新课标高考数学理一轮复习课件：2.4 指数函数、对数函数

1．指数(1)指数的定义：_________________________________．(2)指数的性质：___________________________________.2．根式(1)根式的定义：_________________________________________________．(2)根式的性质：_________________________________________________________________________.形如ab＝N(a＞0，a≠1)的数叫做指数am·an＝am＋n，am÷an＝am－n，(am)n＝amn式子na叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数①n为任意正整数，(na)n＝a；②当n为奇数时，nan＝a；当n为偶数时，nan＝|a|3．分数指数幂(1)正分数指数幂的意义：_________________________________．(2)负分数指数幂的意义：__________________________________．4．指数函数一般地，函数__________________叫做指数函数，其定义域为___，值域为_________．N*，且n＞1)∈N*，且n＞1)y＝ax(a＞0，且a≠1)R(0，＋∞)5．y＝ax(a＞0且a≠1)的图象与性质a的范围_____________图象性质当x＞0时，________当x＜0时，_____当x＝0时，_____当x＞0时，_____当x＜0时，________当x＝0时，_____在R上为单调_______在R上为单调_______a＞0且a≠1，无论a取何值，恒过点____0＜a＜1a＞10＜y＜1y＞1y＝1y＞10＜y＜1y＝1减函数增函数(0,1)6.如果ab＝N(a＞0，a≠1)，那么幂指数b叫做以a为底N的对数，记作_____，其中a叫做底数，N叫做_____．7．积、商、幂、方根的对数(M、N都是正数，a＞0，且a≠1，n≠0)．(1)loga(M·N)＝____________.logaN真数logaM＋logaN(2)logaMN＝logaM－logaN.(3)logaMn＝_______.nlogaM8．对数的换底公式及对数的恒等式：(1)alogaN＝__(对数恒等式)．(2)logaan＝__.Nn(3)logaN＝logbNlogba(换底公式)．(4)logab＝1logba.(5)logaN＝loganNn.9．对数函数的图象与性质：对数函数图象性质x＞0，y∈R当x＝1时，y＝0在定义域内是__函数当x＞1时，y∈_________当0＜x＜1时，y∈_________在定义域内是__函数当x＞1时，y∈_________当0＜x＜1时，y∈_________增减(0，＋∞)(－∞，0)(－∞，0)(0，＋∞)A．－9aB．－aC．6aD．9a21．化简(a23b12)(－3a12b13)÷13a16b56的结果是()解析：(a23b12)·(－3a12b13)÷13a16·b56＝[(－3)×3]·(a23＋12－16·b12＋13－56)＝－9a.答案A2．下列各式中成立的一项是()A.nm7＝n7m17B.39＝33C.4x3＋y3＝(x＋y)34D.12－34＝3－3解析：由39＝(913)12＝916＝313＝33，易知选B.答案BA．2b＞2a＞2cB．2a＞2b＞2cC．2c＞2b＞2aD．2c＞2a＞2b解析：由已知条件得bac，所以2b2a2c.答案：A3．已知log12b＜log12a＜log12c，则()A．[0,1]B．(－1,1)C．[－1,1]D．(－∞，－1)∪(1，＋∞)解析：由1－x20，得－1x1.答案：B4．函数f(x)＝lg1－x2的定义域为()1．指数函数的底数a＞0，且a≠1，这是隐含条件．(1)指数函数y＝ax的单调性，与底数a有关，当底数a与1的大小关系不确定时，应注意分类讨论．(2)比较两个指数幂的大小时，尽量化为同底数或同指数．当底数相同，指数不同时，构造同一指数函数，然后比较大小；当指数相同，底数不同时，构造两个指数函数，利用图象比较大小．2．比较两个对数的大小的基本方法是构造相应的对数函数，若底数不相同，可运用换底公式化为同底数的对数，还要注意与0比较或与1比较．3．把原函数作变量代换化归为二次函数，然后用配方法求指定区间上的最值，这是求指数、对数函数的常见题型．在给定条件下，求字母的取值范围也是常见题型，尤其与指数、对数函数结合在一起的高考试题更是屡见不鲜．考点一指数式的运算【案例1】求下列各式的值：(2)23×31.5×612；(3)a2a·3a2(a＞0)．关键提示：当所求根式含多重根号时，由里向外用分数指数幂写出，然后利用性质进行计算．【即时巩固1】化简：考点二指数函数的性质的应用关键提示：求定义域与值域时可根据指数函数的概念和性质，结合函数自身有意义去求．求复合函数的单调区间，通常利用“同则增，异则减”的原则．【案例2】(1)求函数的定义域、值域及单调区间．解：要使函数有意义，只需－x2－3x＋4≥0，即x2＋3x－4≤0，解得－4≤x≤1，所以函数的定义域为{x|－4≤x≤1}．令t＝－x2－3x＋4，则t＝－x2－3x＋4＝－x＋322＋254，所以当－4≤x≤1时，tmax＝254，此时x＝－32；tmin＝0，此时x＝－4或x＝1.所以0≤t≤254，所以0≤－x2－3x＋4≤52.t＝－x2－3x＋4＝－x＋322＋254(－4≤x≤1)，所以当－4≤x≤－32时，t＝－x2－3x＋4是增函数；当－32≤x≤1时，t＝－x2－3x＋4是减函数．根据复合函数的单调性知：－4，－32上是减函数，在－32，1上是增函数．【即时巩固2】求函数y＝2－x2＋2x的值域，并求其单调区间．解：令y＝2u，u＝－x2＋2x.又因为u＝－(x－1)2＋1，所以u≤1.所以0＜y≤2.所以值域为(0,2]．又函数u＝－(x－1)2＋1，在(－∞，1]上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，所以y＝2－x2＋2x在(－∞，1]上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减．考点三对数式的运算【案例3】计算：(1)log535－2log573＋log57－log51.8；(2)(log43＋log83)(log32＋log92)－log12432.关键提示：利用对数运算性质进行计算．解：(1)log535－2log573＋log57－log51.8＝log5(5×7)－2(log57－log53)＋log57－log595＝log55＋log57－2log57＋2log53＋log57－2log53＋log55＝2.(2)(log43＋log83)(log32＋log92)－log12432＝12log23＋13log23log32＋12log32＋log2254＝56log23×32log32＋54＝56×32×lg3lg2×lg2lg3＋54＝54＋54＝52.【即时巩固3】计算：log2748＋log212－12log242－1.解：原式＝log2748＋log212－log242－log22＝log27×1248×42×2＝log2122＝log22－32＝－32.考点四对数函数的性质及应用【案例4】求函数y＝loga－x2－x(0＜a＜1)的定义域和值域．关键提示：运用对数函数的性质进行分析求解．解：由函数y＝loga－x2－x得不等式组－x2－x0，loga－x2－x≥0.①②由①得x(x＋1)0，则－1x0.因为0a1，由②得loga(－x2－x)≥loga1，所以－x2－x≤1，即x2＋x＋1≥0，解得x∈R.因为－x2－x＝－(x2＋x)＝－x＋122＋14，所以函数的值域为loga14，＋∞.因此，函数的定义域为{x|－1x0}，值域是yy≥loga14.【即时巩固4】已知f(x)＝loga(ax－1)(a＞0，且a≠1)．(1)求f(x)的定义域；(2)讨论f(x)的单调性．解：(1)由条件知ax－1＞0，所以ax＞1.当a＞1时，x＞0；当0＜a＜1时，x＜0.所以当a＞1时，定义域为(0，＋∞)；当0＜a＜1时，定义域为(－∞，0)．(2)当a＞1时，g(x)＝ax－1为增函数．而y＝logax也为增函数，所以f(x)为增函数．当0＜a＜1时，g(x)＝ax－1为减函数．而y＝logax也为减函数，所以f(x)为增函数．综上可知函数f(x)一定为增函数．