概率论与数理统计期末必备复习资料

浙江师范大学11.事件间的关系①包含关系：事件A发生必然导致B发生，记为②相等关系：，记为A=B。③积事件：事件A与B同时发生，记为AB。④和事件：事件A或B至少有一个发生，记为⑤差事件：事件A发生而B不发生，记为A-B。⑥互斥事件：事件A、B不能同时发生，即，又称A、B为互不相容事件。⑦逆事件：“A不发生”这一事件称为A的逆事件，记为，A与又称为对立事件。ABABABABBA且AAAA,AASASA事件间的关系与事件的运算浙江师范大学2浙江师范大学32.事件的运算律①交换律：②结合律：③分配律：④对偶律（DeMorgan德摩根律）：⑤减法：;ABBAABBA()()ABCABC()();ABCABC()()();ABCACBC()()()ABCABAC;ABAB;ABABABAB浙江师范大学4概率：做n次重复试验，事件A发生的次数记为，当n很大时，若频率稳定在常数P附近，则称P为随机事件A发生的概率，记作P(A)=P。概率的公理化定义：设E是随机试验，S是样本空间，对E的每个随机事件A，赋予一个实数P(A)，若它满足：①非负性：②规范性：，S为样本空间（必然事件）③可列可加性：若事件中则则称P(A)为事件A的发生概率。An/Ann()()()nfAPAn0()1PA()=1PS12,,,,nAAA,ijAAij1212()()()PAAPAPA浙江师范大学5概率的性质1.有限可加性：有限个两两互斥的事件则2.是A的对立事件，则3.则4.一，当A，B互斥即时5.6.推广：12,,,nAAA()()()()PABPAPBPAB1212()()()()nnPAAAPAPAPAA1PAPAAB()=()()PBAPBPA()0,P()1PS()1PA()()()()PABCPAPBPC()()()PABPACPBC()PABCAB()()()PABPAPB浙江师范大学6预备知识：排列、组合1.分类计数原理(加法原理)：设完成一件事有k类方法，每类分别有种方法，则完成这件事情共有种方法.2.分步计数原理(乘法原理)：设完成一件事有k个步骤，第一步有种方法，…,第k步有种方法，则完成这件事情共有种方法.3.排列：从n个不同元素中取出m个元素，按一定次序排成一列.排列数：从n个不同元素中取出m个元素的所有排列的个数记为注：(1)(1)mnAnnnm0!112,,,kmmm12kmmm12kmmmkm1m!()!nnm11,mmnnAnA,mnA等可能概型（古典概型）浙江师范大学74.组合：从n个不同元素中取出m个元素并成一组(与顺序无关).组合数：从n个不同元素中取出m个元素的所有组合的个数，记为,mnCmnC!!()!nmnm!mnAm(1)(1)!nnnmm浙江师范大学8等可能概型（古典概型）1.定义：具有以下性质的随机试验称为等可能概型①试验的样本空间的元素只有有限个②试验中每个基本事件发生的可能性相同2.等可能概型中事件概率的计算公式：n为随机试验的总的结果数，即样本点的总数，k为事件A包含的结果数。kPAn浙江师范大学91.定义：事件A已发生的条件下事件B发生的概率，称为条件概率，记为P(B|A)。例将一枚硬币抛掷两次，观察其出现正面的情况，设A={至少有一次为正面H}，B={两次掷出同一面}，求P(B|A)解：样本空间S={HH,HT,TH,TT},A={HH,HT,TH},B={HH,TT}。则可得：P(B|A)＝1/3条件概率的计算公式：ABA中包含的基本事件中包含的基本事件|PABPBAPA条件概率浙江师范大学10乘法定理：设P(A)0，则有P(AB)=P(B|A)P(A)推广：P(AB)0，则有P(ABC)=P(C|AB)P(AB)=P(C|AB)P(B|A)P(A)设为n个事件，且121()0nPAAA12,,,nAAA(2)n12121121()(|)()nnnnPAAAPAAAAPAAA1211122211(|,,)(|,,)(|)()nnnnPAAAAPAAAAPAAPA浙江师范大学11全概率公式划分：设S为试验E的样本空间，为E的一组事件，若①②则称为样本空间S的一个划分.例E：掷骰子观察点数是S的一个划分不是S的一个划分123={123}{45}{6}BBB，，，，，12,,,nBBB,,,1,2,,ijBBijijn12nBBBS12,,,nBBB{123456}S，，，，，123={123}{34}{56}CCC，，，，，，浙江师范大学12全概率公式定理：设随机试验E的样本空间为S，A为E的事件.为S的一个划分，且则，称之为全概率公式。注：全概率公式给出我们一个用来计算在众多原因的作用下事件A发生概率的方法.（由因得果）12,,,nBBB()0(1,2,,)iPBin1122nn()(|)()(|)()(|)()PAPABPBPABPBPABPB12,,,nBBB浙江师范大学13贝叶斯公式（由果溯因）设E的样本空间为S，A为E的事件.为S的一个划分，且，则为贝叶斯（Bayes）公式.称为先验概率；称为后验概率.()0,()0.(1,2,,)iPAPBin12,,,nBBB1122nn()(|)()(|)=()(|)()(|)()(|)()iiiiPABPABPBPBAPAPABPBPABPBPABPB()iPB(|)iPBA浙江师范大学14条件概率条件概率小结缩减样本空间定义式乘法公式全概率公式贝叶斯公式浙江师范大学15独立性独立事件：两事件A、B，A发生对B发生没有影响，B发生也对A没有影响，则称两事件相互独立.即P(A|B)=P(A)且P(B|A)=P(B)，则P(AB)=P(A)P(B|A)=P(A)P(B)例抛甲，乙两枚硬币，A={甲出现正面H}，B={乙出现正面H}，问A，B同时发生的概率.定理四对事件中有一对相互独立，则另外三对也相互独立.独立与互斥的区别：A，B相互独立：P(AB)=P(A)P(B)；A，B互斥：P(AB)=0。,,,,;ABABABAB；；；浙江师范大学161212112,,,2,,,,kjnkiiiijnAAAnknPAAAPAAAA定义：设为个随机事件，若对均有：则称相互独立多个事件的独立浙江师范大学17定义随机试验的结果可以用一个实值变量表示，这个变量的取值是随机的，但又服从一定的统计规律性，这种变量称为随机变量，通常用X，Y，Z表示。中心问题：将试验结果数量化随机变量分为离散型和连续型：1.离散型：X的取值是有限个或可列无限个。2.连续型：X的取值是连续的。esxX=f(e)—为S上的单值函数，X为实数浙江师范大学18分布律称为离散型随机变量X的分布律，分布律可用列表的方式直观的表示出来{}(1,2,)kkPXxpkXkp1p1x2xnx2pnp1、写出可能取值－－即写出了样本点2、写出相应的概率－－即写出了每一个样本点出现的概率分布律（概率分布）浙江师范大学19121201Xkp1.两点分布，又称为(0-1)分布(0-1)分布的分布律为也可以写为对随机实验，若样本空间只包括两个元素，即，则一定能在S上定义一个服从(0-1)分布的随机变量，令例抛硬币一次，定义随机变量X为出现正面的次数，则01Xkp1-pp1()(1),0,1kkPXkppk12{,}See1201eeXee01X反面正面三种重要的离散型随机变量浙江师范大学202.二项分布随机试验E只有两个可能结果：A和，则称E为伯努利试验。设P(A)=p(0p1),则将伯努利试验独立地重复进行n次，称为n重伯努利试验。X表示n重伯努利试验中事件A发生的次数，X所有可能取值k=0,1,2,…,n。求P{X=k}P{X=k}记q=1-p，随机变量X服从参数为n,p的二项分布，记为当n=1时，即为(0-1)分布。(1)kknknCppA1PAp,0,1,2,,kn00()nnkknknkkPXkCpq()nqp1~(,)Xbnp浙江师范大学21若随机变量X的概率分布律为称X服从参数为λ的泊松分布，记()0,1,2,,0!kePXkkk，~()X3.泊松分布(Poisson分布)Poisson定理设是一个常数，n是任意正整数，设，则对于任一固定的非负整数k，有0nnplim(1)!kkknknnnneCppk浙江师范大学22当时近似公式近似效果更佳。10100npn，20,0.05,1,knkkknnpeCppnpk二项分布与泊松分布有以下近似公式：当时其中！浙江师范大学23定义：设X为一个随机变量，x是任意实数，函数称为随机变量X的概率分布函数，简称分布函数。由分布函数的定义，有(){}FxPXx1221{}{}{}PxXxPXxPXx21()()FxFx分布函数()Fx的几何意义：xX注:分布函数F(x)在x处的函数值表示x落在区间上的概率。浙江师范大学24(1)(2)F(x)是一个不减函数(3)对于离散型随机变量，若分布律为则其分布函数(){}{}kkxxFxPXxPXx0()1Fx,()lim()1xFFx,()lim()0xFFx{}kkPXxp分布函数12210()()()PxXxFxFx()Fx的性质：浙江师范大学25定义：对于随机变量X的分布函数若存在非负的函数使对于任意实数有：(),fx()()xFxftdt(),Fx,x()fx其中称为X的概率密度函数，简称概率密度。则称X为连续型随机变量，概率密度浙江师范大学2600()(){}()'()xxFxxFxPxXxxfxFxlimlimxx()fx的性质：1)()0fx+2)()1fxdx211221123)()(){}0xxxxxxPxXxftdtPXa对于任意的实数，4)()'()()fxxFxfx在连续点，()fx即在的连续点()yfx1x2x1面积为12PxXx浙江师范大学271.均匀分布定义：设连续型随机变量X具有概率密度函数则称X在区间(a,b)上服从均匀分布。记为注：X落在(a,b)上任一子区间内的概率只依赖于子区间的长度，而与位置无关。1()0axbfxba其他三种重要的连续型随机变量~(,)XUab1{}clcacclblPcXcldtcbaba设----与无关浙江师范大学28均匀分布的分布函数0()1xaxaFxaxbbaxbfx0bxa1baFx0bxa1浙江师范大学29定义：连续型随机变量X的概率密度为称X服从参数为的指数分布，记为指数分布的分布函数10()(0)0xexfx其它00()(0)10xxFxex2.指数分布浙江师范大学301.定义：设连续型随机变量X的概率密度为其中为常数，则称X服从参数为的正态分布（也称为Gauss分布），记为,(0)2()2212()()xfxex,2~(,)XN三种重要的连续型随机变量3.正态分布浙江师范大学312.f(x)图形的性质：①关于对称结论：②当时，取得最大值③固定，改变，f(x)的图形不变，沿x轴平移固定，改变，由最大值知，越小，图形越尖，X落在附近的概率越大。④时，，即曲线以X轴为渐近线。3.分布函数F(x)x0,{}{}hPhxPxh