卢兴江版微积分(上册)参考答案(4)

4微分中值定理及导数应用习题4.11.（1）4373x-+=，()fx为最小值。（2）,()2fpxx=为最大值。（3）1x=，()fx为最大值。2.（1）(1)1f=，(2)4f=，3(2)(1)()()3221ffffx-ⅱ===-；（2）(0)30,(0)0,()03603ffffffpppxp骣-琪琪骣骣桫ⅱ琪琪=====琪琪桫桫-；（3）()14fp=，()14fp-=-，()()444()(arccos)2()44ffffpppxppp--ⅱ===--；（4）(1)(1)(1)1,(1)1,()(0)01(1)ffffffx--ⅱ=--=-===--.3.2x=.4.提示：利用Lagrange定理.5.提示：用反证法.6.提示：利用Rolle定理.7.提示：对()()1fxFxx=+在[]0,1上用罗尔定理8.提示：利用Lagrange定理.9.提示：f在[],ab上有界.10.提示：证明()0fx¢=.11.（1）不能，理由见（2）;（2）112x=，233x=，323x=.12.4px=.13.（1）提示：利用“()0fx¢=则()fxCº（常数）”的结论。（2）提示：令22()1tansecfxxx=+-，证明()0fxº.14（1）提示：和差化积或直接用拉格朗日定理;（2）提示：利用Lagrange定理.习题4.21.提示：利用函数单调性定义和拉格朗日定理。2.（1）单调减少.（2）单调增加.（3）单调增加.（4）单调增加.3.（1）在1(,)2-?内单调增加，在1(,)2+?内单调减少；（2）在(),1-?或()1,+?内单调减少，在()1,1-内单调增加；（3）当0a£时，f单调减少；当0时，f在(0,)a单调增加，在(,)a+?单调减少；（4）在(),1-?或()0,1内单调减少，在()1,0-或()1,+?内单调增加.4.提示：设()()Fxxfxh=-，证明F在12(,)xx内必取到F在[]12,xx上的最小值或者最大值.5.（3）提示：令()nfxx=，在[],ba上用拉格朗日定理。6.（2）提示：32(tan)tan113xxxx骣¢琪=+++琪桫（3）更强的结果为：357911131512173840241tan31531528351559251228559535xxxxxxxxx习题4.31.（1）－1（2）+?（3）32（4）23（5）3（6）2e（7）3（8）e（9）－2（10）2（11）0（12）0（13）0（14）12（15）1（16）16e-（17）e（18）1（19）e2-（20）12-2.（1）a（2）2e-（3）13e习题4.41.（1）57223422arcsin3(1)(1)15(1)3!4!xxxx，,01.x（2）21(1)(1)(1)()1(1)2!!(1)!nnxxexfxexnn，其中x位于1和x之间.（3）24611sinsin1()()()2!24!26!2xxxxppxp=-++-+-+，其中x位于x与2p-之间.（4）246()()cos()1(1)2!4!6!xxfxx，其中x位于p与x之间.（5）234()(1)3(1)7(1)3(1)fxxxxx=--+-+-+-.（6）623457()1(1)xfxxxxxxx=++++++-，其中x位于0与x之间.（7）23222331111311351()(4)(4)(4)22422!423!4fxxxx=--+---92444135741(4)24!44xx-骣-琪++-琪桫,其中x在x与4之间.（8）35()3!5!2xxeefxx，其中x位于0与x之间.（9）2111()1(1)(1)(1)(1)(1)nnnnfxxxxxx++=--+-+--++-+,其中x在x与-1之间.2.（1）2（2）124（3）112-（4）12（5）163.3211()11(1),0128fxxxxqq-=+=+-+，误差3211188Exq-=+.4.99!97!-5.364()tan(secsec),013xfxxxxxqqq==+-.6.（1）342()2!3!(1)!nnxxxPxxxn.（2）4622462221,2,0,1,2,2!3!!()1,21,1,2,2!3!(1)!knkxxxxnkkkPxxxxxnkkk7.提示：利用()fx在xa=点的n阶泰勒公式。8.提示：利用21n-阶的带拉格朗日余项的泰勒公式。9.提示：利用()fx在xb=点的1n-阶泰勒公式，然后将xa=代入。10.提示：利用f在x点处带拉格朗日余项的一阶泰勒公式。11.提示：(,)dab$?，使()0fd=，再在[],cd上对f用拉格朗日公式。12.（1）1.6484375，4.5×10-4。习题4.51（1）极大值00xy==，极小值11xy==-；（2）极大值12xy=-=-；极小值12xy==；（3）无极值；（4）极小值00xy==；（5）极大值3243242e2kxkypppp+=+=，极小值7247242e2kxkypppp+=+=-，kÎ.（6）极小值2e2exy-==-.2.（1）max12y=,min13y=-;（2）maxmin2,12yypp==-;（3）max54y=,min56y=-+;（4）maxmin1,0eyy==;（5）max2yp=,min2yp=-;（6）maxmin0,8yy==-;（7）max35y=,min1y=-;（8）maxmin3333,22yy==-;（9）maxey=,min1ey=-.3（3）提示：令sin()xfxx=，利用f的单调性。4.当n为偶数时，无极值；当n为奇数时，有极大值01xy==.5.336.底半径∶高=1∶27.2VR8.水厂应建在甲城与乙城到岸的垂足之间，离甲城65013骣琪-琪桫公里处。9.矩形在第一象限的顶点坐标为,22ab骣琪琪桫，其他顶点坐标由对称性可得，此时矩形面积最大，最大值为2ab.10.11niixxn==å.习题4.61（1）在(,1)-?上向下凹，在(1,)-+?上向上凹，拐点为(1,1)-;（2）在33,,33骣骣琪琪-???琪琪桫桫向上凹；在33,33骣琪-琪桫向下凹，拐点为3535,,,3939骣骣琪琪---琪琪桫桫;（3）在(,1)-?上向下凹，在(1,)+?上向上凹，拐点为(1,0);（4）在(),1-?向下凹；在(1,)+?向上凹，无拐点.2.提示：先证当()0fxⅱ时，有1212()()22xxfxfxf骣++琪琪桫3.（1）0y=，1x=-，2x=（2）1,1xyx=-=-（3）1ex=-，1eyx=+（4）0y=（5）0x=，3yx=+4.略。5.三个拐点同位于直线430xy-+=上。6.曲率为2.7.曲率为1.8.在(,0),(0,)ab处的曲率分别为22,abba.9.所求抛物线为2211228yxxpp=-++-，曲率圆方程为2212xyp骣琪-+=琪桫.10.提示：(0)(0)0ff¢==.