人教A高二数学选修4-5 放缩法与反证法证明不等式1

不等式的证明复习不等式证明的常用方法:比较法、综合法、分析法反证法先假设要证明的命题不成立，以此为出发点,结合已知条件,应用公理、定义、定理、性质等，进行正确的推理，得到矛盾，说明假设不正确，从而间接说明原命题成立的方法。1.xy02.1x12.yxyyx例已知，，且试证：，中至少有一个小于例题例2、已知a+b+c0，ab+bc+ca0，abc0，求证：a,b,c0证：设a0,∵abc0,∴bc0又由a+b+c0,则b+ca0∴ab+bc+ca=a(b+c)+bc0与题设矛盾若a=0，则与abc0矛盾，∴必有a0同理可证：b0,c0例3、设0a,b,c1，求证：(1a)b,(1b)c,(1c)a,不可能同时大于1/4则三式相乘：(1a)b•(1b)c•(1c)a①641又∵0a,b,c1∴412)1()1(02aaaa同理：41)1(bb41)1(cc以上三式相乘：(1a)a•(1b)b•(1c)c≤641与①矛盾∴结论成立证明：设(1a)b1/4,(1b)c1/4,(1c)a1/4,在证明不等式过程中，有时为了证明的需要，可对有关式子适当进行放大或缩小，实现证明。例如：要证bc,只须寻找b1使bb1且b1≤c(放大)要证ba,只须寻找b2使bb2且b2≥a(缩小)这种证明方法,我们称之为放缩法。放缩法的依据就是传递性。放缩法例1、若a,b,c,dR+，求证：21caddbdccacbbdbaa证：记m=caddbdccacbbdbaa∵a,b,c,dR+1cbaddbadccacbabdcbaam2cdddccbabbaam同时∴1m2即原式成立2.111abab例已知a,b是实数，求证:a+bab法１：bbaababa111证明：在时，显然成立.0ba当时，左边0ba111ba1||11111abbaabababab.11bbaa1abab.11bbaa法２：0,abab1111111111||abababababab||11baabab法３：函数的方法*32...2()nnn例求证：111（n+1-1）1+23n*1222(1),21kkkNkkkk1111232[(10)(21)(32)(1)]2.nnnncbacacababa2222222222222233()()2424()()22aabbaaccaabacaaabcabc例4、巳知：a、b、c∈，求证：R略解小结在证明不等式过程中，有时为了证明的需要，可对有关式子适当进行放大或缩小，实现证明。例如：要证bc,只须寻找b1使bb1且b1≤c(放大)要证ba,只须寻找b2使bb2且b2≥a(缩小)这种证明方法,我们称之为放缩法。放缩法的依据就是定理2（传递性性质）课堂练习1、当n2时，求证：1)1(log)1(lognnnn证：∵n2∴0)1(log,0)1(lognnnn2222)1(log2)1(log)1(log)1(log)1(lognnnnnnnnnn12log22nn∴n2时,1)1(log)1(lognnnn课堂练习2、若p0,q0,且p3+q3=2,求证：p+q≤2课堂小结证明不等式的特殊方法:（1）放缩法：对不等式中的有关式子进行适当的放缩实现证明的方法。（2）反证法：先假设结论的否命题成立，再寻求矛盾，推翻假设，从而证明结论成立的方法。