《高考数学第一轮复习课件》第64讲 空间向量在立体几何中的应用

新课标高中一轮总复习理数理数第九单元直线、平面、简单几何体和空间向量第64讲空间向量在立体几何中的应用1.了解直线的方向向量与平面的法向量的概念；能用向量语言表达线线、线面、面面的垂直与平行关系；能用向量方法证明有关线、面位置关系的一些定理(包括三垂线定理).2.能用向量法求空间角、空间距离，体会向量法在研究立体几何中的工具性作用.1.已知直线a的方向向量为a，平面α的法向量为n，下列结论成立的是()CA.若a∥n,则a∥αB.若a·n=0,则a⊥αC.若a∥n,则a⊥αD.若a·n=0,则a∥α由方向向量和平面法向量的定义可知应选C.对于选项D，直线a平面α也满足a·n=0.2.已知α、β是两个不重合的平面，其方向向量分别为n1、n2,给出下列结论：①若n1∥n2,则α∥β;②若n1∥n2,则α⊥β,③若n1·n2=0,则α⊥β;④若n1·n2=0,则α∥β.其中正确的是()AA.①③B.①②C.②③D.②④3.在二面角α-l-β中，平面α的法向量为n，平面β的法向量为m.若〈n,m〉=130°，则二面角α-l-β的大小为()CA.50°B.130°C.50°或130°D.可能与130°毫无关系因二面角的范围是［0°,180°］，由法向量的夹角与二面角的平面角相等或互补可知，二面角的大小可能是130°也可能是50°.有时可从实际图形中去观察出是钝角或锐角.4.若直线l的方向向量与平面α的法向量的夹角等于120°，则直线l与平面α所成的角等于.30°由题设，l与α所成的角θ=90°-(180°-120°)=30°.5.已知三棱锥P-ABC各顶点的坐标分别是P(-1,0,0)，A（0，1，0），B（-4，0，0），C（0，0，2），则该三棱锥底面ABC上的高h=.217由已知,=(-1,-1,0),=(-4,-1,0),=(0,-1,2).设平面ABC的法向量n=(x,y,z),n·=-4x-y=0y=-4xn·=-y+2z=0，y=2z，取x=-1，得n=(-1,4,2).则h====.APABAC得则ABAC||||nAPn2221(1)(1)402||(1)423212171.法向量的有关概念及求法如果一个向量所在直线垂直于平面，则该向量是平面的一个法向量.法向量的求法步骤：(1)设：设出平面法向量的坐标n=(x,y,z)；(2)列：根据n·a=0且n·b=0可列出方程；(3)解：把z看作常数，用z表示x,y；(4)取：取z为任意一个正数(当然取得越特殊越好)，便得平面法向量n的坐标.2.立体几何中的向量方法(1)线线关系：若不重合的两直线AB、CD的方向向量分别为、.一般关系：设直线AB与CD所成的角为θ(θ∈[0,])，则cosθ=|cos〈,〉|=①.特殊关系:(ⅰ)AB⊥CD⊥②(用于证明线线垂直);(ⅱ)AB∥CD∥存在实数λ,使③(用于证明线线平行).ABCD2ABCD||||||ABCDABCDABCD=0ABCDABCD=λABCD(2)线面关系：若平面α外的直线AB的方向向量为，平面α的法向量为n.一般关系:设直线AB与平面α所成的角为θ(θ∈[0,])，则有sinθ=|cos〈,n〉|=④.特殊关系：(ⅰ)AB⊥α∥n存在实数λ，使=λn(用于证明线面垂直)；(ⅱ)AB∥α⊥n·n=0(用于证明线面平行).AB2AB||||||ABnABnABABABAB(3)面面关系：若平面α的法向量为n，平面β的法向量为m.一般关系:设以α,β为面的二面角为θ(θ∈[0,π]),则θ与〈n,m〉⑤.当二面角为锐(直)二面角时，cosθ=|cos〈n,m〉|=⑥.当二面角为钝二面角时,cosθ=⑦.特殊关系:(ⅰ)α⊥βn⊥m⑧.(用于证明面面垂直)；相等或互补||||||nmnm||||||nmnmn·m=0(ⅱ)α∥βn∥m存在实数λ，使⑨(用于证明面面平行).(4)点到平面的距离：若AB是平面α外的一条线段，B是AB与平面α的交点，平面α的法向量为n.设点A到平面α的距离为d,则d等于在n上的射影的绝对值.即d=|||cos〈,n〉|=⑩.n=λmABABAB||||ABnn(5)异面直线间的距离：若异面直线AB、CD的方向向量分别为、，n⊥，n⊥，又M∈AB，P∈CD，则异面直线AB、CD间的距离d=.CDAB||||MPnnABCD11例1典例精讲典例精讲典例精讲典例精讲题型一利用空间向量证明平行和垂直关系如图，已知直三棱柱ABC-A1B1C1中，△ABC为等腰直角三角形，∠BAC=90°，且AB=AA1，D、E、F分别为B1A、C1C、BC的中点.(1)求证:DE∥平面ABC；(2)求证:B1F⊥平面AEF.如图所示，分别以AB、AC、AA1所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系.令AB=AA1=4，则A(0,0,0),E(0,4,2),F(2,2,0),B(4,0,0),B1(4,0,4),C(0,4,0),D(2,0,2),A1(0,0,4).(1)可得=(-2,4,0).又平面ABC的法向量为=(0,0,4).因为·=-2×0+4×0+0×4=0，所以DE∥平面ABC.DE1AADE1AA(2)=(-2,2,-4),=(2,-2,-2),=(2,2,0)，B1F·=(-2)×2+2×(-2)+(-4)×(-2)=0，则⊥，所以B1F⊥EF，·=(-2)×2+2×2+(-4)×0=0，则⊥，所以B1F⊥AF.又因为EF∩AF=F，所B1F⊥平面AEF.1BFEFAFEF1BFEF1BFAF1BFAF点评点评线面和面面平行或垂直关系的论证应用空间向量法时既可以选择基向量，将问题涉及的线面对应的向量用基向量表示，然后通过向量平行或垂直的判定实现问题论证，也可以通过建立空间直角坐标系，利用坐标运算判定线面平行或垂直.变式变式变式正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别是BB1、CD的中点.(1)证明:平面AED⊥平面A1FD1;(2)在AE上求一点M,使得A1M⊥平面DAE.(1)证明：建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz,不妨设正方体的棱长为2,则D(0,0,0),A(2,0,0),E(2,2,1),F(0,1,0),A1(2,0,2),D1(0,0,2).设平面AED的法向量为n1=(x1,y1,z1),n1·=(x1,y1,z1)·(2,0,0)=0n1·=(x1,y1,z1)·(2,2,1)=0,所以2x1=0,2x1+2y1+z1=0.令y1=1,得n1=(0,1,-2).则DADE同理可得平面A1FD1的法向量n2=(0,2,1).因为n1·n2＝0，所以平面AED⊥平面A1FD1.(2)由于点M在直线AE上，所以可设=λ=λ(0,2,1)=(0,2λ,λ)，可得M(2,2λ,λ),于是=(0,2λ,λ-2).要使A1M⊥平面DAE,又因为A1M⊥AD,所以只需A1M⊥AE,所以·=(0,2λ,λ-2)·(0,2,1)＝5λ-2=0,得λ=.故当AM=AE时，A1M⊥平面DAE.AMAE1AM1AMAE2525点评点评本题是通过证明两个平面的法向量垂直来证明两个平面垂直的，显然比用传统的几何方法证明垂直关系要简单得多.类似地，若要证明两个平面平行，则可以通过证明两个平面的法向量是平行向量来证明.例2题型二空间角和距离的向量求法单位正方体ABCD-A1B1C1D1中，M、N分别是BC、C1D1的中点.(1)求证：MN∥平面B1D1DB；(2)求直线MN与平面C1BD所成角的余弦值;(3)求点M到平面C1BD的距离；(4)求二面角A-BC1-D的平面角的余弦值.分析分析正方体是一个非常适合建立空间直角坐标系的几何体，问题都可以用空间向量的坐标计算解决.问题(1)，可利用方向向量与平面法向量垂直来证明；(2)(3)(4)中都与平面C1BD的法向量有关，故先求平面C1BD的法向量.(1)证明：以D为坐标原点建立空间直角坐标系，如图.则M(,1,0),N(0,,1)，A1(1,0,1),C1(0,1,1),C(0,1,0),B(1,1,0),B1(1,1,1),所以=(-,-,1).在正方体中，易知有A1C1⊥平面B1D1DB，故=(-1,1,0)是平面B1D1DB的一个法向量.又·=(-1,1,0)·(-,-,1)=0,所以⊥.显然MN平面B1D1DB,故MN∥平面B1D1DB.1212MN121211AC11ACMN121211ACMN(2)设平面C1BD的法向量为n=(x,y,z),=(1,1,0),=(-1,0,1).n·=0x+y=0n·=0-x+z=0.令x=1，则n=(1,-1,1).设MN与平面C1BD所成的角为θ，则sinθ=|cos〈，n〉|===,故cosθ=.所以直线MN与平面C1BD所成角的余弦值为.DB1BC则,即DBMN||||||MNnMNn|0.50.51|632237373(3)DM是平面C1BD的一条斜线段,平面C1BD的法向量为n=(1,-1,1).设M到平面C1BD的距离为d，则d=||·|cos〈,n〉|===，所以点M到平面C1BD的距离为.DM||||DMnnDM1|10|233636(4)平面C1BD的法向量为n=(1,-1,1).由正方体的性质，易知平面ABC1D1的一个法向量为=(-1,0,-1).设二面角A-BC1-D的平面角为θ，由图形易知，θ为锐角.而cosθ=|cos〈n,〉|===，故二面角A-BC1-D的平面角的余弦值为.1BC1BC11||||||nBCnBC|11|326363点评点评立体几何中空间角、空间距离的计算往往技巧性较强，思路易受阻，可借助向量的运算，特别是坐标运算的功能，极大地减少了逻辑论证的思维量，取而代之的是向量带来的运算量.用向量的方法解决此类问题的要点有：①建系后，写有关点或向量的坐标时要仔细；②要明确空间角、空间距离的向量描述方式；③要熟悉本例中求平面的法向量的方法.变式变式变式如图，平面ABEF⊥平面ABCD,四边形ABEF与ABCD都是直角梯形，∠BAD=∠FAB=90°，BCAD,BEAF.(1)证明：C、D、F、E四点共面；(2)设AB=BC=BE，求二面角A-ED-B的大小的余弦值.1212(方法一)（1）证明：延长DC交AB的延长线于点G.由BCAD,得===.延长FE交AB的延长线于点G′.同理可得===,故=,即G′与G重合,因此直线CD、EF相交于G,所以C、D、E、F四点共面.12GBGAGCGDBCAD12GEGFGBGABEAF12GBGAGBGA(2)设AB=1,则BC=BE=1,AD=2.取AE的中点M，则BM⊥AE.又由已知得AD⊥平面ABEF,故AD⊥BM,因为BM与平面ADE内两相交直线AD、AE都垂直,所以BM⊥平面ADE.作MN⊥DE,垂足为N,连接BN.由三垂线定理知BN⊥ED,∠BNM为二面角A-ED-B的平面角.因为BM=,MN=·=,故tan∠BNM==.所以二面角A-DE-B的大小的余弦值为.2212ADAEDE33BMMN62105(方法二)（1）证明:由题意，以A为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系A-xyz.设AB=a,BC=b,BE=c,则B(a,0,0),C(a,b,0),E(a,0,c),D(0,2b,0),F(0,0,2c),=(0,b,-c),=(0,2b,-2c).故=,从而由EFD,得EC∥FD,故C、D、F、E四点共面.ECFDECFD12(2)由题可设AB=1,则BC=BE=1,A(0,0,0),所以B(1,0,0),C(1,1,0),D(0,2,0),E(1,0,1),所以=(0,2,0),=(1,0,1),=(-1,2,0),=(0,0,1).设平面ADE与平面BDE的法向量分别为n1=(x1,y1,z1),n2=(x2,y2,z2),n1·=2y1=0y1=0n1·=x1+z1=0x1=-