第3章-圆轴扭转

第3章扭转扭转的概念和实例受力特点：杆两端作用着大小相等、方向相反的外力偶，且外力偶作用面垂直于杆的轴线。变形特点：杆任意两截面绕轴线发生相对转动。传动轴本章研究杆件发生除扭转变形外，其它变形可忽略的情况，并且以圆截面(实心圆截面或空心圆截面)杆为主要研究对象。此外，所研究的问题限于杆在线弹性范围内工作的情况。受扭转变形杆件通常为轴类零件，其横截面大都是圆形的。扭转的概念和实例直接计算一、外力偶矩的计算§3.1内力的计算——扭矩与扭矩图§3.1内力的计算——扭矩与扭矩图nMe2Me1Me3/kWeNmrmin9549PMnMe—作用在轴上的力偶矩(N·m)P—轴传递的功率(kW)n—轴的转速(r/min)按功率和转速计算mm0,0mTmxT1、扭矩的确定（截面法）xmmmTTx取右段为研究对象：0,0TmmxmT取左段为研究对象：二、扭转杆件的内力圆轴受扭时其横截面上的内力偶矩称为扭矩(Torsiontorque)，用符号T表示。§3.1内力的计算——扭矩与扭矩图2、扭矩的符号规定：按右手螺旋法则判断。右手的四指代表扭矩的旋转方向，大拇指代表其矢量方向，若其矢量方向与截面的外法线方向相同，则扭矩规定为正值，反之为负值。T+—例1求如图所示传动轴1-1截面和2-2截面的扭矩，并画扭矩图。解：用截面法求扭矩1）取1-1截面左侧mkN8.111MT2）取2-2截面右侧mkN2.1C22MT3）作出扭矩图如图。1.2kNm1.8kNm=1.8kNm=3kNm=1.2kNm1122求扭矩的基本方法——截面法求扭矩的直接法=1.8kNm=3kNm=1.2kNm1122规定外力偶矩的正负为:以右手的四指表示外力偶矩的转向，则大拇指的方向离开横截面为正；指向横截面为负。左eMTΣ右或eMTΣ1.2kNm1.8kNm扭矩图的快速画法•在外力偶矩作用处的截面上，扭矩发生突变，突变量等于外力偶矩的数值。利用这一突变特性，可较快地画出扭矩图。xT(kN.m)1.50.5+2aaaABCD23.510.5扭矩图总是从横轴开始，最终又回到横轴。从左往右画，遇到箭头向左的外力偶，扭矩图向上突变；遇到向右的外力偶时朝下突变。1、实验：一、薄壁圆筒横截面上的应力§3.2薄壁圆筒的扭转2、变形规律：圆周线——形状、大小、间距不变，各圆周线只是绕轴线转动了一个角度。纵向线——倾斜了同一个角度，小方格变成了平行四边形。横截面上应力的推断：（1）横截面上只有切应力，而没有正应力。（2）切应力沿环的切线方向。§3.2薄壁圆筒的扭转3、切应力的计算公式：2.2020200trtdrrdATAtrT202(2）可认为切应力沿壁厚均匀分布。（1）根据对称性可知，切应力沿圆周均匀分布；ττ薄壁筒扭转时横截面上的切应力均匀分布,与半径垂直,指向与扭矩的转向一致.§3.2薄壁圆筒的扭转单元体0zMyzxxzydddddd得1、切应力互等定理xdydxyzττ关于切应力的若干重要性质单元体在其两对互相垂直的平面上只有切应力而无正应力的状态称为纯剪切应力状态。dabc''在相互垂直的两个面上，切应力总是成对出现，并且大小相等，方向同时指向或同时背离两个面的交线。关于切应力的若干重要性质1、切应力互等定理xdydxyzττ由图所示的几何关系得到lr2、剪切虎克定律MeMel薄壁圆筒的扭转试验发现,当外力偶Me在某一范围内时,与Me（在数值上等于T）成正比.22rπT从T与之间的线性关系,可推出与间的线性关系.GG–剪切弹性模量关于切应力的若干重要性质对各向同性材料，三个弹性常数的关系)1(2EGpsb关于切应力的若干重要性质§3.3圆轴扭转时的应力及强度条件应力研究思路：实验观察作出假设理论分析实验验证变形几何关系物理关系静力关系圆轴扭转时横截面上的应力（1）实验观察：圆周线——形状、大小、间距不变，各圆周线只是绕轴线转动了一个不同的角度。纵向线——倾斜了同一个角度，小方格变成了平行四边形。平面假设：变形前的横截面，变形后仍为平面，且形状、大小以及间距不变，半径仍为直线，即横截面刚性地绕轴线作相对转动。222）应变、应力分布规律：①圆周线的间距未改变②圆周线的形状、大小不变，绕轴线作了相对转动无纵向线应变横截面上切应力垂直于半径③各纵向线均倾斜同一微小角度圆周上各点变形情况相同(切应力沿环向保持不变)圆轴扭转时横截面上的应力（横截面无正应力）是外表面沿轴线方向上的切应变。d是前后两个端面的相对转角。在外表面处的切应变tanxAAdxRdd在离轴心r处的切应变xddrr)(1、几何关系(平截面假设)圆轴扭转时横截面上的应力B′Br2、物理关系(Hooke定律)圆轴扭转时横截面上的应力)()(rrGxGddr3、静力关系(切应力对轴的合力矩即截面上的扭矩)rrATAdAIAPd2r令xGITPddPGITxddAxGAddd2rROdAρT(ρ)maxmaxrPIT—抗扭截面系数，—截面的极惯性矩，RIWPttWROmax圆轴扭转时横截面上的应力PITrr)(tWTRITP/PI单位：m4,mm4单位：m3,mm3截面的极惯性矩IP和抗扭截面系数WtAAId2pr16π2/3ptddIW)dπ2(202drrr32π4drrdπ2dA2/04)4π(2dr实心圆截面：Od圆轴横截面的几何性质223pdπ2DdIrr4344pt116π16π2/DDdDDIW空心圆截面：4432πdD44132πDDdTmaxmax圆轴横截面的几何性质注意：对于空心圆截面33t16πdDW44p32πdDIDOd圆轴横截面的几何性质1、强度条件：2、强度条件应用：1）校核强度:.)1(16,16433空心实心DDWttWTmaxmax≤tW≥][maxT2）设计截面尺寸:3）确定外荷载:maxT][tW≤][maxmaxtmaxWTtmaxmaxWT等截面圆轴:变截面圆轴:圆轴扭转时的强度计算ABC解：作轴的扭矩图MeAMeBMeC22kN·m14kN·m+_分别校核两段轴的强度例题3图示阶梯圆轴,AB段的直径d1=120mm,BC段的直径d2=100mm.扭转力偶矩为MA=22kN·m,MB=36kN·m,MC=14kN·m.已知材料的许用切应力[]=80MPa,试校核该轴的强度.][MPa84.6416/)12.0(π102216/π33311t11max1dTWT][MPa3.7116/)1.0(π101416/π333222t2max2dTWT因此,该轴满足强度要求.例题4实心圆轴1和空心圆轴2（图a、b）材料,扭转力偶矩M和长度l均相等,最大切应力也相等.若空心圆轴的内外径之比=0.8,试求空心圆截面的外径和实心圆截面直径之比及两轴的重量比.2max1maxll(a)(b)分析：设实心圆截面直径为d1,空心圆截面的内、外径分别为d2、D2;又扭转力偶矩相等，则两轴的扭矩也相等，设为T.已知：2t2max1t1maxWTWTdd2D22t1tWTWT16)1(π16π432312t1tDdWW因此()3341211616dD解得194.18.0113412dD两轴材料、长度均相同,故两轴的重量比等于两轴的横截面面积之比512.0)8.01(194.1)1(4π)(4π222122221222212dDddDAA在最大切应力相等的情况下空心圆轴比实心圆轴轻,即节省材料.通过扭转实验发现：(1)低碳钢试件系横截面剪断；(2)铸铁试件则沿着与轴线成45º的螺旋线断裂；研究类似铸铁试件扭转破坏的原因,需考虑斜截面上的应力。圆轴扭转破坏实验（了解）,0n,0t2sin2cos设：ef边的面积为dA则´xntefbeb边的面积为dAcosef边的面积为dAsin0sin)sin(cos)cos(dAdAdAsin)cos(dAdAcos)sin(dA0´圆轴扭转时斜截面上的应力若材料抗拉（压）能力差，构件沿45斜截面发生破坏（脆性材料）。结论：若材料抗剪切能力差，构件沿横截面发生破坏(塑性材料）；2cos;2sin分析：´45°:,)1minmax,450;max,450;min:)2max,0;max横截面上！圆轴扭转时斜截面上的应力塑性材料][t][c][脆性材料][t][c][材料的抗拉、抗压、抗剪能力比较材料抗拉能力差，构件沿45斜截面因拉应力而破坏。材料抗剪切能力差，构件沿横截面因切应力发生破坏；2、铸铁试件：沿与轴线约成45的螺旋线断开。1、低碳钢试件：沿横截面断开。也因此，在纯剪切应力状态下直接引起断裂的最大拉应力总是等于横截面上相应的应力，所以在铸铁圆杆的抗扭强度的计算中也就以横截面上的作为依据。max铸铁的所谓扭转破坏，其实质上是沿-45º方向拉伸引起的断裂。圆轴扭转破坏原因PIGRTGmax§3.4圆轴扭转时的变形及刚度条件RlGIp称作抗扭刚度pTlGI扭矩不变的等直轴圆轴扭转的变形用两端面的相对转角来表示。一、扭转变形)(rad单位长度扭转角二、刚度条件：][PGIT][180PGIT圆轴扭转时的刚度计算例题5图示等直杆,已知直径d=40mm,a=400mm,材料的剪切弹性模量G=80GPa，BD=1°.试求：（1）AD杆的最大切应力;（2）扭转角ACaa2aMe2Me3MeABCD+Me2Me3Me解：画扭矩图计算外力偶矩MeBD=BC+CD=1°Tmax=3Me1π180)2(pepeGIaMGIaM（1）AD杆的最大切应力MPa7.69tmaxmaxWTmkN292eM（2）扭转角AC33218023.π)(pepeGIaMGIaMBCABACaa2aMe2Me3MeABCD+Me2Me3Me例题6某汽车的主传动轴是用40号钢的电焊钢管制成,钢管外径D=76mm,壁厚2.5mm,轴传递的转矩Me=1.98kN·m,材料的许用切应力[]=100MPa,切变模量为G=80GPa,轴的许可扭角[′]=2/m.试校核轴的强度和刚度.DdMeMe解：轴的扭矩等于轴传递的转矩轴的内、外径之比由强度条件由刚度条件.20934dDDD34ptmm1006.22/DIW][MPa1.96tmaxmaxWT().4454pπ178310mm32DI./[]maxmaxp180181mπTGImkN98.1eMTDdMeMe将空心轴改为同一材料的实心轴,仍使max=96.1MPad=47.2mm实心轴的直径为两轴材料、长度均相同,故两轴重量比等于两轴的横截面积比，在最大切应力相等的情况下空心圆轴比实心圆轴轻,即节省材料.MPa1.9616/π3maxmaxdT其截面面积为22mm17494πdA实空心轴的截面面积为222mm5774)7176(π空A329.0174957712AAAablCBM扭转超静定问题的解法，同样是综合考虑静力、几何、物理三方面。其主要难点仍是由变形协调条件建立补充方程。扭转超静定问题解:先考虑M作用，则1pBAMaGI只考虑MB的作用，则2()BBBAMabMlGIGI