函数图象对称平移

考纲要求1.掌握基本函数的图象的特征，能熟练运用基本函数的图象解决问题.2．掌握图象的作法、描点法和图象变换法.热点提示图象是函数刻画变量之间的函数关系的一个重要途径，是研究函数性质的一种常用方法，是数形结合的基础和依据，预测在今后的高考中将会加大对函数图象考查的力度．主要以选择题、填空题形式出现，主要考查形式有：知图选式、知式选图、图象变换(平移、对称、伸缩变换)，以及自觉地运用图象解题．因此要注意识图读图能力的提高以及数形结合思想的灵活运用.•1．作图•(1)列表描点法•其基本步骤是列表、描点、连线，首先：①确定函数的；②化简函数；③讨论函数的性质(、、、等)；其次：列表(尤其注意特殊点、零点、最高点、最低点、与坐标轴的交点)，描点，连线．定义域解析式奇偶性单调性周期性对称性•(2)图象变换法•平移变换•①水平平移：y＝f(x±a)(a0)的图象，可由y＝f(x)的图象向(＋)或向(－)平移单位而得到．•②竖直平移：y＝f(x)±b(b0)的图象，可由y＝f(x)的图象向(＋)或向(－)平移单位而得到．左右a个上下b个•对称变换•①y＝f(－x)与y＝f(x)的图象关于对称．•②y＝－f(x)与y＝f(x)的图象关于对称．•③y＝－f(－x)与y＝f(x)的图象关于对称．•④y＝f－1(x)与y＝f(x)的图象关于直线对称．•⑤要得到y＝|f(x)|的图象，可将y＝f(x)的图象在x轴下方的部分以x轴为对称轴翻折到x轴上方，其余部分不变．y轴x轴原点y＝x•⑥要得到y＝f(|x|)的图象，可将y＝f(x)，x≥0的部分作出，再利用偶函数的图象关于的对称性，作出x0的图象．y轴•伸缩变换•①y＝Af(x)(A0)的图象，可将y＝f(x)图象上所有点的纵坐标变为，不变而得到．•②y＝f(ax)(a0)的图象，可将y＝f(x)图象上所有点的横坐标变为的倍，不变而得到．•2．识图•对于给定的函数的图象，要能从图象的左右、上下分布范围、变化趋势、对称性等方面研究函数的、、、、，注意图象与函数解析式中参数的关系．原来的原来的A倍横坐标纵坐标定义域值域单调性奇偶性周期性•3．用图•函数图象形象地显示了函数的性质，为研究数量关系提供了“形”的直观性，它是探求解题途径，获得问题结果的重要工具．要重视数形结合解题的思想方法．•4．图象对称性的证明•证明函数图象的对称性，即证明其图象上的任意一点关于对称中心(对称轴)的对称点仍在图象上．①若f(a＋x)＝f(b－x)，x∈R恒成立，则y＝f(x)的图象关于x＝a＋b2成轴对称图形，若f(a＋x)＝－f(b－x)，x∈R，则y＝f(x)的图象关于点(a＋b2，0)成中心对称图形．②函数y＝f(a＋x)与函数y＝f(b－x)的图象关于直线x＝12(b－a)对称.1．函数y＝5x与函数y＝－15x的图象关于()A．x轴对称B．y轴对称C．原点对称D．直线y＝x对称解析：因y＝－＝－5－x，所以关于原点对称．答案：C2．为了得到函数y＝3×(13)x的图象，可以把函数y＝(13)x的图象()A．向左平移3个单位长度B．向右平移3个单位长度C．向左平移1个单位长度D．向右平移1个单位长度解析：函数y＝3×(13)x＝(13)x－1，∴把函数y＝(13)x的图象向右平移一个单位便得到y＝(13)x－1，即y＝3×(13)x.•答案：D解析：g(x)＝log2x8＝log2x－3＝f(x)－3，因此只需将函数g(x)的图象向上平移3个单位即可得到函数f(x)＝log2x的图象．•3．为了得到函数f(x)＝log2x的图象，只需将函数g(x)＝log2的图象________．•答案：向上平移3个单位4．已知下列曲线：以及编号为①②③④的四个方程：①x－y＝0;②|x|－|y|＝0；③x－|y|＝0;④|x|－y＝0.请按曲线A、B、C、D的顺序，依次写出与之对应的方程的编号________．•解析：按图象逐个分析，注意x、y的取值范围．•答案：④②①③解：(1)因|lgx|＝lgx，x≥1，－lgx，0x1，于是当x≥1时，10|lgx|＝10lgx＝x；当0x1时，y＝10－lgx＝1x故y＝10|lgx|＝x，x≥1，1x，0x1.•5．作出下列函数的图象：•(1)y＝10|lgx|；•(2)y＝x－|x－1|.•根据直线与反比例函数直接作出该分段函数的图象，如下图(1)所示．(2)根据绝对值的意义，可将函数式化为分段函数y＝1，x≥1，2x－1，x1.可见其图象是由两条射线组成，如上图(2)所示．•【例1】分别画出下列函数的图象：•(1)y＝|lgx|；•(2)y＝2x＋2；•(3)y＝x2－2|x|－1.解：(1)y＝lgx(x≥1)－lgx(0x1).图象如下图(1)．(2)将y＝2x的图象向左平移2个单位．图象如下图(2)．(3)y＝x2－2x－1(x≥0)x2＋2x－1(x0).图象如下图(3)．•本题先将函数化简，转化为作基本函数的图象的问题．作分段函数的图象时要注意各段间的“触点”．同时也可利用图象变换得出.变式迁移1作出下列函数的图象：(1)y＝|x－2|·(x＋1)；(2)y＝(12)|x|；(3)y＝|log2(x＋1)|.解：(1)先化简，再作图．y＝x2－x－2(x≥2)－x2＋x＋2(x2).(如下图(1))．(2)此函数为偶函数，利用y＝(12)x(x≥0)的图象进行变换．(如下图(2))．(3)利用y＝log2x的图象进行平移和翻折变换．如下图(3)．•【例2】回答下述关于图象的问题：•(1)向形状如右图，高为H的水瓶注水，注满为止，若将注水量V看作水深h的函数，则函数V＝f(h)的图象是下图中的()•(2)某学生一天早晨离家去学校，开始骑自行车，中途自行车胎破，他只好推着自行车赶到学校．若将这天早晨他从家里出来后离学校的距离d表示为他出发后的时间t的函数d＝f(t)，则函数f(t)的大致的图象是下图中的()思路分析：判断函数图象的依据：①图象从左向右的升降情况；②图象升降的快慢程度；③利用图象中的特殊点(如起点、终点等)；④先求函数解析式再判断函数图象．•解：(1)水量V显然是h的增函数，将容器的高等分成n段，每一段记为Δh，从开始注水起(即从下到上)计算，每段Δh对应的水量分别记为ΔV1，ΔV2，…，ΔVn，由于容器上小下大，∴ΔV1ΔV2…ΔVn，即当h愈大时，相等高度增加的水量愈少，∴其图象呈“上凸”形状，故选A.•(2)∵时间t愈大，该学生离学校的距离d愈小，∴d是t的减函数，答案应为C、D中的一个，由于前一段时间速度快，后一段时间速度慢，即的值前大后小，故选D.•答案：(1)A(2)D变式迁移2(2009·广东高考)已知甲、乙两车由同一起点同时出发，并沿同一路线(假定为直线)行驶．甲车、乙车的速度曲线分别为v甲和v乙(如右图所示)．那么对于图中给定的t0和t1，下列判断中一定正确的是()A．在t1时刻，甲车在乙车前面B．t1时刻后，甲车在乙车后面C．在t0时刻，两车的位置相同D．t0时刻后，乙车在甲车前面•解析：由图知甲车在(0，t1)段的曲边梯形面积大于乙车在(0，t1)段的曲边梯形的面积，面积表示路程，因此甲车在乙车的前面．•答案：A•【例3】已知y＝f(2x＋1)是偶函数，则函数y＝f(2x)的图象关于直线________对称，函数y＝f(x)的图象关于直线________对称．解法一：函数y＝f(2x＋1)的图象是由函数y＝f(2x)的图象沿x轴方向，向左平移12个单位得到的，而y＝f(2x＋1)是偶函数，其图象关于y轴对称，所以函数y＝f(2x)的图象关于直线x＝12对称．又函数y＝f(2x)的图象是由函数y＝f(x)的图象上所有点的纵坐标不变，横坐标缩短为原来的12得到的，故函数y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称．解法二：∵y＝f(2x＋1)是偶函数，∴f(－2x＋1)＝f(2x＋1)，∴f(1－x)＝f(1＋x)，故函数y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称，函数y＝f(2x)的图象关于直线x＝12对称．•变式迁移3(1)已知函数y＝f(x)的定义域为R，且当x∈R时，f(m＋x)＝f(m－x)恒成立，求证：y＝f(x)的图象关于直线x＝m对称；•(2)若函数y＝log2|ax－1|的图象的对称轴是x＝2，求非零实数a的值．(1)证明：设P(x0，y0)是y＝f(x)图象上任意一点，则y0＝f(x0)．又P点关于x＝m的对称点为P′，则P′的坐标为(2m－x0，y0)．由已知f(x＋m)＝f(m－x)，得f(2m－x0)＝f[m＋(m－x0)]＝f[m－(m－x0)]＝f(x0)＝y0.即P′(2m－x0，y0)在y＝f(x)的图象上．∴y＝f(x)的图象关于直线x＝m对称．•(2)解：对定义域内的任意x，有f(2－x)＝f(2＋x)恒成立．•∴|a(2－x)－1|＝|a(2＋x)－1|恒成立，•即|－ax＋(2a－1)|＝|ax＋(2a－1)|恒成立．•又∵a≠0，∴2a－1＝0，得a＝.【例4】已知函数f(x)＝|x2－4x＋3|.(1)求函数f(x)的单调区间，并指出其增减性；(2)求集合M＝{m|使方程f(x)＝mx有四个不相等的实根}．解：f(x)＝(x－2)2－1，x∈(－∞，1]∪[3，＋∞)－(x－2)2＋1，x∈(1，3)作出图象如右图所示．(1)递增区间为[1,2]，[3，＋∞)，递减区间为(－∞，1]，[2,3]．(2)由图象可知y＝f(x)与y＝mx图象有四个不同的交点，直线y＝mx应介于x轴与切线l1之间．y＝mxy＝－(x－2)2＋1⇒x2＋(m－4)x＋3＝0.由Δ＝0得m＝4±23.m＝4＋23时，x＝－3∉(1,3)舍去．∴m＝4－23，l1方程为y＝(4－23)x.∴m∈(0,4－23)．∴集合M＝{m|0m4－23}．方程的解的个数⇔方程等号两边所对应的曲线公共点个数，因此，可利用曲线(或函数图象)公共点个数来研究方程的解的个数.解：在同一坐标系中分别画出函数y＝|2x－m|及y＝|3x＋6|(如右图)，由于不等式|2x－m|≤|3x＋6|恒成立，所以函数y＝|2x－m|的图象应总在函数y＝|3x＋6|图象的下方，因此函数y＝|2x－m|的图象也必经过点(－2,0)，故m＝－4.•变式迁移4(2009·广东调考题)若不等式|2x－m|≤|3x＋6|恒成立，求实数m的取值．•1．列表描点法是作函数图象的最基本的方法，要作函数图象一般首先要明确函数图象的位置和形状；•(1)可通过研究函数的性质如定义域、值域、奇偶性、周期性、单调性、凸凹性等等；•(2)可通过函数图象的变换如平移变换、对称变换、伸缩变换等；(3)可通过方程的同解变形，如作函数y＝1－x2的图象．•2．利用函数的图象可研究函数的性质，可判断方程解的个数，可通过解方程，根据函数的图象观察对应不等式的解等．•3．数形结合的思想方法也是高考中重点考查的内容．