1.5.3定积分的概念

1、分割；2、近似代替；3、求和；4、取极限用黄色部分的面积来代替曲边梯形的面积，当曲边梯形分割的越细，蓝色部分面积就越小，就越接近曲边梯形的面积.复习：如何求曲边梯形的面积？以直代曲从小于曲边梯形的面积来无限逼近从大于曲边梯形的面积来无限逼近在区间上的左端点和右端点的函数值来计算有何区别1[,]iinn1、分割将区间等分成n个小区间2、以直代曲对于区间i-1n,1n上小曲边梯形，以fi-1n为长，x=1n为宽小矩形面积近似代小曲边梯形面积3、作和S=s1+s2++sn=sifi-1nx4、取极限n+,fi-1nxS复习1.5.3定积分的概念中学生学习报数学周刊国家级优秀教辅读物ISO9001国际质量管理体系认证人教课标A版选修2-2LearningEnglish专业辅导，专业品质从求曲边梯形面积以及变速直线运动路程的过程可知，它们都可以通过“四步曲”：分割、近似代替、求和、取极限得到解决，且都可以归结为求一个特定形式和的极限.曲边梯形面积变速直线运动路程niinniixfnxfS110)(1lim)(limniinniitvntvS110)(1lim)(lim复习中学生学习报数学周刊国家级优秀教辅读物ISO9001国际质量管理体系认证人教课标A版选修2-2LearningEnglish专业辅导，专业品质一、定积分的概念bxxxxxabaxfnii110][上连续，用分点，）在区间（一般地，如果函数，）（）（），作和式，，，（上任取一点，间个小区间，在每个小区等分成，将区间niniiiiiifnabxfnixxnba11121][][.][上的定积分，）在区间（叫做函数某个常数，这个常数时，上述和式无限接近当baxfn.lim1niinbabafnabdxxfdxxf）（）（，即）（记作概念中学生学习报数学周刊国家级优秀教辅读物ISO9001国际质量管理体系认证人教课标A版选修2-2LearningEnglish专业辅导，专业品质].().[ababfxxfxdx积分下限积分上限：积分区间函数：被积函数：：，叫做积分变量（叫做被积式）定积分的概念的说明badxxf）（说明1120013Sfxdxxdx曲边梯形的面积（）112005(2)3Sdttdt汽车行驶的路程v（t）正确理解定积分的概念(),,,dt();()()()bbbaaafxdxfuduft(1)定积分是一个数值极限值它的值仅仅取决于被积函数与积分的上､下限而与积分变量用什么字母表示无关即称为积分形式的不变性132200a,b,()()(1)(1),,.bafxdxxdxxdx(2)定积分与积分区间息息相关不同的积分区间所得的积分值也就不同例如与的值就不同1lim.nbianibafxdxfn（）（）中学生学习报数学周刊国家级优秀教辅读物ISO9001国际质量管理体系认证人教课标A版选修2-2LearningEnglish专业辅导，专业品质oabxysy=f(x)f(a)f(b).00][面积形（图中阴影部分）的）所围成的曲边梯（曲线和），（，表示由直线）（积分，那么定）（连续且恒有）（上函数，如果在区间xfyybabxaxdxxfxfxfbaba二、定积分的几何意义中学生学习报数学周刊国家级优秀教辅读物ISO9001国际质量管理体系认证人教课标A版选修2-2LearningEnglish专业辅导，专业品质oabxyy=f１(x)ＢＡy=f２(x)ＤＣ探究根据定积分的几何意义，你能用定积分表示图中阴影部分的面积吗？12()()bbaaSfxdxfxdx探究课本P46中学生学习报数学周刊国家级优秀教辅读物ISO9001国际质量管理体系认证人教课标A版选修2-2LearningEnglish专业辅导，专业品质130.xdx利用定积分的定义，计算的值例1:3fxx解：令在区间[0,1]上等间割地插入n-1个分点，把区间[0,1]等分成n个小区间每个小区间的长度为n（）i-1i,i=1,2,,nnii-11Δx=-=nnn(1)分割例题中学生学习报数学周刊国家级优秀教辅读物ISO9001国际质量管理体系认证人教课标A版选修2-2LearningEnglish专业辅导，专业品质（2）近似代替，作和1n3nnn133n40i=1i=1i=12224ii1xdxS=fx==innn1111=nn+1=1+n44n213n0nn111xdx=limS=lim1+=4n4（3）取极限iiξ=(i=1,2,,n)n取，中学生学习报数学周刊国家级优秀教辅读物ISO9001国际质量管理体系认证人教课标A版选修2-2LearningEnglish专业辅导，专业品质三、定积分的性质cabcbababababababcadxxfdxxfdxxfdxxfdxxfdxxfxfkdxxfkdxxkf).()()()()3()()()]()([)2()()()1(2121其中；为常数）；（性质思考：你能从定积分的几何意义解释性质（3）吗？题型二利用定积分表示曲边梯形的面积2(12:: 2)0,,2;yx2,xy.yyxx例利用定积分表示下列曲线围成的平面区域的面积解:(1)曲线所围成的平面区域如下图所示,设此面积为S,则20.Sxdx(2)曲线所围成的平面区域如下图所示.22:: 2yx2,xy.例利用定积分表示下列曲线围成的平面区域的面积题型二利用定积分表示曲边梯形的面积110044211141201211SAA,Ay;Ayy,,1,[()]2,[(2)]x2,(2).2(2)x1x4..AxyxxxxxdxxdxAxxdxxxdxSxdxxxdx记由围成由和围成补充：定积分的几何意义是:介于直线x=a,x=b,x轴及y=f(x)所围成图形面积的代数和,其中x轴上方部分为正,x轴下方部分为负.()bafxdx变式训练2:用定积分表示下列阴影部分的面积.(1)S=________.4sinxdx(2)S=________.2242xdx(3)S=________.94()xdx题型三利用定积分的几何意义求定积分例3:利用定积分的几何意义,求下列各式的值.222(1)4;xdx分析:定积分的几何意义是:介于直线x=a,x=b,x轴及y=f(x)所围成图形面积的代数和,其中x轴上方部分为正,x轴下方部分为负.()bafxdx222:1y,xy4y,40.x解由知其图象如下图被积函数的曲线是圆心在原点,半径为2的半圆,由定积分的几何意义知,此定积分为半圆的面积,所以2222242.2xdx2ysinx,]22x,,[函数在是奇函数由定积分的几何意义知例3:利用定积分的几何意义,求下列各式的值.22(2);sinxdx题型三利用定积分的几何意义求定积分220sinxdx120131(1)1;(2)(3:.).xdxsinxxdx变式训练利用定积分的几何意义求下列定积分22221201313:1yxy1(y0),,10x1.1. 2ysinxx1,11411144()01.xxdxsinxxdx解由知≥其图象是以原点为圆心半径为的圆的部分≤≤函数在上为奇函数,,fx(2)a,b,x,x,x,x,fxxa,xb(ab);fx,a,bfx()?|()||()|()|()|abbbaababafxdxfxdxfxdxfxdxfxdx与在几何意义上有不同的含义绝不能等同看待由于被积函数在闭区间上可正可负也就是它的图象可以在轴上方也可以在轴下方还可以在轴的上下两侧所以表示由轴函数的曲线及直线之间各部分面积的代数和而是非负的所以表示在区间上所有以|()|(;.),bbaafxdxfxdx为曲边的正曲边梯形的面积而则是的绝对值三者的值在一般情况下是不相同的正确理解定积分的概念几何意义