福州市2020届高三1月质量检查(数学理)

数学试题（第1页共16页）准考证号姓名.（在此卷上答题无效）绝密★启用前2019—2020学年度第一学期福州市高三期末质量检测数学（理科）试题（完卷时间120分钟；满分150分）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页．满分150分.注意事项：1.答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的准考证号、姓名．考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名”与考生本人准考证号、姓名是否一致．2.第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．第Ⅱ卷用0.5毫米黑色签字笔在答题卡上书写作答．在试题卷上作答，答案无效．3.考试结束，考生必须将试题卷和答题卡一并交回．第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设复数1i1i2z,则zA．5B．102C．52D．5242.已知集合|02Axxx≤或≥，2|20Bxxx≤，则A．ABÜB．BAÜC．ABD．ABR3.执行如图所示的程序框图，若输入的,ab分别为4,2,则输出的nA．6B．5C．4D．34.已知向量(2,),(,2)ab,则“2”是“//(2)aab”的数学试题（第2页共16页）A．充分不必要条件B．充要条件C．必要不充分条件D．既不充分又不必要条件5.若5250125(2)(2)(2)xaaxaxax,则0a=A．32B．2C．1D．326.若实数,ab满足201,aba＜＜＜＜且22log,log,log,aaambnbpb则,,mnp的大小关系为A．mpn＞＞B．pnm＞＞C．npm＞＞D．pmn＞＞7.若2cos21sin2xx，则tanxA．1B．13C．1或13D．1或13或38.若,xy满足约束条件31,933,xyxy≤≤≤≤则zxy的最小值为A．1B．3C．5D．69.把函数sincosfxxx图象上各点的横坐标缩短到原来的12倍（纵坐标不变），再把得到的图象向左平移π8个单位长度，所得图象对应的函数为gx，则A．2cos2gxxB．32sin2gxxC．152sin21gxxD．132sin28gxx10.已知四边形ABCD为正方形，GD平面ABCD，四边形DGEA与四边形DGFC也都为正方形，连接BEFBEF,,，点H为BF的中点，有下述四个结论：①DEBF；②EF与CH所成角为60；③EC平面DBF；④BF与平面ACFE所成角为45．其中所有正确结论的编号是A．①②B．①②③C．①③④D．①②③④数学试题（第3页共16页）11.已知双曲线2222:1xyEab（0,0ab）的左、右焦点分别为12,FF，若E上点A满足122AFAF，且向量12,AFAF夹角的取值范围为,3，则E的离心率取值范围是A．3,5B．7,3C．3,5D．7,912.已知函数21()2,()fxxaxgxx，若存在点1122,,,AxfxBxgx，使得直线AB与两曲线yfx和ygx都相切，当实数a取最小值时，12xxA．322B．3322C．32D．3324数学试题（第4页共16页）绝密★启用前2019—2020学年度第一学期福州市高三期末质量检测数学（理科）试题第Ⅱ卷注意事项：用0.5毫米黑色签字笔在答题卡上书写作答．在试题卷上作答，答案无效．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上．13.函数,0,()e1,0,xxxfxx＜≥则(2)1ff．14.设抛物线22ypx上的三个点12323,,1,,,32AyByCy到该抛物线的焦点距离分别为123,,ddd．若123,,ddd中的最大值为3，则p的值为．15.已知nS为数列{}na前n项和，若152a，且122nnaa，则21S．16.农历五月初五是端午节，民间有吃粽子的习惯，粽子又称粽籺，俗称“粽子”，古称“角黍”，是端午节大家都会品尝的食品，传说这是为了纪念战国时期楚国大臣、爱国主义诗人屈原.如图，平行四边形形状的纸片是由六个边长为1的正三角形构成的，将它沿虚线折起来，可以得到如图所示粽子形状的六面体，则该六面体的体积为；若该六面体内有一球，则该球体积的最大值为．数学试题（第5页共16页）三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17.（本小题满分12分）在ABC△中，1,7ACBC．（1）若150A，求cosB；（2）D为AB边上一点，且22BDADCD，求ABC△的面积．18.（本小题满分12分）等差数列na的公差为2,248,,aaa分别等于等比数列nb的第2项，第3项，第4项.（1）求数列na和nb的通项公式；（2）若数列nc满足12211nnnbacacac,求数列nc的前2020项的和．19.（本小题满分12分）如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为正方形，PA底面ABCD，PAAB，E为线段PB的中点，F为线段BC上的动点．（1）求证：平面AEF平面PBC．（2）试确定点F的位置，使平面AEF与平面PCD所成的锐二面角为30．20.（本小题满分12分）已知圆22:43xyO，椭圆2222:1xyCab（0ab＞＞）的短轴长等于圆O半径的6倍，C的离心率为22．（1）求C的方程；（2）若直线l与C交于,AB两点，且与圆O相切，证明：AOB△为直角三角形．21.（本小题满分12分）数学试题（第6页共16页）已知函数2cos1.fxxax（1）当12a时，证明：0fx…；（2）若fx在R上有且只有一个零点，求a的取值范围．（二）选考题：共10分．请考生在第22，23两题中任选一题作答．如果多做，则按所做第一个题目计分，作答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑．22.（本小题满分10分）选修44：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为35,2132xtyt（t为参数）．以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为2cos．（1）求C的直角坐标方程；（2）设点M的直角坐标为5,3，l与曲线C的交点为,AB，求11MAMB的值．23.（本小题满分10分）选修45：不等式选讲已知函数1()212fxxx的最小值为m．（1）求m的值；（2）若,,abc为正实数，且abcm，证明：22213abc≥．数学试题（第7页共16页）2019－2020学年度第一学期福州市高三期末质量检测数学（理科）参考答案及评分细则评分说明：1．本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则。2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分。3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数。4．只给整数分数。除第16题外，选择题和填空题不给中间分。一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．B2．D3．C4．A5．D6．B7．C8．C9．A10．B11．B12．A二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上．13．2e214．315．8316．26；86729三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．17．【命题意图】本题主要考查利用正弦定理和余弦定理解三角形，任意三角形的面积，考查学生的逻辑推理能力与数学运算能力,考查的核心素养是逻辑推理、直观想象、数学运算.【解析】解法一：（1）在ABC△中，由正弦定理及题设得sinsinACBCBA，故17sinsin150B，································································3分解得1sin27B，·····················································································4分又030B＜＜，所以33321cos1427B.······················································6分数学试题（第8页共16页）（2）设ADCDx，则2BDx．在ABC△中，由余弦定理得，2`222cosBCABACABACA，即27916cosxxA，①···········································································7分在等腰ACD△中，有112cos2ACAADx，②····················································8分联立①②，解得1x或1x（舍去）．·························································9分所以ACD△为等边三角形，所以60A，····················································11分所以1133sin31sin60224ABCSABACA△．···································12分解法二：（1）同解法一．·············································································6分（2）设ADx，则,2,CDxBDx因为ADCBDC，所以BDCADCcoscos，··········································································7分由余弦定理得，得22222472142xxxxx，··········································································8分所以21x，解得1x或1x（舍去）．······················································9分所以ACD△为等边三角形，所以60A，····················································11分所以1133sin31sin60224ABCSABACA△．···································12分18.【命题意图】本题考查等差数列和等比数列的通项公式、性质，错位相减法求和,考查学生的逻辑推理能力,化归与转化能力及综合运用数学知识解决问题的能力.