三角函数基础知识

第1页三角函数基础知识（精华）1、任意角（终边相同的角、轴线角、象限角）①与（0°≤＜360°）终边相同的角的集合（角与角的终边重合）：Zkk,360|②象限角：第一象限的角表示为{|k360＜＜k360+90，（kZ）}；第二象限的角表示为{|k360+90＜＜k360+180，（kZ）}；第三象限的角表示为{|k360+180＜＜k360+270，（kZ）}；第四象限的角表示为{|k360+270＜＜k360+360，（kZ）}；或{|k36090＜＜k360，（kZ）}奎屯王新敞新疆③轴线角：终边在x轴正半轴上的角的集合：{|=k360，kZ}；终边在x轴负半轴上的角的集合：{|=k360+180，kZ}；终边在x轴上的角的集合：{|=k180，kZ}；终边在y轴正半轴上的角的集合：{|=k360+90，kZ}；终边在y轴负半轴上的角的集合：{|=k360+270，kZ}；终边在y轴上的角的集合：{|=k180+90，kZ}；终边在坐标轴上的角的集合：{|=k90，kZ}奎屯王新敞新疆2、弧度制①长度等于半径长的弧所对的圆心角称为1弧度的角奎屯王新敞新疆它的单位是rad读作弧度，这种用“弧度”做单位来度量角的制度叫做弧度制②性质：⑴平角、周角的弧度数，（平角=rad、周角=2rad）⑵正角的弧度数是正数，负角的弧度数是负数，零角的弧度数是0⑶角的弧度数的绝对值rl（l为弧长，r为半径）⑷角度制、弧度制度量角的两种不同的方法，单位、进制不同，就像度量长度一样有不同的方法，千米、米、厘米与丈、尺、寸，反映了事物本身不变，改变的是不同的观察、处理方法，因此结果就有所不同奎屯王新敞新疆⑸用角度制和弧度制来度量零角，单位不同，但数量相同（都是0）；用角度制和弧度制来度量任一非零角，单位不同，量数也不同奎屯王新敞新疆③角度制与弧度制的换算：∵360=2rad∴180=rad∴1=radrad01745.0180'185730.571801rad3、扇形相关公式①弧长公式：rl②周长公式：2crl③扇形面积公式21122SlRR其中是圆心角，l是扇形弧长，R是圆的半径奎屯王新敞新疆第2页4、三角函数定义：设是一个任意角，在的终边上任取（异于原点的）一点P（x,y）P与原点的距离为r，则：sinyr正弦：；cosxr余弦：；tanyx正切：；cotxy余切：；5、三角函数在各象限的符号：（一全二正弦，三切四余弦）正切、余切余弦、正割-----+++++-+正弦、余割oooxyxyxy6、特殊角的三角函数值：角度030456090120135150180弧度06432233456sin（正弦）012223213222120cos（余弦）132221201222321tan（正切）03313313307、同角三角函数的基本关系式：tancossincotsincos1cottan1cossin228、诱导公式：2k把的三角函数化为的三角函数，概括为：“奇变偶不变，符号看象限”公式组一公式组二公式组三公示四sin(2)sincos(2)costan(2)tankxxkxxkxxsin()sincos()costan()tanxxxxxxsin()cos2cos()sin2tan()cot2xxxxxxsin()cos2cos()sin2tan()cot2xxxxxxroxya的终边P（x,y)TMAOPxy第3页公式组四公式组五公式组六sin()sincos()costan()tanxxxxxxsin(2)sincos(2)costan(2)tanxxxxxxsin()sincos()costan()tanxxxxxx9、三角恒等变换公式sinsincoscos)cos(cossin22sinsinsincoscos)cos(2222sin211cos2sincos2cossincoscossin)sin(2tan1tan22tansincoscossin)sin(2cos12sintantan1tantan)tan(2cos12costantan1tantan)tan(升幂公式：221+cos22cos1cos22sinaaaa221sin2(sincos)1sin2(sincos)aaaaaa降幂公式：221cos2cos21cos2sin2aaaa辅助角公式：1:3sin3cos2sin()33:13sincos2sin()61:1sincos2sin()4aaaaaaaaa型：型：型：10、正弦、余弦、正切、余切函数的图象的性质：定义域RR值域[1,1][1,1]R周期性22奇偶性奇函数偶函数奇函数单调性[2,2]22kk上为增函数；3[2,2]22kk上为减函数（Zk）[21,2]kk；上为增函数[2,21]kk上为减函数（Zk）kk2,2上为增函数（Zk）对称轴0xx（0x是函数取最大或最小值时对应的x值）无对称中心0(,0)x（函数图像与x轴的交点）sincos1cos1sincos1cos12tanZkkxRxx,21|且xytanxycosxysin第4页xAysin（A、＞0）定义域R值域RAA,周期性2奇偶性(0)0f时，为奇函数(0)0(0)ff时，为奇函数；是极值时，为偶函数单调性当22kxk时，为增函数（Zk）当2222kxk时，为增函数；当32222kxk时，为减函数（Zk）对称轴无0xx（0x是函数取最大或最小值时对应的x值）对称中心0(,0)x（函数图像与x轴的交点）注意：①xysin与xysin的单调性正好相反；xycos与xycos的单调性也同样相反。②xysin与xycos的周期是.③)sin(xy或)cos(xy（0）的周期2T.2tanxy的周期为2（2TT，如图，翻折无效）.④)sin(xy的对称轴方程是2kx（Zk），对称中心（0,k）；)cos(xy的对称轴方程是kx（Zk），对称中心（0,21k）；)tan(xy的对称中心（0,2k）。⑤当tan·,1tan)(2Zkk；tan·,1tan)(2Zkk.⑥xycos与kxy22sin是同一函数,而cos()yx是偶函数，则cos()sin()cos()2yxwxkwx.⑦函数xytan在R上为增函数.（×）[只能在某个单调区间单调递增.若在整个定义域，xytan为增函数，同样也是错误的].⑧xysin不是周期函数；xysin为周期函数（T）；▲Oyx▲yxy=cos|x|图象ZkkxRxx,|且tan+yx（）第5页xycos是周期函数；xycos为周期函数（T）；212cosxy的周期为（如图），并非所有周期函数都有最小正周期，例如：Rkkxfxfy),(5)(.11、三角函数图象的作法：１）、几何法：２）、描点法及其特例——五点作图法（正、余弦曲线），三点二线作图法（正、余切曲线）.３）、利用图象变换作三角函数图象．三角函数的图象变换有振幅变换、周期变换和相位变换等．函数y＝Asin（ωx＋φ）的振幅|A|，周期2||T，频率1||2fT，相位;x初相（即当x＝0时的相位）．（当A＞0，ω＞0时以上公式可去绝对值符号），由y＝sinx的图象上的点的横坐标保持不变，纵坐标伸长（当|A|＞1）或缩短（当0＜|A|＜1）到原来的|A|倍，得到y＝Asinx的图象，叫做振幅变换或叫沿y轴的伸缩变换．（用y/A替换y）由y＝sinx的图象上的点的纵坐标保持不变，横坐标伸长（0＜|ω|＜1）或缩短（|ω|＞1）到原来的1||倍，得到y＝sinωx的图象，叫做周期变换或叫做沿x轴的伸缩变换．(用ωx替换x)由y＝sinx的图象上所有的点向左（当φ＞0）或向右（当φ＜0）平行移动｜φ｜个单位，得到y＝sin（x＋φ）的图象，叫做相位变换或叫做沿x轴方向的平移．(用x＋φ替换x)由y＝sinx的图象上所有的点向上（当b＞0）或向下（当b＜0）平行移动｜b｜个单位，得到y＝sinx＋b的图象叫做沿y轴方向的平移．（用y+(-b)替换y）由y＝sinx的图象利用图象变换作函数y＝Asin（ωx＋φ）（A＞0，ω＞0）（x∈R）的图象，要特别注意：当周期变换和相位变换的先后顺序不同时，原图象延x轴量伸缩量的区别。正弦定理及变形：（A，B，C为三角形三个顶角，a，b，c，R为外接圆半径）2sinsinsinsinsinsinabcabcRABCABC变形：2sinaRA2sinbRB2sincRC余弦定理：222cos2bcaAbc222cos2acbBac222cos2abcCab变形：2222cosabcbcA2222cosbacacB2222coscababC三角形及面积的计算：111sinsinsin2224abcSabCacBbcAR三角形内诱导公式：sinsin()ABCcoscos()ABCtantan()ABCsincos()22ABCcossin()22ABCtancot()22ABC▲1/2yxy=|cos2x+1/2|图象c