利率和到期收益率的情况也是有可能发生的。18例：应用下面的收益率，计算第1、2、3年的远期利率。解：应用收益率和远期利率计算的债券价格相等，故第1年的远期利率满足下述方程：到期日年息票率年实际收益率13.000%12.000%25.450%12.000%35.971%12.000%01031031.121f012.000%f19同理，可以计算第2年和第3年的远期利率f1和f2：可见，第1、2、3年的远期利率均为12%。注：如果收益率曲线、即期利率曲线或远期利率曲线中的任意一个是平坦的，则其余的两个曲线也一定是平坦的，且收益率、即期利率和远期利率三者均相等。215.45105.455.45105.451.121.121.12(1.12)(1)f23225.9715.971105.9715.9715.971105.9711.121.121.121.12(1.12)(1.12)(1.12)(1.12)(1)12.000%ff112.000%f20应用远期利率求即期利率：假设在t年末的现金流为Ct，用即期利率计算其现值为用远期利率计算其现值为由于上述两个现值相等，故有：(1)tttCr011(1)(1)...(1)ttCfff011011(1)(1)(1)...(1)(1)(1)...(1)1ttttttrfffrfff2133012(1)(1)(1)(1)rffff0f1f2r30123应用远期利率求得即期利率：2201111012(1)(1)(1)(1)...(1)(1)(1)(1)...(1)(2)ttttttrfffrfff111111(1)1(1)(1)(112)(1)ttttttttttrfrrfr（）（＝）应用即期利率求远期利率：2332322(1)(1)(1)rrfr2f2r30123应用即期利率求得远期利率：24例：1年期的即期利率为5.0%，2年期的即期利率为5.5126%，3年期的即期利率为6.0411%。请计算适用于第1、2、3年的远期利率。【解】适用于第1年的远期利率等于第1年的即期利率，即：1011rf01.051f05.000%f25应用前面的公式，分别计算第2年和第3年的远期利率为2201(1)(1)(1)rff32322(1)(1)(1)rrf211.05126(1.05)(1)f3221.06041117.1061%1.055126f16.0277%f26例：假设各年的远期利率分别为请计算2年期和3年期的即期利率。解：22012201(1)(1)(1)(1)(1)14.1996%rffrff0123.9%,4.5%,4.2%fff3301233012(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)14.1997%rfffrfff27套利套利机会：当资产的定价不一致时，就可能存在套利机会。通过同时的买入和卖出，实现套利。例：一个年息票率为5%的两年期债券的价格为101元，面值为100元。1年期的即期利率为4.5%，2年期的即期利率为5%。试确定是否存在套利机会。解：按即期利率计算的债券价格为：与市场价格101元不一致，故存在套利机会。25105100.0228(1)1.0451.05tttCPr28如何获取套利收益？债券价格被高估，故可以通过以下策略获利：卖出一个两年期债券，获得101元。购买一个在第1年末支付5元的零息票债券，以及一个在第2年末支付105元的零息票债券。购买价格为套利者在0时刻获得101-100.0228=0.9772的无风险收益。25105100.02281.0451.05P29时刻卖出债券的现金流买入债券的现金流净现金流0101-100.02280.97721-5502-1051050该投资策略的现金流如下：套利的一般规律：•卖出一项价格被高估的资产，并买入一系列现金流与之相匹配的资产。•买入一项价格被低估的资产，并出售一系列现金流与之相匹配的资产。30例（价格被低估）：一个年息票率为5%的两年期债券的价格为99元，其面值为100元。1年期即期利率为4.5%，2年期即期利率为5%。试判断是否存在套利机会。如果存在，请确定一个无净现金流出，且可获得无风险收益的策略。解：由前例可知，与即期利率一致的债券价格为100.0228元。由于该债券的市场价格为99元，故该债券被低估了，存在套利机会。31套利者可以通过以下策略从套利机会中获利：按99元的价格购买该债券。卖出一个在1年末支付5元的零息票债券，以及一个在2年末支付105元的零息票债券。两个债券的价格为25105100.02281.0451.05P32该投资策略的现金流如下：时刻卖出债券的现金流买入债券的现金流净现金流0100.0228-991.02281-5502-105105033例：一个年息票率为5.861%的三年期债券按其面值（100元）定价。远期利率为试判断是否存在套利机会，如果存在，请确定一个无净现金流出，且可以获得无风险收益的策略。解：与远期利率一致的债券价格为04.500%f16.002%f28.000%f0010125.8615.861105.8611(1)(1)(1)(1)(1)Pffffff5.8615.861105.8611.045(1.045)(1.06002)(1.045)(1.06002)(1.08)99.387234套利策略：按100元的价格卖出一个三年期债券，同时用99.3872元的成本复制一个相同的现金流，即可在0时刻获得100-99.3872=0.6128（元）的无风险收益。将99.3872元按4.500%投资一年，支付已售债券的息票5.861元后，还剩余：99.3872×1.045-5.861=97.9986（元）上述资金在第二年按远期利率6.002%再投资一年，支付已售债券的息票5.861元后，剩余：97.9986×1.06002-5.861=98.0194（元）35上述资金在第三年按远期利率8.000%进行投资。在第三年末，累积值为98.0194×（1.08）=105.861（元）正好用于支付售出债券在第三年末的本金（100元）和息票（5.861元）。36该投资策略的现金流如下表所示：时刻卖出债券的现金流投资复制的现金流净现金流0100-99.38720.61281-5.86105.861002-5.86105.861003-105.8610105.8610037若资产的价格为P，t时刻的现金流为Ct，到期收益率为y，即期利率为rt，远期利率为ft，则有：000011(1)(1)(1)(1