专题02 常见函数值域或最值的经典求法-备战2015高考技巧大全之高中数学巧学巧解巧用(解析版)

Gothedistance【高考地位】函数值域是函数概念中三要素之一,是高考中必考内容,具有较强的综合性,贯穿整个高中数学的始终.而在高考试卷中的形式可谓千变万化,但万变不离其宗,真正实现了常考常新的考试要求.所以,我们应该掌握一些简单函数的值域求解的基本方法.【方法点评】[来源:学|科|网]方法一观察法解题模板：第一步观察函数中的特殊函数；第二步利用这些特殊函数的有界性，结合不等式推导出函数的值域.例1求函数x3y的值域.【解析】∵0x3x3,0x故函数的值域是：]3,[【变式演练1】求函数()342xfx的值域【解析】由20424422()5xxxfx；又420()3xfx综上，函数()fx的值域为[3,5).方法二分离常数法[来源:Zxxk.Com]解题模板：第一步观察函数()fx类型，型如()axbfxcxd；第二步对函数()fx变形成()aefxccxd形式；第三步求出函数eycxd在()fx定义域范围内的值域，进而求函数()fx的值域.例2求函数1xxy的值域.【解析】1111111xxxxxy∵011x∴1y即函数的值域是{y|yR且y1}Gothedistance【变式演练2】求函数5143xyx的值域.【解析】515(43)15151144434344(43)xxyxxx因为1104(43)x，所以54y所以函数的值域为5{|}4yyRy且方法三配方法解题模板：第一步将二次函数配方成2()yaxbc；第二步根据二次函数的图像和性质即可求出函数的值域.例3求函数225,[1,2]yxxx的值域.【变式演练3】求函数22yxx的值域.【解析】由题得222020(2)(1)0xxxxxx12x，所以函数的定义域为[1,2]221932()[0,]242yxxx所以函数的值域为3[0,]2方法四反函数法Gothedistance解题模板：第一步求已知函数的反函数；第二步求反函数的定义域；第三步利用反函数的定义域是原函数的值域的关系即可求出原函数的值域例4求函数12xxy的值域.【解析】12xxy反解得yyx2即1()2xfxx因为反函数1()2xfxx的定义域为|2}xx，反函数的学科网定义域即是原函数的值域，所以原函数的值域为(,2)(2,)【变式演练4】求函数34()56xfxx的值域.【解析】由原函数式可得：4653yxy，则其反函数为4653xyx，其定义域为3{|}5xx，故所求函数的值域为3{|}5yy方法五换元法解题模板：第一步观察函数解析式的形式，函数变量较多且相互关联；第二步另新元代换整体，得一新函数，求出新函数的值域即为原函数的值域.例5求函数1xxy的值域.例6已知x满足不等式1122loglog(2)xx.（1）求x的取值范围；（2）求函数22()(log)(log)42xxfx的最小值.Gothedistance【解析】（1）01xx0由题得2-x0x2-x（2）22222222222min()(loglog4)(loglog2)(log2)(log1)(log)3log2log=(0),()3233,220()(0)2fxxxxxxxxaagaaaaafxf由题得设函数的对称轴为画出二次函数的图像得当时，函数取到最小值2.所以例7求函数)1x)(cos1x(siny，2,12x的值域.【解析】)1x)(cos1x(siny1xcosxsinxcosxsin令txcosxsin，则)1t(21xcosxsin222)1t(211t)1t(21y例8已知),(yxp是圆422yx上的点，试求xyyxt322的值域.【解析】由题得1)2()2(22yx，设,0[,sin2,cos2yx2)则Gothedistance2sin64sin2cos234t4,0[2又)即]1,1[2sin故]10,2[t所以函数的值域为[2,10]【点评】当已知条件可以化为22221xyab时，可以设sin,cosxyab，[0,2]实行三角换元，这样可以优化解题，提高解题效率.【变式演练5】若02,x求函数12()4325xxyfx的值域.【解析】由题得21241325(2)32524xxxxy21(2)3252xx设2120214()35(14)2xtxtftttt函数的对称轴方程为33122t所以minmax15()(3)()(1)22ftfftf所以函数的值域为15[,]22方法六判别式法解题模板：第一步观察函数解析式的形式，型如22dxexfyaxbxc的函数；第二步将函数式化成关于x的方程，且方程有解，用根的判别式求出参数y的取值范围，即得函数的值域.例9求函数3274222xxxxy的值域.032)(2xxxf即Rx此时方程有实根即△0,△].2,29[0)73)(2(4)]2(22yyyyGothedistance当2y时，方程化为7=0，显然学科网不能成立，所以2.y[来源:学科网]将29,2yy分别代入检验得2y不符合方程，所以)2,29[y.【变式演练6】求函数22221xxyxx的值域【解析】方法七基本不等式法解题模板：第一步观察函数解析式的形式，型如2exfyaxbxc或2axbxcyexf的函数；第二步对函数进行配凑成byaxx形式，再利用基本不等式求函数的最值，进而得到函数的值域.例10已知52x，求函数245()24xxfxx的最小值.【解析】5,202xx.2245(2)1()2(2)2(2)xxxfxxx=21122(2)xx当且仅当2122(2)xx，即3x时，上式等号成立.因为3x在定义域内，所以最小值为1.Gothedistance例11已知,0，求函数)cos1(2siny的最大值.【变式演练7】求函数223()1xfxx的最小值.【解析】由题得2222223(1)22()122111xxfxxxxx当且仅当222111xxx即时取到等号.所以函数的值域为[22,)【变式演练8】某工厂拟建一座平面图形为矩形且面积为2002m的三级污水处理池（平面图如图），如果池外圈周壁建造单价为每米400元，中间两条隔墙建筑单价为每米248元，池底建造单价为每平方米80元，池壁的厚度忽略不计，试设计污水池的长和宽，使总造价最低，并求出最低造价.方法八单调性法解题模板：第一步求出函数的单调性；第二步利用函数的单调性求出函数的值域.例12求函数212()log(35)(02)fxxxx的值域.【解析】2235(02)loguxxxtu设Gothedistance2212111222min11122235(02),2]()log(35),2]11()log(0)log5(2)log3411()log5log5,log].4uxxxufxxxffffx12max33在[0,]是减函数，在[上是增函数。22又t=log在定义域上是减函数33在在[0,]是增函数，在[上是减函数223f(x)2函数的值域为[【点评】本题先利用复合函数的单调性确定了函数的单调区间，从而得到函数的最大值和最小值，得到函数的值域.例13求函数)10x2(1xlog2y35x的值域.【点评】（1）如果能确定函数的单调性时，可以使用函数的单调性求函数的值域.（2）本题中利用了这样一个性质：增（减）函数+增（减）函数=增（减）函数.（3）本题1xlogy,2y325x1都是增函数，利用到了复合函数的单调性.【变式演练10】求函数1413()3yxxx的值域.【解析】设()4,()13,fxxgxx它们在定义域内都是单调递增，所以min144-]333xy当时，，所以函数的值域为（，【变式演练11】已知函数f(x)=xaxx22,x∈［1,+∞)(1)当a=21时，求函数f(x)的最小值(2)若对任意x∈［1,+∞),f(x)0恒成立，试求实数a的取值范围.Gothedistance方法九数形结合法解题模板：第一步作出函数在定义域范围内的图像；第二步利用函数的图像求出函数的值域.例14求函数的值域：14yxx【解析】23414541231xxyxxxxx函数的图像如图所示：5y函数的值域为：5,.【点评】（1）对于一些可以较快作出函数的图像的函数，可以直接作出函数的图像，再观察函数的值域.（2）对于绝对值函数，一般利用零点讨论法把函数化成分段函数，再作图.Gothedistance例15求函数xxycos2sin3的值域.【解析】将原函数视为定点(2,3)到动点)sin,(cosxx的斜率,又知动点)sin,(cosxx满足单位圆的方程,从而问题就转化为求点（2，3）到单位圆连线的斜率问题,设直线的方程为3(2)230ykxkxyk因为直线和圆相切，所以2|-23|623131kkk所以函数的值域为:623623[,]33【点评】（1）对于某些具有明显几何意义的函数，我们可以利用数形结合的方法求该函数的值域.先找到函数对应的形态特征，再求学科网该函数的值域.（2）由于1212yyyxx对应着两点1122(,),(,)xyxy之间的斜率（差之比对应直线的斜率），所以本题可以利用斜率分析解答.例16求函数5x4x13x6xy22的值域.Gothedistance【点评】要迅速地找到函数对应的形，必须注意积累.这样才能提高解题的效率.[来源例17某农户计划种植黄瓜和韭菜，种植面积不超过50计，投入资金不超过54万元，假设种植黄瓜和韭菜的产量、成本和售价如下表年产量/亩年种植成本/亩每吨售价黄瓜4吨[来源:学科网ZXXK]1.2万元0.55万元韭菜6吨0.9万元0.3万元为使一年的种植总利润（总利润=总销售收入总种植成本）最大，那么黄瓜和韭菜的种植面积（单位：亩）分别为（）A．50，0B．30，20C．20，30D．0，50Gothedistance平移直线0.9zxy，可知当直线0.9zxy经过点30,20B,即30,20xy时,z取得最大值,且max48z（万元）.故选B.【点评】线性规划的问题，就是数形结合研究问题的典型.线性规划解答问题的一般步骤是（1）根据题意，设出变量,xy；（2）列出线性约束条件；（3）确定线性目标函数(,)zfxy；（4）画出可行域（即各约束条件所示区域的公共区域）；（5）利用学科网线性目标函数作平行直线系()(yfxz为参数）；（6）观察图形，找到直线()(yfxz为参数）在可行域上使z取得欲求最值的位置，以确定最优解，给出答案.【变式演练12】对任意两个实数12,xx，定义11212212,,,,.xxxmaxxxxxx若22fxx，gxx，则,maxfxgx的最小值为．Gothedistance方法十导数法解题模板：第一步利用函数的导数求函数在定义域内的单调性；第二步利用函数的图像求出函数的值域.例18两县城A和B相距20km，现