《高考数学第一轮复习课件》第49讲排列组合的综合应用问题

新课标高中一轮总复习理数理数第七单元计算原理、概率与统计第49讲排列、组合的综合应用问题进一步理解排列、组合的概念，掌握排列、组合数公式；提高灵活应用排列、组合知识及其基本方法、技巧分析和解决有关应用问题的能力.1.某校高中二年级共有六个班，现从外地转入４名学生，要安排到该年级的两个班级,且每班安排２名，则不同的安排方案的种数为()BA.B.C.D.226A24A226412AC25A分两步：①把４名学生平均分成两组，有种分法；②把两组学生分配到六个班中的两个班去，有种分法，所以共有方案种，故选B.26A24A242C26A226412AC2.从黄瓜、白菜、油菜、扁豆4种蔬菜品种中选出3种，分别种在不同土质的三块土地上，其中黄瓜必须种植.不同的种植方法共有（）BA.24种B.18种C.12种D.6种因为黄瓜必选，故再选2种蔬菜的方法有种，在不同土质的三块土地上种植的方法有种，所以种法共有·=18种.23C33C23C33C分选A和不选A两类情况.若不选A有种；若选A，应先选人有种，再排科目，种，故有种，所以总方案为+=72种.故选D.3.从A、B、C、D、E五名学生中选出四名学生参加数学、物理、化学、英语竞赛，其中A不参加物理、化学竞赛，则不同的参赛方案种数为()DA.24B.48C.120D.7244A34C12A33A34C12A33A44A34C12A33A4.过三棱柱任意两个顶点的直线共有.条，以三棱柱的顶点为顶点的三棱锥共有个，过三棱柱任意两个顶点的异面直线共有对.151236因为三棱柱共有6个顶点,均不共线,所以过其中任意两个顶点的直线共有=15条.且4点不共面的共有-3=12种,即12个三棱锥.又每个三棱锥有三对异面直线，所以异面直线共有12×3＝36对.26C46C5.用0，1，2，…，9十个数组成五位数,其中含3个奇数与2个偶数且数字不同的五位数有个.含0的,有种；不含0的,有种，共有+=11040个.1104035C44A14C14A35C24C55A35C44A14C14A35C24C55A1.求解排列与组合的综合应用题的三条途径(1)以①,先满足特殊元素的要求,再考虑其他元素,即优元法.(2)以②,即先满足特殊位置的要求,再考虑其他位置,即优位法.这两种方法都是③.(3)先不考虑附加条件，计算出所有排列数或组合数，再减去不符合要求的排列数或组合数，即④.元素为分析对象位置为分析对象直接法间接法2.解排列、组合题的“十六字方针，十二个技巧”(1)“十六字方针”是解排列、组合题的基本规律,即⑤..(2)“十二个技巧”是解排列、组合题的捷径,即:相邻问题捆绑法；不相邻问题插空法；分类相加、分步相乘、有序排列、无序组合多排问题单排法；定序问题倍缩法；定位问题优先法；有序分配问题分步法；多元问题分类法；交叉问题集合法；至少(或至多)问题间接法；选排问题先取后排法；局部与整体问题排除法；复杂问题转化法.3.解答组合应用题的总体思路(1)⑥.从集合的意义讲,分类要做到各类的并集等于全集,以保证分类的不遗漏，任何两类的交集等于空集，以保证分类的不重复,计算结果是使用分类计数原理.(2)⑦.整体分类以后,对每一类进行局部分步,分步要做到步骤连续,以保证分步的不遗漏.同时步骤要独立,以保证分步的不重复.计算结果时用分步计数原理.整体分类局部分步(3)辩证地看待“元素”与“位置”.排列、组合问题中的元素与位置，没有严格的界定标准，哪些事物看成元素或位置，要视具体情况而定，有时“元素选位置”，问题解决得简捷，有时“位置选元素”，效果会更好.例1典例精讲典例精讲典例精讲典例精讲题型一带有限条件的排列、组合问题六人按下列要求站一横排，分别有多少种不同的站法？(1)甲不站两端；(2)甲、乙必须相邻；(3)甲、乙不相邻；(4)甲、乙之间间隔两人.(1)(方法一)要使甲不站在两端，可先让甲在中间4个位置上任选1个,有种站法，然后其余5人在另外5个位置上作全排列，有种站法，根据分步计数原理，共有站法·=480种.(方法二)由于不站两端，这两个位置只能从其余5个人中选2个人站，有种站法，然后中间4人有种站法，根据分步计数原理，共有站法·=480种.14A55A14A55A25A44A25A44A(方法三)若对甲没有限制条件,共有种站法，甲在两端，共有2种站法，从总数中减去这两种情况的排列数，即得所求的站法数，共有站法-2=480种.(2)（方法一）先把甲、乙作为一个“整体”，看作一个人，有种站法，再把甲、乙进行全排列，有种站法，根据分步计数原理，共有·=240种站法.66A55A66A55A55A22A55A22A(方法二)先把甲、乙以外的4个人作全排列，有种站法，再在5个空当中选出一个供甲、乙放入，有种站法，最后让甲、乙全排列,有种站法,共有站法··=240种.(3)（方法一）因为甲、乙不相邻，中间有隔挡，可用“插空法”.第一步先让甲、乙以外的4个人站队,有种;第二步再将甲、乙排在4人形成的5个空当(含两端)中,有种，故共有站法·=480种.44A22A15A44A15A22A44A25A44A25A(方法二)也可用“间接法”，6个人全排列有种站法,由(2)知甲、乙相邻有=240种站法,所以不相邻的站法有-·=720-240=480种.(4)(方法一)先将甲、乙以外的4个人作全排列,有种，然后将甲、乙按条件插入站队，有3种，故共有·3=144种站法.66A55A22A66A22A55A44A22A44A22A(方法二）先从甲、乙以外的4个人中任选2人排在甲、乙之间的两个位置上，有种,然后把甲、乙及中间2人看作一个“大元素”与余下2人作全排列有种方法,最后对甲、乙进行排列，有种方法，故共有··=144种站法.24A22A33A24A33A22A点评点评带有限制条件的排列问题,一般都是对某个或某些元素或位置加以限制的问题，被限制的元素通常称为特殊元素，被限制的位置称为特殊位置.这一类题通常从三种途径考虑：①以元素为主考虑，这时，一般先解决特殊元素的排法问题，即先满足特殊元素；②以位置为主考虑，这时，一般先解决特殊位置的排法问题，即先满足特殊位置；③先不考虑限制条件，计算出排列总数，再减去不符合要求的排列.变式变式变式用1,2,3,4,5,6按下列要求可组成多少个没有重复数字的6位数.(1)1，2排两端（即十万位和个位）；(2)1不排十万位，2不排个位.(1)首先考虑特殊元素，1，2先排两端，有种，再让其他４个数在中间位作全排列，有种.由分步计数原理,共有·=48个数.44A22A22A44A(2)（方法一）1排十万位有种，2排个位有种,且１排十万位而2排个位有种,共可组成-2+=504个数.(方法二)以1的排法分为两类：①1排个位有种；②1排中间4个位置之一，而2不排个位有··种，共可组成+··＝504个数.44A55A55A66A55A44A55A14A44A14A55A14A44A14A例2题型二排列组合中的分组问题有6本不同的书按下列方式分配，问共有多少种不同的分配方式？（1）分成1本、2本、3本三组；（2）分给甲、乙、丙三人，其中1人一本，1人两本，1人三本；（3）平均分成三组，每组2本；（4）分给甲、乙、丙三人，每人2本.(1)分三步：先选一本有种选法；再从余下的5本中选两本有种选法；最后余下的三本全选有种选法.由分步计数原理知,分配方式共有··=60种.(2)由于甲、乙、丙是不同的三个人，在（1）的基础上，还应考虑再分配问题，分配方式共有···=360种.16C25C33C16C25C33C16C25C33C33A(3)先分三步，则应是··种方法,但是这里面出现了重复，不妨设六本书为A,B,C,D,E，F，若第一步取了AB,第二步取了CD,第三步取了EF,记该种分法为(AB,CD,EF)，则该种方法中还有(AB,EF,CD）,(CD,AB,EF),(CD,EF,AB),(EF,CD,AB),(EF,AB,CD),共种情况,而且这种情况仅是AB,CD,EF的顺序不同，因此，只能作为一种分法，故分配方式有=15种.26C33A24C22C33A22264233CCCA(4)在问题(3)的基础上再分配即可,共有分配方式·=··=90种.（1）平均分组问题应防止重复的情况，如{1,2},{3,4},{5,6}与{1,2},{5,6},{3,4}是同一分组.一般来说,km个不同元素分成k组,每组m个,则不同的分法有种.26C24C22C22264233CCCA33A点评点评(1)mmnkmkmmkkCCCA(2)不平均分组问题：一般来说，把n个不同元素分成k组，每组分别有m1,m2,…,mk互不相等，且m1+m2+…+mk=n,则有不同的分法为··…·种,如果m1,m2,…,mk中有且仅有i个相等，则不同的分法为:种.例如,7本不同的书分成三堆,一堆3本的,两堆2本的,共有多少种分法？答案应为＝105种.1mnC21mnmCkimmC312112()kimmmmnnmnmmmiiCCCCA33274222CCCA例3题型三以其他知识为背景的排列、组合问题已知平面α∥平面β,在α内有4个不共线的点，在β内有6个不共线的点.(1)过这10个点中的3点作一平面，最多可作多少个不同平面？(2)以这些点为顶点,最多可作多少个三棱锥?(3)上述三棱锥中体积不同的最多可以有多少个?(1)作出的平面有三类：①α内1点,β内2点确定的平面有·个;②α内2点,β内1点确定的平面有·个;③α,β平面本身.所以所作平面最多有·+·+2=98个.(2)所作三棱锥最多有··+·+·=194个.(3)体积不同的三棱锥最多有++·=114个.14C26C24C16C14C26C24C16C14C36C24C26C34C16C34C36C26C24C几何型排列、组合的综合问题，求解过程应兼顾排列、组合的基本知识、方法与几何性质的综合运用.点评点评备选题备选题对某种产品的6件不同正品和4件不同次品一一进行测试，至区分出所有次品为止.若所有次品恰好在第5次测试时被全部发现，则这样的测试方法有多少种可能？第5次必测出一件次品,余下3件次品在前4次被测出.从4件中确定最后一件次品,有种方法；前4次中应有1件正品,3件次品,有种方法；前4次测试中的顺序有种.故所有可能的测试方法为··=576（种）.14C36C33C44A14C16C33C要计算符合条件的测试方法的种数，就应该先弄清楚这样的测试方法的特征，即每次的测试结果是正品还是次品.点评点评方法提炼方法提炼1.分类应在同一标准下进行，确保“不漏”“不重”，分步要做到“步骤连续”和“步骤独立”，并能完成事项.2.界定“元素与位置”要辩证看待；“特殊元素、特殊位置”可直接优先安排，也可间接处理.3.将复杂的排列、组合问题利用分类思想转化为简单问题求解是常用有效途径.4.解排列、组合综合问题应注意先选后排的原则和基本方法技巧的综合运用.5.有限制条件的组合问题的限制条件主要表现在取出的元素中“含”或“不含”某些元素，解决这种问题通常用直接法或间接法，用直接法则要注意合理分类，用“间接法”时，要注意“至少”“最多”“恰好”等词语的含义，做到既不重复又不遗漏.走进高考走进高考学例1(2008·福建卷)某班级要从4名男生、2名女生中选派４人参加某次社区服务，如果要求至少有１名女生，那么不同的选派方案种数为()AA.14B.24C.28D.48+=8+6=14,故选A.12C24C22C34C学例1(2008·安徽卷)12名同学合影,站成两排,前排4人后排8人.现摄影师要从后排8人中抽2人调整到前排,若其他人的相对顺序不变,则不同调整方法的种数是（）CA.B.C.D.28C23A28C66A28C26A28C25A要完成这件事，可分两步走.第一步，可先从后排8人中选2人，共有种方法；第二步，可认为前排放6个座位，从中选出2个座位让后排2人坐.由于其他人的相对顺序不变，所以有