随机变量及其分布知识点整理

随机变量及其分布知识点整理一、离散型随机变量的分布列一般地，设离散型随机变量X可能取的值为12,,,,,inxxxx，X取每一个值(1,2,,)ixin的概率()iiPXxp，则称以下表格Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn为随机变量X的概率分布列，简称X的分布列.离散型随机变量的分布列具有下述两个性质：（1）0,1,2,,iPin≥（2）121nppp1．两点分布如果随机变量X的分布列为X01P1-pp则称X服从两点分布，并称=P(X=1)p为成功概率.2．超几何分布一般地，在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品，则事件Xk发生的概率为：(),0,1,2,3,...,knkMNMnNCCPXkkmC则随机变量X的概率分布列如下：X01…mP00nMNMnNCCC11nMNMnNCCC…mnmMNMnNCCC*min,,,,,,mMnnNMNnMNN其中且。注：超几何分布的模型是不放回抽样二、条件概率一般地，设A,B为两个事件,且()0PA,称()(|)()PABPBAPA为在事件A发生的条件下,事件B发生的条件概率.0(|)1PBA≤≤如果B和C互斥，那么[()|](|)(|)PBCAPBAPCA三、相互独立事件设A，B两个事件，如果事件A是否发生对事件B发生的概率没有影响(即()()()PABPAPB),则称事件A与事件B相互独立。()()()ABPABPAPB即、相互独立一般地，如果事件A1,A2,…,An两两相互独立，那么这n个事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积，即1212(...)()()...()nnPAAAPAPAPA.注：(1)互斥事件：指同一次试验中的两个事件不可能同时发生；(2)相互独立事件：指在不同试验下的两个事件互不影响.四、n次独立重复试验一般地，在相同条件下，重复做的n次试验称为n次独立重复试验.在n次独立重复试验中，记iA是“第i次试验的结果”，显然，1212()()()()nnPAAAPAPAPA“相同条件下”等价于各次试验的结果不会受其他试验的影响注:独立重复试验模型满足以下三方面特征第一：每次试验是在同样条件下进行；第二：各次试验中的事件是相互独立的；第三：每次试验都只有两种结果，即事件要么发生，要么不发生.n次独立重复试验的公式：nAXApnAk一般地，在次独立重复试验中，设事件发生的次数为，在每次试验中事件发生的概率为，那么在次独立重复试验中，事件恰好发生次的概率为()(1),0,1,2,...,.(1)kknkkknknnPXkCppCpqknqp其中，而称p为成功概率.五、二项分布一般地，在n次独立重复试验中，用X表示事件A发生的次数，设每次试验中事件A发生的概率为p，则()(1)0,1,2,,kknknPXkCppkn，X01…k…nP00nnCpq111nnCpq…kknknCpq…0nnnCpq此时称随机变量X服从二项分布，记作~(,)XBnp，并称p为成功概率.六、离散随机变量的均值（数学期望）一般地，随机变量X的概率分布列为Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn则称1122()iinnEXxpxpxpxp为X的数学期望或均值，简称为期望.它反映了离散型随机变量取值的平均水平.1．若YaXb，其中a，b为常数，则Y也是变量Y1axb2axb…iaxb…naxbPp1p2…pi…pn则()EYaEXb，即()()EaXbaEXb2．一般地，如果随机变量X服从两点分布，那么()=10(1)EXppp即若X服从两点分布，则()EXp3．若~(,)XBnp，则()EXnp七、离散型随机变量取值的方差和标准差一般地,若离散型随机变量x的概率分布列为Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn2221122(())(())(())..nnDXxEXpxEXpxEXpXDXX则称为随机变量的方差并称为随机变量的标准差1．若X服从两点分布，则()(1)DXpp2．若~(,)XBnp，则()(1)DXnpp3．2()()DaXbaDX