1.4-三角函数的性质对称性与单调性

三角函数的对称性正弦函数——对称性正弦函数的对称性正弦函数是轴对称图形吗？正弦函数是中心对称图形吗？)0,k对称中心（()kZ●●●●,2xkkZ对称轴：余弦函数——对称性余弦函数的对称性余弦函数是轴对称图形吗？kx对称轴：()kZ余弦函数是中心对称图形吗？,2xkkZ对称中心：1．正弦函数、余弦函数、正切函数的图象(填表)函数y＝sinxy＝cosxy＝tanx对称中心_______________(kπ＋π2，0)(k∈Z)______________对称轴__________________________x＝kπ，k∈Z无对称轴(kπ，0)(k∈Z)(kπ2，0)(k∈Z)x＝kπ＋π2，(k∈Z)三角函数的对称性1．正弦函数和余弦函数的图象的对称轴以及对称中心与函数图象的关键点有什么关系？【提示】y＝sinx与y＝cosx的对称轴方程中的x都是它们取得最大值或最小值时相应的x，对称中心的横坐标都是它们的零点．1．(教材改编题)y＝sin(x－π4)的图象的一个对称中心是()A．(－π，0)B．(－3π4，0)C．(3π4，0)D．(π2，0)【解析】令x－π4＝kπ，∴x＝kπ＋π4，k∈Z.令k＝－1，得x＝－34π，y＝0.【答案】B三角函数的对称性例2：求函数的对称轴和对称中心sin(2)3yx23zx解（1）令则sin(2)sin3yxzsinyz的对称轴为,2zkkZ232xk解得：对称轴为,122xkkZ(2)sinyz的对称中心为(,0),kkZ23xk对称中心为62xkzk(,0),Z62kk例3解：例4：利用三角函数的单调性，比较下列各组数的的大小.（3）cos515。与cos530。.2522320xy1-1oooo155cos)155360cos(515cosoooo170cos)170360cos(530cos因为oooo1801701550且函数y=cosx,x∈[0°,180°]是减函数，所以oo170cos155cos即oo530cos515cos例5求函数，的单调增区间.1sin()23yx[2,2]x解：321xz令的单调增区间函数zysin]22,22[kkkxk2232122即得1sin()23yx函数的单调增区间是5[,]33kxk43435()kZ又∵[2,2]x1sin()32yxsin(),0,00,.yAx对于求的单调区间要注意的情形将化为反:再处理思为了防止出错，以及计算方便，遇到负号要提出来求函数的单调递增区间。函数y=sinxy=cosx图形定义域值域最值单调性奇偶性周期对称性2522320xy21-1xRxR[1,1]y[1,1]y22xk时，1maxy22xk时，1miny2xk时，1maxy2xk时，1miny[-2,2]22xkk增函数3[2,2]22xkk减函数[2,2]xkk减函数2522320xy1-122对称轴：,2xkkZ对称中心：(,0)kkZ对称轴：,xkkZ对称中心：(,0)2kkZ奇函数偶函数增函数22,2kkx11sin()sin()23231sin()231322,23251144,331sin()23511[4,4],33yxxyxkxkkZkxkkZyxkkkZ详解：即求函数的单减调区间。2所以函数的单调区间为：增1sin().23yx变式训练：求函数的单增调区间遇到x系数为负的三角函数，第一步一定要将x系数化为正值，否则答案会正好相反，出现错误.