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第七章解三角形1.正弦定理和余弦定理掌握正弦定理、余弦定理,并能解决一些简单的三角形度量问题.2.应用能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测Z量和几何计算有关的实际问题.能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题.=2R(R为△ABC的外接圆半径)第1讲正弦定理和余弦定理1.正弦定理:___________________________________________.asinA=bsinB=csinC2.余弦定理:______________________________________.c2=a2+b2-2abcosC或cosC=a2+b2-c22ab3.已知三角形的内角分别是A、B、C,命题AB⇔sinAsinB的依据是________________________.4.已知三角形的内角分别是A、B、C,命题AB⇔cosAcosB的依据是____________________________.余弦函数在[0,π]上是减函数大边对大角和正弦定理BA.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件1.在△ABC中,“A>π6”是“sinA>12”的()2.图7-1-1所示某河段的两岸可视为平行,在河段的一岸边选取两点A、B,观察对岸的点C,测得∠CAB=75°,)A∠CBA=45°,且AB=200米.则A、C两点的距离为(图7-1-1A.20063米B.1006米C.10063米D.2002米3.在△ABC中,三边a、b、c之比为3∶5∶7,则这个三角形的最大的角为______.120°4.在△ABC中,a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边长,已知a、b、c成等比数列,且a2-c2+bc=ac,则∠A的大小为________.60°解析:∵a、b、c成等比数列,∴b2=ac.∵cosA=b2+c2-a22bc=ac+c2-a22bc=bc2bc=12,∴∠A=60°.5.锐角三角形的内角分别是A、B、C,并且AB.下面三个不等式成立的是_________.①②③①sinAsinB;②cosAcosB;③sinA+sinBcosA+cosB.解析:AB⇔ab⇔sinAsinB,故①成立.函数y=cosx在区间[0,π]上是减函数,∵AB,∴cosAcosB.故②成立.在锐角三角形中A+Bπ2,则有Aπ2-B,∴sinAsinπ2-B,即sinAcosB,同理sinBcosA,故③成立.考点1正弦定理、余弦定理的应用(1)求b的值;(2)求sinC的值.例1:在△ABC中,角A、B、C所对的边分别为a、b、c,已知a=2,c=3,cosB=14.解题思路:两边夹角问题使用余弦定理.解析:(1)由余弦定理b2=a2+c2-2accosB,得b2=22+32-2×2×3×14=10,∴b=10.(2)方法一:由余弦定理得cosC=a2+b2-c22ab=4+10-92×2×10=108,∵C是△ABC的内角,∴sinC=1-cos2C=368.三角形内角和定理、正弦定理、余弦定理是解三角形的常用工具.方法二:∵cosB=14,且B是△ABC的内角,∴sinB=1-cos2B=154.根据正弦定理bsinB=csinC得sinC=csinBb=3×15410=368.【互动探究】1.在△ABC中,已知a=3,b=2,B=45°,求A、C及边c.解:由正弦定理,sinA=asinBb=32∵B=45°<90°,b<a,∴A=60°或120°.①当A=60°时,C=180°-(A+B)=75°,c=bsinCsinB=2sin75°sin45°=6+22;②当A=120°时,C=180°-(A+B)=15°.c=bsinCsinB=2sin150°sin45°=6-22.=考点2判断三角形的形状例2在:ABC中,a2tanB=b2tanA,试判断△ABC的形状.解题思路:从边角统一入手.解析:原式可化为a2sinBb2sinAcosBcosA,∵a=2RsinA,b=2RsinB,∴sin2AsinBcosB=sin2BsinA.cosA∵sinA≠0,sinB≠0,∴sinAcosA=sinBcosB,∴sin2A=sin2B,∴0°A180°,0°B180°,∴2A=2B或2A+2B=180°,∴A=B或A+B=90°,∴△ABC是等腰三角形或直角三角形.本题主要考查运用正弦定理与余弦定理来判断三角形的形状.常见思路是利用正弦定理化边为角,再进行三角恒等变形,或利用正弦定理与余弦定理化角为边,再进行代数恒等变形.【互动探究】2.在△ABC中,sinA=sinB+sinCcosB+cosC,试判断这个三角形的形状.解:应用正弦定理、余弦定理,可得a=b+cc2+a2-b22ca+a2+b2-c22ab,所以b(a2-b2)+c(a2-c2)=bc(b+c).所以(b+c)a2=(b3+c3)+bc(b+c).所以a2=b2-bc+c2+bc.所以a2=b2+c2.所以△ABC是直角三角形.错源:对三角形中内角所受到的限制不清楚(1)求函数y=f(x)的解析式和定义域;(2)求函数y=f(x)值域.例3:在锐角三角形ABC中,已知内角A=π3,边BC=23.设内角B=x,周长为y.误解分析:锐角三角形ABC中,B+C=2π3,故∠B将受到双重限制,即0Bπ2,0Cπ2,不少同学很容易忽略角C的限制,得到函数y=f(x)的定义域为0,π2,将直接导致函数的值域出错.正解:(1)△ABC的内角和A+B+C=π,由A=π3得C=2π3-B.∵0Bπ2,0Cπ2,∴0xπ2,02π3-xπ2,解出π6xπ2.即函数y=f(x)的定义域为π6,π2.由正弦定理知AC=BCsinAsinB=23sinπ3sinx=4sinx,AB=BCsinAsinC=4sin2π3-x.∵y=AB+BC+AC,∴y=4sinx+4sin2π3-x+23π6xπ2.(2)y=4sinx+32cosx+12sinx+23=43sinx+π6+23,∵π3x+π62π3,∴sinx+π6∈32,1,故函数y=f(x)的值域为(6+23,63].【互动探究】3.在△ABC中,AB=1,BC=2,求角C的取值范围.解:设BC=a,CA=b,AB=c,则cosC=a2+b2-c22ab=22+b2-122·2·b=b2+34b=14b+3b≥14·2b·3b=32,当且仅当b=3b,即b=3时,等号成立.∵y=cosx在区间(0,π)内是减函数,∴0c≤π6,角C的取值范围是0,π6.例4:(2010年安徽)△ABC的面积是30,内角A、B、C所对边长分别为a、b、c,cosA=1213.(1)求AB→·AC→;(2)若c-b=1,求a的值.解题思路:根据同角三角函数关系,由cosA=1213得sinA的值,再根据△ABC面积公式得bc=156,直接求数量积AB→·AC→.由余弦定理a2=b2+c2-2bccosA,代入已知条件c-b=1及bc=156,可求a的值.解析:(1)由cosA=1213,得sinA=1-12132=513.又12bcsinA=30,∴bc=156.AB→·AC→=bccosA=156×1213=144.(2)a2=b2+c2-2bccosA=(c-b)2+2bc(1-cosA)=1+2·156·1-1213=25,∴a=5.【互动探究】2120°4.椭圆x29+y22=1的焦点为F1、F2,点P在椭圆上,若|PF1|=4,则|PF2|=________;∠F1PF2的大小为_______.解析:∵a2=9,b2=2,∴c=a2-b2=9-2=7,∴|F1F2|=27,又|PF1|=4,|PF1|+|PF2|=2a=6,∴|PF2|=2,由余弦定理得cos∠F1PF2=22+42-2722×2×4=-12,∴∠F1PF2=120°.处理三角形的边角关系,主要有两种途径:①化边为角——用正弦定理;②化角为边——用余弦定理.第2讲解三角形应用举例解斜三角形的常用定理与公式sinC-cosC(1)三角形内角和定理:A+B+C=180°;sin(A+B)=_____;cos(A+B)=______.=2R(R为△ABC的外接圆半径)asinA=bsinB=csinC(2)正弦定理:____________________________________________.(3)余弦定理:____________________.(4)三角形面积公式:_______________________________.(5)三角形边角定理:________________________.c2=a2+b2-2abcosCS△ABC=12absinC=12bcsinA=12acsinB大边对大角,大角对大边2.若△ABC的内角A满足sin2A=-,则cosA-sinA=(A.5B.-5C.32D.-3223)1.在△ABC中,∠C=90°,AB→=(k,1),AC→=(2,3),则k的值是()BAA.153B.-153C.53D.-5313.若△ABC满足AB→·AC→=23,∠BAC=30°,则三角形的面积为_____.4.已知a、b、c分别为△ABC的三个内角的所对的边,若a=1,b=3,A+C=2B,则sinA=_______.12解析:∵A+B+C=2B+B=π,∴B=π3.由正弦定理得:asinA=1sinA=bsinB=332=2,∴sinA=12.5.△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c,若a、b、c成等比数列,且c=2a,则sinB=_______.74解析:设a=1,则c=2,b=2.cosB=a2+c2-b22ac=1+4-24=34.∴sinB=74.考点1向量在三角形中的应用例1:已知△ABC的三个顶点的直角坐标分别为A(3,4)、B(0,0)、C(c,0).(1)若c=5,求sinA的值;(2)若A为钝角,求c的取值范围.解题思路:本题是已知△ABC的三个顶点的坐标,求三角形的内角问题,故用向量比余弦定理会更简单些.解析:(1)AB→=(-3,-4),AC→=(c-3,-4),若c=5,则AC→=(2,-4),∴cosA=cos〈AC→,AB→〉=-6+165×25=15,∴sinA=255.(2)若A为钝角,则-3c+9+160c≠0,解得c253,∴c的取值范围是253,+∞.【互动探究】1.已知△ABC的角A、B、C所对的边分别是a、b、c,设向量m=(a,b),n=(sinB,sinA),p=(b-2,a-2).用向量处理角的问题时要注意两点:①是要注意角的取值范围;②是利用向量处理△ABC的角,角A是直角的充要条件是AB→·AC→=0;角A是锐角的充要条件是AB→·AC→0;角A是钝角的充要条件是AB→·AC→0.(1)若m∥n,求证:△ABC为等腰三角形;(2)若m⊥p,边长c=2,角C=π3,求△ABC的面积.解:(1)∵m∥n,∴asinA=bsinB,即a·a2R=b·b2R,其中R是三角形ABC外接圆半径,a=b,∴△ABC为等腰三角形.(1)由题意可知m⊥p=0,即a(b-2)+b(a-2)=0,∴a+b=ab,由余弦定理可知,4=a2+b2-ab=(a+b)2-3ab,即(ab)2-3ab-4=0,∴ab=4(舍去ab=-1),∴S=12absinC=12·4·sinπ3=3.考点2有关三角形的边角计算问题例2:(2011年河北3月模拟)在锐角三角形ABC中,a、b、c分别为角A、B、C所对的边,且a=2csinA.(1)确定角C的
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