8.4三元一次方程组及其解法(非常好)

8.4三元一次方程组及其解法纳溪中学赵彬解二元一次方程组有哪几种方法？它们的基本思想是什么？二元一次方程组代入加减消元一元一次方程什么叫做二元一次方程组?方程组中含有两个未知数,且含未知数的项的次数是一次，这样的方程组叫做二元一次方程组。复习导入问题回顾“我们的小世界杯”足球赛第二轮比赛中，勇士队参加了10场比赛，按同样的计分规则，共得18分。已知勇士队在比赛中胜的场数正好等于平与负的场数之和，那么勇士队在第二轮比赛中胜、平、负的场数各是多少？这个问题中包含有个未知数，有个相等关系，分别是什么？分析：解：设勇士队在第二轮比赛中，胜、平、负的场数分别是x、y、z场，根据题意，有X+y+z=10①3x+y=18②X=y+z③解：设勇士队在第二轮比赛中，胜、平、负的场数分别是x、y、z场，根据题意，有3x+y=18②X+y+z=10①X=y+z③观察方程问题：1、什么叫三元一次方程？2、什么叫三元一次方程组？2、含有三个未知数，每个方程中含未知数的项的次数都是1，像这样的方程组叫做三元一次方程组。1、都含有三个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1，像这样的整式方程叫做三元一次方程。X+y+z=10①3x+y=18②X=y+z③解：设勇士队在第二轮比赛中，胜、平、负的场数分别是x、y、z场，根据题意，有把③代入①、②，得2y+2z=10④4y+3z=18⑤解之得y=3z=2把y=3,z=2代入方程③，得X=5∴X=5y=3z=2小明手头有12张面额分别为1元、2元、5元的纸币，共计22元，其中1元的纸币的张数是2元纸币张数的4倍.求1元、2元、5元纸币各多少张？分析：这个问题中包含有个相等关系：1元纸币张数＋2元纸币张数＋5元纸币张数＝12张1元纸币的张数＝2元纸币的张数的4倍1元的金额＋2元的金额＋5元的金额＝22元试一试设1元、2元、5元的纸币分别为x张、y张、z张根据题意，可以得到下面三个方程：X+y+z=12X=4yX+2y+5z=22①②③X+2y+5z=22③X+y+z=12①X=4y②X=8y=2z=2三元一次方程组一元一次方程二元一次方程组1.化“三元”为“二元”总结消元消元三元一次方程组求法步骤：2.化“二元”为“一元”怎样解三元一次方程组？（也就是消去一个未知数）问题1解方程组x-z=4.③1.化“三元”为“二元”考虑消去哪个未知数（也就是三个未知数要去掉哪一个?）2.化“二元”为“一元”。x-y+z=0②x+y+z=2①交流探究解：①＋②，得2x+2z=2,化简，得x+z=1④③+④,得x+y+z=2,x-y+z=0,x-z=4.52542z32z2x=552x,52x32z53()022yy=152132xyz注：如果三个方程中有一个方程是二元一次方程（如例1中的③），则可以先通过对另外两个方程组进行消元，消元时就消去三个元中这个二元一次方程（如例1中的③）中缺少的那个元。缺某元，消某元。x+y+z=2,x-y+z=0,x-z=4.①③②在三元化二元时，对于具体方法的选取应该注意选择最恰当、最简便的方法。分析：方程①中只含x,z,因此，可以由②③消去y，得到一个只含x，z的方程，与方程①组成一个二元一次方程组解三元一次方程组3x＋4z=7①2x＋3y＋z=9②5x－9y＋7z=8③｛解：②×3＋③，得11x＋10z=35④①与④组成方程组3x＋4z=711x＋10z=35｛解这个方程组，得X=5Z=-2｛把x＝5，z＝-2代入②，得y=31因此，三元一次方程组的解为X=5Y=Z=-231｛3213,27,2312xyzxyzxyz①②③练习：解方程组思考：三元一次方程组降为二元一次方程组，说说消去哪个求知数，并说明理由！解：①＋③得:5x＋5y=25④②+③×2得：5x+7y=31⑤｛5x＋5y=25④5x＋7y=31⑤X=2y=3｛解得把x＝2，y＝3代入②，得z=1所以方程组的解为x=2y=3z=1｛解方程组x+2y-3z=1③2x-3y+4z=3①3x-2y+z=7②解：由方程②，得Z=7-3x+2y④将④分别代入方程①和③，得2x-3y+4(7-3x+2y)=3X+2y-3(7-3x+2y)=1整理，得-2x+y=-55x-2y=11解这个二元一次方程组，得X=1Y=-3代入④得Z=-2∴X=1y=-3z=-2解方程组x+2y-3z=1③2x-3y+4z=3①3x-2y+z=7②解：①-③×2，得-7y+10z=1④②-③×3，得-8y+10z=4⑤④-⑤得y=-3把y=-3代入④得把y=-3,z=-2代入①得X=1∴X=1y=-3z=-2Z=-2分析：三个方程中未知数的系数都不是1或-1，用代入消元法比较麻烦，可考虑用加减消元法求解。3433.................2322.................53422.............xyzxyzxyz①②③问题3：解方程组解：③-②，得3x+6z=-24即x+2z=-8④①×3+②×4，得17x-17z=17即x-z=1⑤联立④，⑤，得281xzxz3433.................2322.................53422.............xyzxyzxyz①②③解得将x=-2，z=-3代入方程②，得y=0.所以原方程组的解是23xz203xyzx＋y－z＝6x－3y＋2z＝13x＋2y－z＝4解三元一次方程组①②③【答案】4x+8y+5z=300x+y+2z=67x+y+z=51x=15y=20解得：z=16::1:2:72321xyzxyz7217211212122)2(72)1(:zyxzyxtttttztytx故得代入则设由解己知，求的值。0720634zyxzyx22222275632zyxzyx136367)2(5)3(6)2(3)3(27563223,3)2(22,2211)1(4)2()2(72)1(634:22222222222222zzzzzzzzzyxzyxzyzxzxzyzyzyzyxzyx代入下式把得代入把得原方程组可化为解练习：在等式y=ax2＋bx＋c中,当x=-1时,y=0;当x=2时,y=3;当x=5时,y=60.求a,b,c的值解：根据题意，得三元一次方程组a－b＋c=0①4a＋2b＋c=3②25a＋5b＋c=60③②－①，得a＋b=1④③－①，得4a＋b=10⑤④与⑤组成二元一次方程组a＋b=14a＋b=10a=3b=-2解这个方程组，得把代入①，得a=3b=-2｛c=-5a=3b=-2c=-5因此答：a=3,b=-2,c=-5.一元一次方程求出第一个未知数的值求出第三个未知数的值求出第二个未知数的值二元一次方程组三元一次方程组消元消元