大学高数第一章 函数和极限

医用高等数学教师：杜晓曦电话：139908567101第一章函数和极限第1章函数和极限1.1函数1.1.1函数的概念2定义1.1设,XY是非空数集，对于集合X中的任意一个数x，在集合Y中均有确定值y与其对应，则称y是x的函数，记为：()yfx，其中x称为自变量，y称为因变量，其中，集合X称为定义域，集合Y称为值域。第一章函数和极限关于函数定义的几点说明31、函数相同的条件两个函数相同的条件是定义域和对应规则均相同。2、函数定义域的规定函数的定义域必须满足实际意义，在不考虑函数的实际意义时，函数的定义域是使函数表达式有意义的一切实数。3、函数的表示方法函数最常用的表示方法为公式法，图像法、表格法第一章函数和极限函数的常用表示方法例1-1：在出生1-6个月期间内，正常婴儿的体重近似满足以下关系式：例1-2：监护仪记录了某患者一段时间内体温的变化曲线，如图1-1，对于这段时间的任意时刻都能读出患者的体温的值。30.6yx41、公式法2、图像法第一章函数和极限例1-3：表格1-1统计记录了某地区某年1-12月中当地流行性出血热的发病率。53、表格法第一章函数和极限1.1.2函数的几种特性61.单值性与多值性对于自变量的每一个取值，函数y有唯一确定的一个值与之对应，这样的函数称为单值函数，否则称为多值函数。0x0y2yx0x0y0'y222yxr单值函数实例多值函数实例第一章函数和极限2、函数的单调性7设1x,2x是函数()fx在其定义域的某区间(,)ab内的任意两点，且12xx若12()()fxfx,则称该函数在该区间上单调递增；若12()()fxfx,则称该函数在该区间上单调递减；例如函数2yx在(,0)上单调递减，在(0,)上单调递增第一章函数和极限3.函数的奇偶性8如函数()yfx的定义域D关于原点对称，且对于任意xD，均有：()()fxfx，则称该函数在其定义域内是偶函数；若是()()fxfx，则称该函数在其定义域内是奇函数；思考：函数2()(12)fxxx的奇偶性性质：奇函数图像关于原点对称，偶函数图像关于y轴对称。第一章函数和极限4.函数的周期性设函数)(xf的定义域为D.如果存在一个不为零的数l，使得对于任一Dx有Dlx)(，且)()(xflxf恒成立，则称)(xf为周期函数，l为)(xf的周期，通常所说周期函数的周期是指最小正周期.常见的周期函数有：xsin、xcos、xtan，xcot前两者周期为2，后两者周期为。9第一章函数和极限5.函数的有界性若存在某个正数M，使得不等式Mxf)(如:函数xysin，在,内有界,且：1|y|如果这样的正数M不存在，则称函数)(xf在定义域D内是对于函数)(xf的定义域D内的一切x值都成立，则称函数无界的。)(xf在定义域内是有界函数；10第一章函数和极限1.1.3复合函数定义1.2如变量y是变量u的函数，变量u又是变量x的函数，即：)(ufy，)(xu，且)(xu的值域与)(ufy的定义域有公共部分，则称y是x的复合函数，记作：)]([xfy如：3sinyx可视为3,sinyuux复合而成的复合函数。类似地，可以定义多于两重复合关系的复合函数。变量u称为中间变量。11例已知)]1arcsin[ln(xy（1）分析y的复合结构；（2）求y的定义域.解：(1)uyarcsin，vuln，1xv(2)11ln(1)111101xxeexx1:[1,1]Dee12邻域的概念以0x为中心的任何开区间称为点0x的邻域，记作0xN。设为任一正数，称开区间00,xx为0x的邻域，记作,0xN，0x称为邻域的中心，称为邻域的半径。有时用到的邻域需要把中心去掉，0x的邻域去掉中心0x后，称为点0x的去心邻域，记作0,Nx。13第一章函数和极限1.1.4初等函数1、基本初等函数（basicelementaryfunction）()ayxa幂函数为任意实常数(0,1)xyaaa指数函数log(0,1)ayxaa对数函数sin,cos,tan,cotyxyxyxyx三角函数等sin,cosyarcxyarcx反三角函数等()yCC常数函数为常数课后作业:复习基本初等函数的性质、定义域、图像等特征14第一章函数和极限常函数基本性质15解析式:定义域:实数集R()yCC为常数第一章函数和极限幂函数基本性质16解析式:定义域:必须视常数的取值而定，若为分数时，通常还要根据其分母的奇偶来决定函数的定义域。图像特征:所有幂函数必经过点(1,1)()ayxa为常数aa第一章函数和极限幂函数图像170a（时）第一章函数和极限幂函数图像180a（时）第一章函数和极限指数函数基本性质19解析式:基本特征:定义域为实数集R，值域为(0,+∞)，函数图像必经过点(0,1)(1)xyaaa0，且第一章函数和极限对数函数基本性质20解析式:基本特征:定义域为(0,+∞)，值域为实数集R，图像必经过点(0,1)log(0,1)ayxaa且0.5()logfxx2()logfxx第一章函数和极限正弦、余弦函数基本性质21解析式:基本特征:定义域为实数集R，值域为[-1,1]，最小正周期T为sin/cosyxx2第一章函数和极限正切、余切函数基本性质22解析式:基本性质:正切函数定义域为,余切函数定义域为，二者周期T均为，值域均为(-∞,+∞),互为倒数。tan/cotyxx{|,}2xxkkZ{|,}xxkkZ第一章函数和极限正切、余切函数基本图像23正切函数图像片段余切函数图像片段2、初等函数例如：)1sin(tan1lg2xexxyxxy、是初等函数。定义1.3由基本初等函数经过有限次四则运算和有限次函数复合所构成的只能用一个解析式表示的函数，称为初等函数。24说明：分段函数是一个函数，而不是两个或几个函数。如以下函数都是分段函数：1.1.5分段函数1,01,0,0,01,01,0xxxyyxxxx定义1.4在自变量的不同变化范围中，对应规律用不同式子来表示的函数，称为分段函数。25第一章函数和极限1.2极限（重点.难点）1.2.1极限的概念26极限用于反映函数的自变量在某个变化过程中，其对应的函数值的变化趋势。对于函数()yfx，其自变量x的变化过程主要分为两类：1、x的绝对值无限增大，记为x2、x趋近于一个常数0x，记为0xx271、x时的极限定义1.5如果自变量的绝对值无限增大，函数()fx无限趋近于一个常数A，则称常数A为函数()fx在当x时的极限，记为：lim()xfxA或()fxA（当x时）特别地，若此时函数值不是趋近于常数A，则称此时函数极限不存在记为：lim()xfx几何意义：lim()xfxA表示随着||x的增大，曲线()fx与直线yA越来越接近。0y1lim0xx28关于lim()xfxA的几点说明1、x指||x的无限增大，包含两个过程：x（x向右沿x轴正方向无限增大）或x（x向左沿x轴负方向无限减小）2、某些情况下，若只考虑x或x，此时的极限若存在，则该极限称为单侧极限，记为lim()xfxA或lim()xfxA实例3xylim30xxlim3xx定义1.6设函数在点0x附近有定义（但在这一点可以没有定义），若x（0xx）无论以怎样的方式趋近于0x，函数)(xf都无限趋近于一个常数A，就称当x趋近于0x时，函数以A为极限，记为：0lim()xxfxA或()fxA(当0xx时)求该类极限的基本方法为：若在0x处，函数有定义，则代0x入函数表达式，即得函数极限；若无定义，则用其他特殊方法求其极限292、当0xx时函数极限30例：求下列函数的极限（1）01limcosxxx（2）12lim21xx解：（1）函数在0x处有定义，代0x入函数可的极限为01101lim1coscos01xxx解：（1）函数在0x处有定义，代0x入函数可的极限为121lim211122x第一章函数和极限31关于0lim()xxfxA的几点说明1.关于0lim()xxfxA一般包含两种情况：（1）0xx：即x从0x左侧不断趋近于x，此时该极限称为函数在0x点的左极限，记为0lim()xxfxA（2）0xx：即x从0x右侧不断趋近于x，此时该极限称为函数在0x点的右极限，记为0lim()xxfxA2.函数()fx在0x点处极限存在的充要条件是左、右极限存在且相等，即00lim()lim()xxxxfxfxA3.函数()fx在0x点处极限存在与否与函数是否在该点有定义无关。例讨论函数xxxf||)(当0x时的极限.解：由于函数表达式中带有||x，所以要分别求函数的左右极限。因为：1lim||lim00xxxxxx，1lim||lim00xxxxxx，左右极限不相等，所以，xxx||lim0不存在.也可以从函数的图像上明确地看出该函数的极限不存在xy32例证明0||lim0xx证：因为0)(lim||lim00xxxx，0lim||lim00xxxx，左右极限都存在，且相等，所以，0||lim0xx.33第一章函数和极限1.2.2极限的四则运算34定理1.1若Axf)(lim，Bxg)(lim，则（1）BAxgxfxgxf)(lim)(lim)]()(lim[；（2）ABxgxfxgxf)(lim)(lim)]()(lim[.特别地，lim()lim()kfxkfx（k为常数）（3）当0B，BAxgxf)()(lim.注意：定理省略了具体的极限过程，包括和且适用于有限个函数的情形。0xxx35例求)123(lim21xxx.可见，上例求极限，可以直接用定理1.1中的(1).只须将0xx之0x代入函数中的x处运算即可。解：1lim2lim3lim)123(lim112121xxxxxxxx2113lim2lim1xxxx2112132例求1)2(lim22xxxx解：)1(lim)2(lim1)2(lim22222xxxxxxxxx36)1(lim)2(limlim2222xxxxxx01402例求4543lim221xxxxx解：若将1x直接代入22134lim54xxxxx，得10lim0x，显然不能直接求出极限值将原式因式分解为1(1)(4)lim(1)(4)xxxxx，约去1x，得1(4)lim(4)xxx代入1x，得1(4)lim(4)xxx=15lim3x=533738例：求13124lim423xxxx解：代x入原式，324421limlim31xxxxx，无法直接求出函数极限将原式分子、分母同除以4x，得244421lim13xxxxxx时，241110,0,0xxx所以原式化为000lim030x39例：求xxxx7812lim23解：将原式分子、分母同除以3x，得3212lim87xxxx22limlim000xx（为常数）可作为常用公式直接使用lim0xCC40总结：对于形如11101110limmmmmnnxnnaxaxaxabxbxbxb的极限，一般求解方法为分子、分母同时除以x的最高次幂当x