高等数学课件同济六版上册1-1

第一章函数极限连续一、基本性质二、函数的极限三、函数的连续本章介绍函数、极限、连续的基本概念，以及它们的一些性质。如：函数的单调性、函数周期性、奇偶性等。函数的有界性、函数的极限、连续等。第一节映射与函数一、集合区间二、映射与函数三、函数的基本特性四、得到新函数方法五、初等函数一、集合(set)区间(interval)1.集合:具有某种特定性质的事物的总体.组成这个集合的事物称为该集合的元素.},,,{)1(21naaaA枚举法　}{)2(所具有的特征描述法　xxM,Ma,Ma记为唯一确定的特性：任意对象是否为该集合的元素，可唯一判别。(3)文氏图2.表示法:(1)分为有限集和无限集.,,)1(的子集是就说则必若BABxAx.BA记作3.几种集合:(2)常用数集N----自然数集Z----整数集Q----有理数集R----实数集4.集合的运算:.,,:RQQZZN例如　(3)不含任何元素的集合称为空集.记作}01,{2xRxx例如规定空集为任何集合的子集..,,)2(相等与就称集合且若BAABBA},2,1{A例如},023{2xxxC.CA则记为A=B(3)集合的并、交、差、补运算BxAxxdefBA或BxAxxdefBA且BxAxxdefBA且AxUxxdefAUdefA且BA交换律结合律分配律得摩根律5.区间:是指介于某两个实数之间的全体实数.这两个实数叫做区间的端点.abIbaRba.,,且}{bxax称为开区间,),(ba记作}{bxax称为闭区间,],[ba记作oxaboxab两端点间的距离为区间长度I(1)有限区间}{bxax}{bxax称为半开区间,称为半开区间,),[ba记作],(ba记作oxaoxb(2)无限区间}{),[xaxaDef}{),(bxxbDef}{),(RxxDef只是一个记号。为负无穷大为正无穷大，其中　.6.邻域(neighborhood):.0,且是两个实数与设a).(0aU记作,叫做这邻域的中心点a.叫做这邻域的半径axxaxaxaU}{)(xaaa,邻域的去心的点a}0{)(0axxaU)(,}{aUaaxx记为邻域的称为点数集=(x0,x0+)),(),(0000xxxx二、映射(injection)与函数(function):在某过程中数值保持不变的量称为常量,Remark:常量与变量是相对“过程”而言的.通常用字母a,b,c等表示常量,而数值变化的量称为变量.常量与变量的表示方法：用字母x,y,t等表示变量.1.常量(constant)与变量(variable)绝对值(absolute):00aaaaa)0(a运算性质:;baab;baba.bababa)0(aax;axa)0(aax;axax或绝对值不等式:yxyx||||2.映射的概念设X、Y是两个非空集合,如果存在一个法则f,使得对X中每个元素x,按法则f,在Y中有唯一确定的元素y与之对应,则称f为从X到Y的映射,记作f:XY.(1)定义y称为元素x(在映射f下)的像,并记作f(x),即yf(x),X中所有元素的像所组成的集合称为映射f的值域,记为Rf,或f(X),即Rff(X){f(x)|xX}.元素x称为元素y(在映射f下)的一个原像;集合X称为映射f的定义域,记作Df,即DfX.2.映射的概念设X、Y是两个非空集合,如果存在一个法则f,使得对X中每个元素x,按法则f,在Y中有唯一确定的元素y与之对应,则称f为从X到Y的映射,记作f:XY.REMARK:•构成一个映射必须具备以下三个要素:集合X,即定义域DfX;集合Y,即值域的范围:RfY;对应法则f,使对每个xX,有唯一确定的yf(x)与之对应.(1)定义例1设f:RR,对每个xR,f(x)x2.f是一个映射,f的定义域DfR,值域Rf{y|y0}.例2设X{(x,y)|x2y21},Y{(x,0)||x|1},f:XY,对每个(x,y)X,有唯一确定的(x,0)Y与之对应.f是一个映射,f的定义域DfX,值域RfY.例3设f:]2,2[[1,1],对每个x]2,2[,例3f(x)sinx.f是一个映射,定义域Df]2,2[,值域Rf[1,1].(2)满射、单射和双射设f是从集合X到集合Y的映射.•若RfY,即Y中任一元素y都是X中某元素的像,则称f为X到Y上的映射或满射;•若对X中任意两个不同元素x1x2,它们的像f(x1)f(x2),则称f为X到Y的单射;•若映射f既是单射,又是满射,则称f为一一映射(或双射).在数学的不同分支中，映射有不同的惯用名，如算子、变换、泛函、函数等。(3)逆映射设f是X到Y的单射,则由定义,对每个yRf,有唯一的xX,适合f(x)y,于是,我们可定义一个从Rf到X的新映射g,即g:RfX,对每个yRf,规定g(y)x,这x满足f(x)y.这个映射g称为f的逆映射,记作f1,其定义域为Rf,值域为X.(4)复合映射设有两个映射g:XY1,f:Y2Z,其中Y1Y2.则由映射g和f可以定出一个从X到Z的对应法则,它将每个xX映射成f[g(x)]Z.显然,这个对应法则确定了一个从X到Z的映射,这个映射称为映射g和f构成的复合映射,记作fog,即fog:XZ,(fog)(x)f[g(x)],xX.NOTE：映射的复合是有顺序的,fog有意义并不表示gof也有意义.即使它们都有意义,fog与gof也未必相同.见书P7例题43.函数概念例如圆内接正多边形的周长nnrSnsin2,5,4,3n3S5S4S6S圆内接正n边形Orn因变量自变量.)(,000处的函数值为函数在点称时当xxfDx.}),({称为函数的值域函数值全体组成的数集DxxfyyW变量y按照一定法则总有确定的数值和它对应，则称y是x的函数，记作设x和y是两个变量,D是一个给定的数集，数集D叫做这个函数的定义域(Domainofdefinition))(xfy如果对于每个数Dx,(1)定义函数的两要素:定义域与对应法则.(2)约定:定义域是自变量所能取的使算式有意义的一切实数值.21xy例如，]1,1[:D211xy例如，)1,1(:Doxy),(00yx0xWD)(0xfy(3)图形(Graph):.)(}),(),{(的图形函数称为点集xfyDxxfyyxC(4)函数的表示法解析法(公式法）列表法(表格法）图像法(图形法）描述法?))((,1)(:Prxxffxxfoblem则若如果自变量在定义域内任取一个数值时，对应的函数值总是只有一个，这种函数叫做单值函数，否则叫与多值函数．．例如，222ayx•多值函数、单值分支一般只讨论单值函数x2+y2=a2oxy22xay(5)几个特殊的函数举例•绝对值函数(AbsoluteFunction)00xxxxxy当当-2-1120.511.52•符号函数(signFunction)010001sgnxxxxy当当当1-1xyoxxxsgn•取整函数(integralvaluedfunction)y=[x]12345-2-4-4-3-2-14321-1-3xyo阶梯曲线[x]表示不超过x的最大整数是无理数时当是有理数时当xxxDy01)(有理数点无理数点•1xyo•狄利克雷(Dirichlet’sFunction)函数•取最值函数(MaximumandMinimumfunctions)}(),(max{xgxfy)}(),(min{xgxfyyxo)(xf)(xgyxo)(xf)(xg)}(),(max{xgxf)}(),(min{xgxf|)()(|)()(21xgxfxgxf|)()(|)()(21xgxfxgxf0,10,12)(,2xxxxxf例如12xy12xy•在自变量的不同变化范围中,对应法则用不同的式子来表示的函数,称为分段函数..)3(,212101)(定义域的求函数设xfxxxf例4解23121301)3(xxxf212101)(xxxf122231xx]1,3[:fD故M-Myxoy=f(x)X有界无界M-MyxoX0x,)(,,0,成立有若MxfXxMDX1、函数的有界性(Bound):..)(否则称无界上有界在则称函数Xxf三、函数的基本特性,)(,,0,成立有若MfXMDX.)(上无界在则称函数Xxf.0,1)(ln)(),(11)(:2内无界在内有界，在证明函数例如xxgxxf.111)(,,1:2xxfRxM有证明.),(11)(2内有界在故函数xxf,ln),1,0(,000GxxG使.ln)(,10GxxgeG有取.0,1)(ln)(内无界在故xxg?)(,)(:Pr为有界函数则有界函数在任何有限区间上皆为若xfxfoblem2、函数的单调性(MonotonicFunction):,,)(DIDxf区间的定义域为设函数,,2121时当及上任意两点如果对于区间xxxxI;)(上是单调增加的在区间则称函数Ixf),()()1(21xfxf恒有)(xfy)(1xf)(2xfxyoI)(xfy)(1xf)(2xfxyoI;)(上是单调减少的在区间则称函数Ixf,,)(DIDxf区间的定义域为设函数,,2121时当及上任意两点如果对于区间xxxxI),()()2(21xfxf恒有单调增与单调减的函数统称为单调函数。,,:Pr皆为增函数？两个单调增函数积与商皆为增函数？两个单调增函数和与差oblem3．函数的奇偶性(EvenandOdd):EvenFunction有对于关于原点对称设,,DxD)()(xfxfyx)(xf)(xfyox-x)(xf;)(为偶函数称xf有对于关于原点对称设,,DxD)()(xfxf;)(为奇函数称xfOddFunction)(xfyx)(xfox-x)(xfy4．函数的周期性(PeriodicFunction):（通常说周期函数的周期是指其最小正周期）.2l2l23l23l,)(Dxf的定义域为设函数如果存在一个不为零的)()(xflxf且为周则称)(xf.)(,,DlxDxl使得对于任一数.)(,的周期称为期函数xfl.恒成立周期函数意味着性:函数图形可由其一个周期内的图形拷贝生成。01)(是无理数时当是有理数时当xxxDy狄利克雷函数是周期函数，且任意有理数均是它的的周期，故它没有最小正周期。).()();()();()(xgxfxgxfxgxf1.函数的四则运算(combinationsoffunctions)四则运算的一些结论:(1)f(x)、g(x)在I上非负单增，则f(x)+g(x)、f(x)g(x)也非负单增。(2)f(x)、g(x)在R上是奇函数，则f(x)±g(x)是奇函数，f(x)g(x)是偶函数。(3)f(x)、g(x)在D上是有界函数，则f(x)+g(x)、f(x)g(x)也是有界函数。四、得到新的方法证f(x)、g(x)在D上是有界函数。均有使得则DxNM,0,|f(x)|≤M,|g(x)|≤N.有：于是对于Dx|f(x)±g(x)|≤|f(x)|+|g(x)|≤M+N,|f(x)g(x)|≤