《高考数学第一轮复习课件》第50讲二项式定理

新课标高中一轮总复习理数理数第七单元计算原理、概率与统计第50讲二项式定理1.掌握二项式定理及其通项公式，并会利用二项式定理及其通项公式解决有关多项式化简和展开式的项或项的系数相关的问题.2.掌握二项式系数的相关性质，会求展开式的系数和，能利用二项式定理进行近似计算、证明整除问题，证明不等式等综合问题.1.(-)n的展开式中倒数第三项的二项式系数是45，则n=()1a32a3CA.8B.9C.10D.11由已知,得==45,n=10.故选C.2nnC2nC2.若(x3+)n的展开式中只有第６项的系数最大，则常数项为()21xCA.462B.252C.210D.0由题意,n=10,Tr+1=(x3)10-r·()r=·x30-3r·x-2r=·x30-5r.令30-5r=0,得r=6,所以常数项为第7项,从而T7===210,应选C.10rC21x10rC10rC610C410C3.8910除以88的余数是()BA.-1B.1C.-87D.878910=(88+1)10=8810+·889+…+88+1,前10项均可被88整除，故余数为1，从而选B.110C910C4.0.9985精确到0.001的近似值为.0.990(0.998)5=(1-0.002)5≈1-·0.002,故应填0.990.15C5.若(2x+)4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4,则:(1)a0=;(2)a0+a1+a2+a3+a4=;(3)(a0+a2+a4)2-(a1+a3)2=.31(2+)439(1)令x=0,得a0=()4=9.(2)令x=1，得a0+a1+a2+a3+a4=(2+)4.(3)令x=-1，得a0-a1+a2-a3+a4=(-2+)4,则(a0+a2+a4)2-(a1+a3)2=(a0+a2+a4+a1+a3)(a0+a2+a4-a1-a3)=(a0+a1+a2+a3+a4)(a0-a1+a2-a3+a4)=(2+)4·(-2+)4=1.↑↑(x=1时)（x=-1时）333331.二项式定理(a+b)n=①..这个公式所表示的定理叫做②,右边的多项式叫做(a+b)n的③.特别地,(1±x)n=④.2.展开式的特点(1)共有⑤项.an+an-1b1+an-2b2+…+an-rbr+…+bn(n∈N*)0nC1nC2nCrnCnnC二项式定理展开式1±x+x2±…+(±1)nxn1nC2nCnnCn+1(2)各项的次数和都等于二项式的幂指数⑥,即a与b的指数和为n.(3)字母a按⑦排列，从第一项开始，次数由⑧逐项减1直到⑨,字母b按⑩排列,从第一项起,次数由逐项增1直到.(4)二项式的系数依次为,,…,,.3.二项式的展开式的通项二项式展开式的第r+1项是Tr+1=.n降幂n零升幂11零12n0nC1nC1nnCnnC13an-rbrrnC4.二项式系数与展开式的系数第r+1项的二项式系数即,而展开式的第r+1项系数是该项的(含项的性质符号)，是两个不同的概念.5.二项式系数的性质(1)二项式系数的结构规律和等量关系.在二项展开式中,与首末两端“”的两项的二项式系数相等,即.14rnC15常数部分等距离1617rnrnnCC(2)二项式系数的大小规律.如果二项式的幂指数是偶数，中间一项即的二项式系数最大;如果二项式的幂指数是奇数;中间两项即与的二项式系数相等且最大.(3)二项式系数的和.当n为偶数时,＋++…+=.当n为奇数时,+++…+=.1812nT1912nT20112nT210122nnnnnnCCCC0nC2nC4nCnnC22135112nnnnnnCCCC0nC2nC4nC1nnC2313512nnnnnnCCCC题型一通项公式的应用例1典例精讲典例精讲典例精讲典例精讲设a＞0，若(1+a)n展开式中含x2的项的系数等于含x的项的系数的9倍，且展开式中含x的项的系数为135，求a的值.12xTr+1=(a)r=ar,a4=9a2a2x=135x,=135,(n-2)(n-3)a2=108n(n-1)a2=270，rnC12x2rxrnC所以4nC2nC2nC所以2(1)(2)(3)9(1)4!2nnnnnna2(2)(3)2!nna即所以=,化简得3n2-23n+30=0.解得n=(舍去)或n=6,a2==9,所以a=3.(2)(3)(1)nnnn255327030变式变式变式求(+)8的展开式中的有理项.x12x4设第r+1项为有理项，Tr+1=·()8-r·()r=·2-r·，则必为整数，得r是4的倍数，而0≤r≤8，故r=0,4,8.所以展开式的有理项为T1=x4,T5=x,T9=.8rCx12x48rC1634rx1634r35821256x求展开式中某一特定项需用到二项展开式的通项，往往用待定系数法来确定r.点评点评题型二求展开项中的系数和例2设(2x-1)5=a0+a1x+a2x2+…+a5x5,求:(1)a0+a1+a2+a3+a4;(2)|a0|+|a1|+|a2|+|a3|+|a4|+|a5|;(3)a1+a3+a5;(4)(a0+a2+a4)2-(a1+a3+a5)2.分析分析(2x-1)5=a0+a1x+a2x2+…+a5x5为关于x的恒等式，求系数和的问题可用赋值法解决.设f(x)=(2x-1)5=a0+a1x+a2x2+…+a5x5,则f(1)=a0+a1+a2+a3+a4+a5=1,f(-1)=a0-a1+a2-a3+a4-a5=(-3)5=-243.(1)因为a5=25=32,所以a0+a1+a2+a3+a4=f(1)-32=-31.(2)|a0|+|a1|+|a2|+…+|a5|=-a0+a1-a2+a3-a4+a5=-f(-1)=243.(3)因为f(1)-f(-1)=2(a1+a3+a5),所以a1+a3+a5==122.(4)(a0+a2+a4)2-(a1+a3+a5)2=(a0+a1+a2+a3+a4+a5)(a0-a1+a2-a3+a4-a5)=f(1)×f(-1)=-243.2442点评点评本题是关于二项展开式各项系数问题，而f(1)与f(-1)能体现各项系数和的规律特征；求展开式中各项的系数和常用赋值法.题型三二项式定理与函数、不等式的综合例3设f(x)是定义在R上的一个给定的函数,函数g(x)=f()x0(1-x)n+f()x(1-x)n-1+f()x2(1-x)n-2+…+f()xn(1-x)0(x≠0,1).(1)当f(x)=1时，求g(x);(2)当f(x)=x时，求g(x).0nC0n1n1nC2nC2nnnCnn(1)当f(x)=1时,g(x)=·(1-x)n+·x(1-x)n-1+…+·xn=［(1-x)+x］n=1.(2)当f(x)=x时，g(x)=··(1-x)n+·x·(1-x)n-1+…+··xn.因为·=,所以g(x)=x·(1-x)n-1+x2·(1-x)n-2+…+·xn=x［(1-x)n-1+x(1-x)n-2+…+·xn-1］=x·［(1-x)+x］n-1=x.0nC1nCnnC0n1nnn0nC1nCnnCknCnn11knC01nC11nC11nnC01nC11nC11nnC运用二项式定理关键是比较已知式和展开式，观察两式的异同，化不同为相同.点评点评变式变式变式若n∈N且n＞1,求证:2＜(1+)n＜3.1n(1+)n=1+·+·+…+·＞1+·=2.又(1+)n=2+++…+＜2+++…+＜2+++…+=2+=3-＜3,故原不等式成立.1n1nC1n2nC21nnnC1nn1nC1n1n2(1)2!nnn3(1)(2)3!nnnn(1)(2)21!nnnnnn12!13!1!n12212112n112n111(1)22112n备选题备选题已知Sn=·a1+·a2+…+·an,n∈N*.(1)若Sn=n·2n-1(n∈N*),是否存在等差数列{an}对一切自然数n满足上述等式？(2)若数列{an}是公比为q(q≠±1)，首项为１的等比数列，Sn为{an}的前n项和，数列{bn}满足b1+b2+…+bn=(n∈N*).求证：bn是等比数列.1nC2nCnnC2nnS(1)假设存在等差数列{an}满足条件，设an=dn+a,所以·a1+·a2+…+·an=d(+2+…+n)+a(++…+)=d(n·+n·+…+n·)+a·(2n-1)=d·n·2n-1+a·(2n-1)＝n·2n-1,则d=1,a=0.故存在等差数列{an}且其通项an=n(n∈N*)满足题设.1nC2nCnnC1nC2nCnnC1nC2nCnnC01nC11nC11nnC(2)证明:an==,所以Sn=[·(q-1)+·(q2-1)+…+·(qn-1)]=[(1+q)n-2n],所以=[()n-1].当n≥2时,bn=-=[()n-()n-1]=·()n-1;当n=1时，b1==满足上式.所以bn=·()n-1.故{bn}是首项为,公比为的等比数列.11nqq11nqq1nC2nCnnC11q11q2nnS11q12q2nnS112nnS11q12q12q12q12S12121212q1212q方法提炼方法提炼1.二项式定理的应用常见的问题有：求展开式的某一项或适合某种条件的项；求展开式各项系数的和；取二项展开式的前几项进行近似计算；证明组合数等式；整数与整式的整除问题;证明不等式.因此必须牢固掌握二项展开式及其通项公式的结构与特征、二项式系数的性质等基本理论.2.关注二项式定理问题“四大热点、六条规律”.(1)四大热点是：①通项运用型；②系数配对型；③系数和差型；④综合应用型.(2)六条规律是：①常规问题通项分析法；②系数配对型问题分配法；③系数和差型问题赋值法；④近似问题截项法；⑤整除（或余数）问题展开法；⑥最值问题不等式法.走进高考走进高考学例1(2008·全国卷Ⅱ)(1-)4(1+)4的展开式中x的系数是()xxAA.-4B.-3C.3D.4(1-)4(1+)4=(1-x)4，所以x项系数为(-1)=-4,故选A.xx14C学例2(2008·江西卷)(1+x)10(1+)10展开式中常数项为()D1xA.1B.()2C.D.110C120C1020C(1+x)10(1+)10=(1+x)20展开式中x10项系数为,所以所求展开式中常数项为，所以选D.1x101x1020C1020C本节完，谢谢聆听立足教育，开创未来