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1柯西不等式的应用技巧及练习柯西不等式的一般形式是:设1212,,,Rnnaaabbb,则222222212121122()()()nnnnaaabbbababab当且仅当1212nnaaabbb或120nbbb时等号成立.其结构对称,形式优美,应用极为广泛,特别在证明不等式和求函数的最值中作用极大.应用时往往需要适当的变形:添、拆、分解、组合、配凑、变量代换等,方法灵活,技巧性强.一、巧配数组观察柯西不等式,可以发现其特点是:不等式左边是两个因式的积,其中每一个因式都是项的平方和,右边是左边中对立的两项乘积之和的平方,因此,构造两组数:1212,,nnaaabbb和,便是应用柯西不等式的一个主要技巧.例1已知,,225xyzxyzR,,且求222(5)(1)(3)xyz的最小值.例2设,,Rxyz,求证:22222222222xyzxyz.二、巧拆常数运用柯西不等式的关键是找出相应的两组数,当这两组数不太容易找到时,常常需要变形,拆项就是一个变形技巧.例3设a、b、c为正数且各不相等,求证:cbaaccbba9222.三、巧添项根据柯西不等式的特点,适当添补(或加或乘)上常数项或和为常数的项等,也是运用柯西不等式的解题技巧.例4,,abcR求证:32abcbccaab.四、巧变结构有些问题本身不具备运用柯西不等式的条件,但是只要我们改变一下式子的形式结构,认清其内在的结构特征,就可达到运用柯西不等式的目的.例6a、b为非负数,a+b=1,Rxx21,求证:212121))((xxaxbxbxax2例7设,121nnaaaa求证:011111113221aaaaaaaannn例5.若abc,求证:114abbcac.练习题1.(2009年浙江省高考自选模块数学试题)已知实数zyx,,满足,12zyx设.2222zyxt(1)求t的最小值;(2)当21t时,求z的取值范围2(2010年浙江省第二次五校联考)已知,,abcR,1abc。ks5u(1)求222149abc的最小值;(2)求证:111332abbcca3(2010年杭二中高三年级第三次月考)已知正数,,abc满足:1cabcab,求abcbaccab的最大值.4(浙江省镇海中学高考模拟试题)已知,,xyz是正数,且121,xy求22122xxyy的最小值;35(金华十校2009年高考模拟考试)若Rcba,,,求证:1222bacacbcba6(2010年宁波市高三模拟测试卷)已知,,abc为正实数,且3abc.证明:2222()()()4()3acbacbacabc,并求等号成立时,,abc的值.7(浙江省镇海中学高考模拟试题)若0,,1,xyz且1xyyzzx,求证:3232323yzxxyz。8(2010年金华十校高考模拟考试)设正数x,y,z满足1543zyx求xzzyyx111值.9(2008年陕西高考理科数学压轴题)已知数列na的首项135a,13,1,2,.21nnnaana(1)求na的通项公式;(2)证明:对任意的21120,,1,2,;131nnxaxnxx410已知实数,,,abcd满足3abcd,22222365abcd试求a的最值.11求函数4293yxx的最大值.12求函数sincosyaxbx的极值,其中,ab是常数.13已知,,,abcR为常数,当2222xyzR时,求函数,,fxyzaxbycz的最大值与最小值.14已知对于满足等式2233xy的任意数,对,xy恒有2axy,求实数a的取值范围.15设p是ABC内的一点,,,xyz是p到三边,,abc的距离,R是ABC外接圆的半径,证明:22212xyzabcR.16求证三角形三边上正方形面积之和不小于该三角形面积的43倍,即22243abcS,其中,,abc为三角形三边长,S为三角形的面积.
本文标题:柯西不等式的应用技巧
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