2016届原创§34-导数的应用--导数不等式(一)

一、常见的题型：二、辅助函数的构造：§34导数的应用--导数不等式(一)三、常见的技巧：常见题型解证最含参不等四成立引申双参及多参数列不等积放缩1.按问法分类：①不含参型③求最值①解不等式②证不等式2.按参量分类：②含参型单参型双参型多参型3.按知识分类：数列不等式……概念导数概述求导应用数学其他学科导数积分①求切线斜率②判定单调性③求极值④求最值⑤堪根⑥解证不等式⑦证等式……⑨数列求和⑧曲边梯形面积xfxfnxfnn/1/])([])(①[xfaaaxfxf//]ln[][②]ln1[axfxfxfxf//]cos[]sin④[xfxfxf//]sin[－]cos⑤[1'nnnxxxxcossin'xxsincos'aaaxxln''logxaaxln1/]log[③xfaxf/几个常见的二重复合函数的求导公式CxdxCdx0CedxexxCxxdxcossinCxxdxsincos)1(11nCxdxxnnnCxdxx||ln1Caadxaxxlndxxgbdxxfadxxbgxaf)()()]()([)(])([/xfdxxfCxfdxxf)()(/③①②常见的不定积分公式⑦④⑨⑤⑥⑩⑧,割线极限是切线一导本身是斜率必须切点横坐标切点坐标及斜率知一有二基本功在即切点过待定1.一导：切线的斜率bkxy00)(00xfy10100/)(xxyyxfk),(000yxP),(111yxP导数的几何意义导数的几何意义2.二导：曲线的曲率：二导意义是曲率大凹小凸○拐点.],[)(,0)()2(;],[)(,0)()1(),(,),(,],[)(上的图形是凸的在则上的图形是凹的在则内若在二阶导数内具有在上连续在如果baxfxfbaxfxfbababaxfxyo)(xfyxyo)(xfyabAB递增)(xfabBA0y递减)(xf0y递增)(xf0y递减)(xf0y定积分的几何意义badxxf)(badxxf]0)([dxxfxfba)]()([21dxxfxfba)]()([后前一重积分是面积前上为正下相反有上有下代数和同理可得右为前常见结论要熟知化繁为简巧割补定积分的几何意义一重积分是面积前上为正下相反有上有下代数和同理可得右为前常见结论要熟知化繁为简巧割补Sdxxfxfba)]()([后前axbx)(xfy前)(xfy后一重积分是面积前上为正下相反有上有下代数和同理可得右为前常见结论要熟知化繁为简巧割补Sdxxfxfba)]()([后前axbx)(xfy后)(xfy前定积分的几何意义一重积分是面积前上为正下相反有上有下代数和同理可得右为前常见结论要熟知化繁为简巧割补axbx)(xfy后)(xfy前321)]()([SSSdxxfxfba后前定积分的几何意义一重积分是面积前上为正下相反有上有下代数和同理可得右为前常见结论要熟知化繁为简巧割补)(yfx后)(yfx前Sdyyfyfba)]()([后前byay定积分的几何意义形法数化是关键二次三次是基础导数的应用——单调性三次函数的图像32fxaxbxcxd0a0a/()0fx（其中：⊿是方程的判别式）⊿＞0⊿≤02x1x2x1x四次函数的图像432fxaxbxcxdxe0a0a方程有/()0fx一个实根或三个实根且有二个为重根时三个互异的实根时方程有/()0fx形法数化是关键二次三次是基础导数的应用——单调性以直代曲是本质增大减小○驻点能解则解不能证讨论放缩二导法含参反用必须等等号验证常值舍最值子集灵活选变换主元分离参反用正用①形法：①顶点可导顶点不可导顶点顶点即是极值点谷底极小峰极大注1：注2：极值点是顶点的横坐标极大(小)值是顶点的纵坐标极值的概念②.数法：(3)弱化定义：(2)标准定义：(1)举例描述：参选修2-2课本P：27极值点②驻点极值点驻点③可导函数一求驻点二单调三写极值靠图象书写格式要简明含参反用须验根形法数化是关键1.一导法求极值：一般地，若f(x0)是极小值0)(0/xf则0)(0//xf0)(0//xf0)(0//xff(x0)是极大值f(x0)是非极值①②③适当结合二导法大小小大○为非2.二导法求极值2.最值的概念：(有常能等)(3)符号：(1)文字：……(2)图象：……①等式:②不等式:maxymin)(xf若且存在Cxf)(0Cxf)(则f(x)有最小值C注：极值局部最整体②.数法：①.形法：顶点即是极值点谷底极小峰极大1.极值的概念：导数法求最值必有最值闭且连最值来源顶端点一论单调算顶端三写最值是格式能代则代罗比达是则名为筛选法形法数化是关键导数的应用——堪根一、堪根的内容：根的个数求近似解形法公式法零点存在定理导数法牛顿切线法二分法隔根区间二、导数法堪根：辅助函数是关键形法数化是技巧交点坐标方程解书写格式要简明一、常见的题型：二、辅助函数的构造：§34导数的应用--导数不等式(一)三、常见的技巧：常见题型解证最含参不等四成立引申双参及多参数列不等积放缩1.按问法分类：①不含参型③求最值①解不等式②证不等式2.按参量分类：②含参型单参型双参型多参型3.按知识分类：数列不等式……(1)(2014年新课标Ⅰ简化)证明：xxexxlne2析1：该题不含参量；然后应用特法：左最小值＞右最大值析2：其难点在于：如何构造，高效简捷的辅助函数练习1.不含参型：练习2.含参型：单参型双参型多参型12ln)(1xexexfxx析3：将目标函数变为：形法数法(1)通法特法(2)最值法子集法变换主元法分离参量法先猜后证法含参不等式常成立注1.描述方式繁多引申变式多样含参不等式恒成立含参不等式恰成立含参不等式能成立注3.解法灵活多样技巧性极强注2.常成立是基础恒成立是重点分类讨论含参不等式——四成立：()23xxfxab(2).(2011年上海简化)已知函数若ab＜0,解关于x的不等式f(x+1)＞f(x)解：即解关于x的不等式：2230xxab因ab＜0,故ⅱ:当a＜0,b＞0时,ⅰ:当a＞0,b＜0时,223xba223xba即x＜232logba即x＞232logba含参不等式——常成立型(3).(2006年全国Ⅱ)设函数f(x)＝(x＋1)ln(x＋1)，若对……a∈(－∞，1]所有的x≥0，都有f(x)≥ax成立，求实数a的取值范围．析：由题意得：当x≥0时，h(x)＝f(x)－ax≥0恒成立即当x≥0时，有h(x)min≥0自从2006年开始，高考试题中出现此类型的含参不等式后各地的高考题，就变着法儿冒出来了，各种类型的含参不等式其解法灵活多样；技巧性极强……含参不等式——恒成立型则实数a的取值范围是_________(4).(2012年陕西)若存在实数x使|x－a|+|x－1|≤3成立析：由题意得：(|x－a|+|x－1|)min≤3因|x－a|+|x－1|≥|(x－a)－(x－1)|=|a－1|故|a－1|≤3解得－2≤a≤4含参不等式——能成立型法1：①由f(x)≤3得|x-a|≤3，解得a－3≤x≤a＋3又因f(x)≤3的解集为{x|－1≤x≤5}，即a－3=-1a＋3=5，解得a=2(5)(2010年福建)已知函数f(x)=|x-a|①若f(x)≤3的解集为{x|－1≤x≤5}，求实数a的值法2：由题意得当－1≤x≤5时,f(x)≤3恒成立即在[－1,5]上f(x)max≤3由函数f(x)=|x-a|的单调性得|-1-a|≤3|5-a|≤3-4≤a≤22≤a≤8即a=2含参不等式——恰成立型(5)(2010年福建)已知函数f(x)=|x-a|①a=2②在①的条件下，若f(x)＋f(x＋5)≥m对一切实数x恒成立，求实数m的取值范围解：②由①得f(x)＋f(x＋5)=|x-2|+|x+3|≥|(x-2)-(x+3)|=5而|x-2|+|x+3|故m≤5另法：也可由子集法解得……含参不等式——恒成立型(6)若1)(,)(2kxxgxxf①对∈[1,2],恒成立21,xx)()(21xgxf)(xf最小值)(xg最大值等价于在[1,2]上……②若∈[1,2]使得成立21,xx)(xf最大值)(xg最小值等价于在[1,2]上……)()(21xgxf③对∈[1,2],∈[1,2],使得成立1x2x)()(21xgxf)(xf最大值)(xg最大值等价于在[1,2]上……,求各条件下的k的取值范围④对∈[1,2],∈[1,2],使得成立)()(21xgxf1x2x)(xf最小值)(xg最小值等价于在[1,2]上……(7)(2015年全国Ⅱ)设函数2()mxfxexmx12,[1,1]xx12|()()|1fxfxe若对于任意,都有求m的取值范围析：等价于在[-1,1]上最大值)(xf最小值)(xf1e……m∈[－1,1]含双参型23()(23)xfxxaxae225()()4xgxae12,[0,4]12()()1fg成立，求正数a的取值范围(8).(2006年湖北简化)已知,若存在使得析1：等价于在[0,4]上12()()1fg最小值析2：因在[0,4]上3(23)()6aefxa2242525()()44agxae因在[0,4]上析3：又因22251()(6)()042aaa故2121()()()2fga最小值3(0)2，(9).(2010年辽宁简化)已知2()(1)ln1fxaxax12,(0,)xx1212|()()|4||fxfxxx证明：当a≤-2时，对任意的)()()()(bafabafbf设函数f(x)满足条件：（1）在闭区间[a,b]上连续；（2）在开区间(a,b)内可导；则在(a,b)内至少存在一点ξ，使得)())(()()(baabfbfaf或中值定理MadebyHuilaiLi?.).()()()(].,[存在什么样的关系与直线我们来看看曲线的切线该是每点处的切线而与曲线有关的直线应：线两个端点的直线因此，可得到一条过曲），（已知条件是laxabafbfafylbaxxfy)(xfy))(,(afa))(,(bfb)()()()(axabafbfafybxaOyTlT与l平行这样的可能有好多中值定理图像演示(9).(2010年辽宁简化)已知2()(1)ln1fxaxax12,(0,)xx1212|()()|4||fxfxxx证明：当a≤-2时，对任意的法1：由中值定理得：即证在R+上恒成立2224102410axxaaxxa或/|()|4fx即证：当a≤-2时，在(0,＋∞)上？？？？？要矫正恒成立而22122412()1axxaaxaaa21aa22120故原命题成立22122412()1axxaaxaaa(9).(2010年辽宁简化)已知2()(1)ln1fxaxax12,(0,)xx1212|()()|4||fxfxxx证明：当a≤-2时，对任意的12()()fxfx即f(x2)+4x2≥f(x1)+4x1令g(x)=f(x)+4x,故有－[]≥4x1－4x2即证g(x)在(0,+∞)上↘……法2：不妨设x1≥x2.……因f(x)在(0,+∞)上↘(9).(2010年辽宁简化)已知2()(1)ln1fxaxax