2013届高考文科数学一轮复习考案4.6 三角函数的综合应用

§4.6三角函数的综合应用 真题探究考纲解读知识盘点典例精析例题备选命题预测基础拾遗技巧归纳考纲解读命题预测知识盘点典例精析技巧归纳真题探究基础拾遗例题备选考点考纲解读1三角函数变换的应用会用三角函数解决一些简单的实际问题,学会由图象求解析式的方法.2三角函数的实际应用体验由实际问题抽象为数学问题的过程;能运用三角函数知识分析和处理实际问题;体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型,重点是根据实际现象建立三角函数模型.3三角函数的最值问题会利用三角函数有界性或其他方法求三角函数最值. 近几年由于新课程数学关于三角变换的教学要求有所降低,在高考数学题中关于三角变换的问题也随之降低,但新课程增加了三角函数模型内容,有强化三角函数的应用的趋势,因此应加强三角函数在实际问题中的应用的建模训练.考察主要涉及三角形的边角转化、三角形形状的判断、三角形内三角函数的求值以及三角函数最值等综合问题,预测2013年仍保持这一趋势.考纲解读命题预测知识盘点典例精析技巧归纳真题探究基础拾遗例题备选 1.对于y=asinx+bcosx型函数,一般化归为 ·sin(x+φ),tanφ= ,然后求其最值和最值点.2.对于三角函数类实际问题,一般选择一个“角”作为自变量,建立数学模型,然后解之.3.三角变换中,要关注函数的变换,如面对二次齐式 ,一般将其分子分母同除以cos2x,转化为tanx的代数式.22abba22sincossincosaxbxcxx考纲解读命题预测知识盘点典例精析技巧归纳真题探究基础拾遗例题备选1.如图,一个大风车的半径为8m,每12min旋转一周,最低点离地面为2m.若风车翼片从最低点按逆时针方向开始旋转,则该翼片的端点P离地面的距离h(m)与时间t(min)之间的函数关系是 ()(A)h=8cos t+10.(B)h=-8cos t+10.63考纲解读命题预测知识盘点典例精析技巧归纳真题探究基础拾遗例题备选(C)h=-8sin t+10.(D)h=-8cos t+10.【解析】由T=12,排除B;当t=0时,h=2,排除A、C.故选D.【答案】D66考纲解读命题预测知识盘点典例精析技巧归纳真题探究基础拾遗例题备选2.(2011年北京丰台区)已知α∈(0, ),a=log3sinα,b=2sinα,c=2cosα,那么a,b,c的大小关系是 ()(A)acb.(B)cab.(C)bca.(D)cba.【答案】D4【解析】α∈(0, ),sinα∈(0, ),a=log3sinα0,由cosαsinα,cba.422考纲解读命题预测知识盘点典例精析技巧归纳真题探究基础拾遗例题备选3.在△ABC中,C ,若函数y=f(x)在[0,1]上为单调递减函数,则下列命题正确的是 ()(A)f(cosA)f(cosB).(B)f(sinA)f(sinB).(C)f(sinA)f(cosB).(D)f(sinA)f(cosB).2【答案】C【解析】根据0A+B ,得0A -B ,222所以sinAsin( -B)=cosB,再根据函数y=f(x)在[0,1]上为单调递减函数可得f(sinA)f(cosB).2考纲解读命题预测知识盘点典例精析技巧归纳真题探究基础拾遗例题备选4.(2011年江苏盐城)观察下列几个三角恒等式:①tan10°tan20°+tan20°tan60°+tan60°tan10°=1;②tan5°tan100°+tan100°tan(-15°)+tan(-15°)tan5°=1;③tan13°tan35°+tan35°tan42°+tan42°tan13°=1.一般地,若tanα,tanβ,tanγ都有意义,你从这三个恒等式中猜想得到的一个结论为.【解析】观察三式,①中α=10°,β=20°,γ=60°,α+β+γ=90°,②中α=5°,β=100°,γ=-15°,α+β+γ=90°,考纲解读命题预测知识盘点典例精析技巧归纳真题探究基础拾遗例题备选③中α=13°,β=35°,γ=42°,α+β+γ=90°.归纳知当α+β+γ=90°时,tanαtanβ+tanβtanγ+tanγtanα=1.【答案】当α+β+γ=90°时,tanαtanβ+tanβtanγ+tanγtanα=1 考纲解读命题预测知识盘点典例精析技巧归纳真题探究基础拾遗例题备选题型1三角变换的应用 例1(1)函数f(x)=(sinx+a)(cosx+a)的最大值是,最小值是.(a∈[0, ])2(2)函数g(x)= 的值域是.sin2cos1sinxxx考纲解读命题预测知识盘点典例精析技巧归纳真题探究基础拾遗例题备选【分析】(1)中三角函数结构含“sinx+cosx,sinxcosx”,经过换元后,转化为二次函数的最值;(2)中三角函数式较复杂,需化简后发现其代数结构,再换元求其值域.【解析】(1)f(x)=(sinx+a)(cosx+a)=sinxcosx+a(sinx+cosx)+a2,令sinx+cosx=t,则t∈[- , ],且有y= +at+a2= (t+a)2+ ,a∈[0, ],当t=-a时,ymin= ;当t= 时,ymax=a2+ a+ .22212t12212a2212a2212考纲解读命题预测知识盘点典例精析技巧归纳真题探究基础拾遗例题备选(2)g(x)= = = =2sinx(1+sinx),sinx≠1,g(x)=2(sinx+ )2- .令t=sinx,则t∈[-1,1),y=2(t+ )2- ,所以y∈[- ,4).sin2cos1sinxxx22sincos1sinxxx22sin(1sin)1sinxxx1212121212【点评】三角函数的最值问题是三角函数基础知识的综合运用,近几年的高考数学题中,此类问题经常出现,其解法主要是通过三角函数恒等变形,将函数关系式化成一个角的一种函数形式,然后借助于三角函数性质来解决.【答案】(1)a2+ a+  (2)[- ,4)212212a12考纲解读命题预测知识盘点典例精析技巧归纳真题探究基础拾遗例题备选变式训练1(1)已知6sin2α+sinαcosα-2cos2α=0,α∈[ ,π],则tanα=;2(2)设tanα=2,sin(2α+ )=.3【解析】(1)由已知得(3sinα+2cosα)(2sinα-cosα)=0⇔3sinα+2cosα=0或2sinα-cosα=0.由已知条件可知cosα≠0,所以α≠ ,即α∈( ,π).于是tanα0,tanα=- .2223考纲解读命题预测知识盘点典例精析技巧归纳真题探究基础拾遗例题备选(2)sin(2α+ )=sin2αcos +cos2αsin =sinαcosα+ (cos2α-sin2α)= +  = +  ,将tanα=2代入上式得sin(2α+ )= .3333222sincossincosαααα322222cossincossinαααα2tan1tanαα32221tan1tanαα343310【答案】(1)- (2) 2343310考纲解读命题预测知识盘点典例精析技巧归纳真题探究基础拾遗例题备选题型2三角函数在实际中的应用 例2小易在“瓜渚湖”里划船,开始时看到“鉴湖明珠电视塔”在正西方,他沿南偏西60°方向,以2.5米/秒速度划了75秒后,加快了速度,以4.5米/秒划了25秒,此时看到塔在东北方,若沿途测得塔的最大仰角为60°,求塔高.(精确到米)【分析】根据题设条件画出示意图,然后分别计算出三角形中的各边长,条件“沿途测得塔的最大仰角为60°”的转化是一个障碍点,发现AB为定值,从而转化为寻找B到CD的最小值,即B到CD的距离问题.考纲解读命题预测知识盘点典例精析技巧归纳真题探究基础拾遗例题备选【解析】如图,设塔为AB,小易开始在C处,∠C=30°,∠FBD=45°,∠DBC=180°-45°=135°,∠D=15°,CD=2.5×75+4.5×25=300.在△DBC中,由正弦定理可得 = ,∴DB=150 .设小船划到E处,仰角最大,即∠AEB最大,而tan∠AEB= ,AB为定值,要使∠AEB最大,BE应为B到DC的最短距离,∴BE⊥DC,在Rt△DBE中,BE=DBsin15°=75×( -1),在Rt△AEBsinDCDBCsinDBC2ABBE3考纲解读命题预测知识盘点典例精析技巧归纳真题探究基础拾遗例题备选中,AB=BEtan60°=75×(3- )≈95米.【点评】这是根据一次周末在瓜渚湖里划船的情景而设计的数学应用问题,学生可以借助于类比推理,将课堂上所学的数学思维方法类比到所遇到的生活情境中去,问题中“沿途测得塔的最大仰角为60°”设计最佳.3考纲解读命题预测知识盘点典例精析技巧归纳真题探究基础拾遗例题备选变式训练2如图所示,ABCD是一块边长为7米的正方形铁皮,其中ATN是一半径为6米的扇形,已经被腐蚀不能使用,其余部分完好可利用.工人师傅想在未被腐蚀部分截下一个有边落在BC与CD上的长方形铁皮PQCR,其中P是弧TN上一点.设∠TAP=θ,长方形PQCR的面积为S平方米.(1)求S关于θ的函数解析式;(2)设sinθ+cosθ=t,求S关于t的表达式以及S的最大值.考纲解读命题预测知识盘点典例精析技巧归纳真题探究基础拾遗例题备选【解析】(1)延长RP交AB于E,延长QP交AD于F,由ABCD是正方形,PRCQ是矩形,可知PE⊥AB,PF⊥AD,由∠TAP=θ,可得AE=6cosθ,EP=6sinθ,∴PR=7-6sinθ,PQ=7-6cosθ,∴S=PR·PQ=(7-6sinθ)(7-6cosθ)=49-42(sinθ+cosθ)+36sinθcosθ.故S关于θ的函数解析式为S=49-42(sinθ+cosθ)+36sinθcosθ(0≤θ≤ ).2考纲解读命题预测知识盘点典例精析技巧归纳真题探究基础拾遗例题备选(2)由sinθ+cosθ=t,可得t2=(sinθ+cosθ)2=1+2sinθcosθ,即sinθcosθ= ,∴S=49-42t+18(t2-1)=18t2-42t+31.又由0≤θ≤ ,可得 ≤θ+ ≤ ,故t=sinθ+cosθ= sin(θ+ )∈[1, ],∴S关于t的表达式为S=18t2-42t+31(t∈[1, ]).又由S=18(t- )2+ ,t∈[1, ],212t244342422761322可知当t= 时,S取最大值,故S的最大值为67-42 .22考纲解读命题预测知识盘点典例精析技巧归纳真题探究基础拾遗例题备选题型3三角函数的最值应用 例3某兴趣小组要测量电视塔AE的高度H(单位:m),如示意图,垂直放置的标杆BC高度h=4m,仰角∠ABE=α,∠ADE=β.考纲解读命题预测知识盘点典例精析技巧归纳真题探究基础拾遗例题备选(1)该小组已经测得一组α、β的值,算出了tanα=1.24,tanβ=1.20,请据此算出H的值;(2)该小组分析若干测得的数据后,认为适当调整标杆到电视的距离d(单位:m),使α与β之差较大,可以提高测量精确度,若电视塔实际高度为125m,问d为多少时,α-β最大?【分析】(1)由正切函数的定义及有关线段长的关系可求得H;(2)根据所给的已知条件H、h以及要求的d,选择α、β的正切值,应用两角差的正切公式建立目标函数.考纲解读命题预测知识盘点典例精析技巧归纳真题探究基础拾遗例题备选【解析】(1)如图,作CF∥AB交AE于点F,则∠ECF=β,∵tan∠ECF= = ,tanα= = , = = ,∴H=124(m).AEAFCF4HdAEABHd4HHtantanβα1.201.24(2)由图可知,tanα= = ,tanβ= = ,∴tan(α-β)= Hd125d4Hd121dtantan1tantanαβαβ考纲解读命题预测知识盘点典例精析技巧归纳