向量的概念及其线性运算

平面向量的概念及其线性运算数学：安送杰一、教学目标：1、知识与技能：掌握平面向量的相关概念，线性运算的规律与几何意义，理解并熟练运用共线向量进行解题，体会数形结合的数学思想方法；2、过程与方法：在复习回忆之前学习的知识点的同时，通过习题巩固知识，加强理解，掌握运用知识的技巧与方法；3、情感、态度与价值观：通过对一些实际问题的解答，体会知识与生活的紧密联系，学习与生活是密不可分的。二、重点与难点：三、教学设计：1、知识点回顾：（1）、向量的概念及表示；（2）、和向量相关的一些概念：重点难点①了解向量的实际背景；理解平面向量的基本概念和几何表示；理解向量相等的含义.②掌握向量加、减法和数乘运算，理解其几何意义；理解向量共线定理.③了解向量的线性运算性质及其几何意义．运用向量加、减法、数乘运算进行解题，以及两个向量共线的充要条件的运用.①、向量的模；②、零向量；③、单位向量；④、平行向量（共线向量）；⑤、相等向量和相反向量；⑥、一个规定；（3）、向量的线性运算：①、向量的加法运算；②、向量的减法运算；③、向量的数乘运算；2、复习知识，练习巩固：（1）、向量的概念及表示：①、定义：既有大小，又有方向的量叫向量。◎与数量相比，数量只有大小，可比大小；向量既有大小又有方向，无法比较大小。②、向量的表示方法：A、几何表示法：用有向线段表示向量，三个要素：起点、方向和长度；B、字母表示法：手写使用AB或cba,,，印刷使用黑体小写字母。（2）、和向量相关的一些概念：①、向量的模：向量AB的模（或长度），就是向量AB的大小，记作：AB，向量的模可以比较大小；②、零向量：长度为0的向量叫做零向量，记作：0，其方向是任意的；③、单位向量：长度等于1的向量叫做单位向量；④、平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量叫平行向量，也称为共线向量；⑤、相等向量和相反向量：长度相等方向相同的向量叫做相等向量，长度相同方向相反的向量叫做相反向量；⑥、一个规定：零向量与任一向量平行；习题一：1、给出下列六个命题：①两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同；②若两向量|a|＝|b|，则a＝b；③若向量AB=DC,则A、B、C、D构成平行四边形；④在平行四边形ABCD中，一定有向量AB=DC；⑤若向量m=n，n=p，则m=p；⑥若向量a//b，b//c，则a//c；其中错误的命题为：（①②③⑥）解析：对①而言，起点相同，终点相同的两个向量肯定相等，但反之不一定；对②而言，向量是有方向的，模相等，方向不一定一样；对③而言，向量相等可能会共线，共线则不能构成平行；对⑥而言，若向量b为零向量，则不成立；2、设a为单位向量，判断下列命题为假命题的个数（3）①若b为平面内的某个向量，则b＝|b|·a；②若b与a平行，则b＝|b|·a；③若b与a平行且|b|＝1，则b＝a。注意：向量的方向，两向量平行可同向也可异向。（3）、向量的线性运算：1、向量的加法：①、定义：求两个向量的和的运算叫做向量的加法；②、运算法则：三角形法则与平行四边形法则；③、运算律：交换律与结合律(1)、a+b=b+a;(2)、a+b+c=a+(b+c)2、向量的减法：①、相反向量：我们规定，与向量a长度相等，方向相反的向量，叫做向量a的相反向量，记作-a。即有:a=-(-a),a+(-a)=(-a)+a=0②、向量的减法：我们定义a-b=a+(-b)，即减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量。③、几何意义：已知向量a与向量b，则a-b可以表示为从向量b的终点指向向量a的终点的向量。3、向量的数乘运算：①、定义：我们规定实数λ与向量a的积仍是向量，这种运算称为向量的数乘运算，记作λa,它的长度与方向规定为：长度：|λa|＝|λ||a|；方向：当λ0时，向量λa的方向与的方向相同；当λ0时，向量λa的方向与向量a的方向相反；当λ=0时，λa=0。②、向量数乘的运算律：结合律与分配律；(1)λ(μa)＝(λμ)a(2)(λ＋μ)a＝λa＋μa(3)λ(a＋b)＝λa＋λb③、向量共线：向量a与b共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使b=λa。④向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算。习题二：babaab1、在△ABC中，E、F分别为AC、AB的中点，BE与CF相交于G点，设向量AB=a，向量AC=b，试使用a、b表示向量AG。解法一：AG→＝AB→＋BG→＝AB→＋λBE→＝AB→＋λ2(BA→＋BC→)＝1－λ2AB→＋λ2(AC→－AB→)＝(1－λ)AB→＋λ2AC→＝(1－λ)a＋λ2b.又AG→＝AC→＋CG→＝AC→＋mCF→＝AC→＋m2(CA→＋CB→)＝(1－m)AC→＋m2AB→＝m2a＋(1－m)b，∴1－λ＝m2，1－m＝λ2，解得λ＝m＝23，∴AG→＝13a＋13b.解法二：点G为重心，所以AG=13（AB+AC）;2.如图，在四边形ABCD中，AC和BD相交于点O，设AD→＝a，AB→＝b，若AB→＝2DC→，则AO→＝________．(用向量a和b表示)答案：23a＋13b解析：因为AC→＝AD→＋DC→＝AD→＋12AB→＝a＋12b，又AB→＝2DC→，所以AO→＝23AC→＝23a＋12b＝23a＋13b.3、已知点P在△ABC所在的平面内，若2PA→＋3PB→＋4PC→＝3AB→，则△PAB与△PBC的面积的比值为__________．答案：45解析：由2PA→＋3PB→＋4PC→＝3AB→，得2PA→＋4PC→＝3AB→＋3BP→，∴2PA→＋4PC→＝3AP→，即4PC→＝5AP→.∴|AP→||PC→|＝45，S△PABS△PBC＝|AP→||PC→|＝45.4.已知点G是△ABO的重心，M是AB边的中点．(1)求GA→＋GB→＋GO→；(2)若PQ过△ABO的重心G，且OA→＝a，OB→＝b，OP→＝ma，OQ→＝nb，求证：1m＋1n＝3.(1)解：因为GA→＋GB→＝2GM→，又2GM→＝－GO→，所以GA→＋GB→＋GO→＝－GO→＋GO→＝0.(2)证明：解法一：因为OM→＝12(a＋b)，且G是△ABO的重心，所以OG→＝23OM→＝13(a＋b)．由P、G、Q三点共线，得PG→∥GQ→，所以有且只有一个实数λ，使PG→＝λGQ→.又PG→＝OG→－OP→＝13(a＋b)－ma＝13－ma＋13b，GQ→＝OQ→－OG→＝nb－13(a＋b)＝－13a＋n－13b，所以13－ma＋13b＝λ－13a＋n－13b.又a、b不共线，所以13－m＝－13λ，13＝λn－13，消去λ，整理得3mn＝m＋n，故1m＋1n＝3.解法二：因为P、G、Q三点共线，所以OG=tOP+(1-t)OQ，再与G为重心结合即可得到方程组，求解化简即可。