GCT数学复习资料(微积分)

GCT考试网群：318493061第四部分一元函数微积分在25个考题里面占6个，主要考在一元微分学部分，微分学占到了23，现在微分学的题目有四个，积分学可能有两个题目。从题目的难度说，04、06两年，微积分的题目计算量是偏大的，03、05两年题目的难度不大，但也有难题。从出题目的类型说，只有一个题目没有复习，就是渐近线的问题。今年渐近线可以不管，已经考过了。微积分[一元微积分内容总结]一、有关函数进一步讨论：二、极限；极限的概念、极限的性质和极限的四则运算、两个重要极限和无穷大量和无穷小量概念及其关系、无穷小量的比较等。掌握极限的保号性质；0sinlim1xxx2x1lim1exx（）201coslimxxx120ln(1)limxxx→1③无穷大与无穷小的关系；④理解无穷小比较；()0()fxgxf(x)=o(g(x))()1()fxgx()()fxcgx（c≠0，c≠1）第三章连续函数连续的定义，左右连续的定义，连续与左右连续的关系，间断点，间断点的分类，连续函数的运算性质，连续函数的性质。给出一个函数，给出一点，判断函数在这点是否存在左极限和右极限存在且相等，相等就是连续的。给出具体函数找间断点。1.先找有定义的点；2.单独给出定义的点；sinx0()x0x0xfx，，最大值存在性和最小值的存在性；第四章导数和微积分的概念、导数的运算1.概念；000(()limxfxxfxx）存在；000(()()ofxxfxaxxx）+(）0()ofxxx=+(）2.性质；①可导定连续；反之不成立。②可导和可微是等价的；反之亦成立。3.运算；①基本初等函数的导数要记住；②加减乘除的求导法则记住；③复合函数的联导法则要记住；GCT考试网群：318493062(())yfgx(())yfgxgx（）g()()xyfxln()ln()ygxfx一、两类概念1．反映函数局部性质的概念极限、连续、可导（导数）、可微（微分）、极值（点）等2．反映函数整体性质的概念有界性、单调性、奇偶性、周期性、凹凸性、最值、原函数、定积分等二、三种运算1．极限运算常用方法：四则运算、重要极限、等价无穷小代换、无穷大与无穷小的关系、导数定义、洛必达法则等2．求导运算需要掌握：定义、基本导数公式、导数的四则运算、复合函数的链导法则、变限定积分函数的导数公式3．积分运算（1）不定积分运算：基本积分公式、换元积分法、分部积分法（2）定积分运算：定义与性质、几何意义、牛顿—莱布尼兹公式、换元积分法、分部积分法三、几个应用1．单调性、极值、最值问题（不等式、方程的根）2．凹凸性、拐点问题3．平面图形的面积问题[一元微积分中的常见问题]一、求函数表达式的问题1．已知1)1(2xxf,求)(xf的表达式．解：令tx1得221)1()(22ttttf，故22)(2xxxf．2．已知.2,2,2,4)(,1,0,1,1)(2xxxxgxxxf求))((xfg．解：.1,4,1,3)(42)(,2,2)(),(4))((22xxxfxfxfxfxfg）．GCT考试网群：3184930633．已知xxefxcossin)(，求)(xf．解：因为xxxxexxeefef)cos(sin)())((，所以dxexxefxx)cos(sin)(Cxexsin因此Cxxxf)sin(ln)(．4．设Cxdxxxfarctan)(，求dxxf)(1．解：因为Cxdxxxfarctan)(，所以211)(xxxf．因此Cxxdxxxdxxf4224121)1()(1．5．已知102)()(dxxfexxfx，求10)(dxxf，)(xf．解：因为102)()(dxxfexxfx，所以10101010210)()1(31)()(dxxfedxxfdxedxxdxxfx，因此)2(31)(10edxxf，xeexxf)2(31)(2．二、研究函数的奇偶性的问题1．)(21)(xxeexf．奇函数2．)1ln()(2xxxf．解：因为对任意的),(x，)1ln()(2xxxf都有定义，且,)()1ln(1)1(ln)1ln()(22222xfxxxxxxxxxf所以)1ln()(2xxxf是奇函数；GCT考试网群：3184930643．研究函数xdtttxf02)1ln()(的奇偶性．解：因为对任意的),(x，xdtttxf02)1ln()(都存在，且)()1ln(11ln))()(1ln()1ln()(02020202xfduuuduuuduuudtttxfxxxx所以xdtttxf02)1ln()(是偶函数．三、函数在一点的性质1．求极限xxeexxxsin12lim410．解：110sin12limsin12lim||sin12lim3110410410xxeeexxeexxeexxxxxxxxxx112sin12lim||sin12lim410410xxeexxeexxxxxx．2．指出函数)1()1()(2xxxxxf的间断点及其类型．答案：0x，跳跃型；1x，可去型；1x，第二类．3．已知函数1lim)(2212nnnxbxaxxxf在),(上连续，求ba,的值．解：由于1,,1),1(21,1),1(21,1,1)(2xbxaxxbaxbaxxxfGCT考试网群：318493065所以11lim)(lim11xxfxx，babxaxxfxx)(lim)(lim211；babxaxxfxx)(lim)(lim211，11lim)(lim11xxfxx．根据连续性可知,1,1baba解得1,0ba．4．讨论函数10111sin)1()(2xxxxxf在1x处的连续性、可导性．答案：连续，可导．因为01011sin)1(lim1)1()(lim)1(211xxxxfxffxx．5．设001sin)(2xbaxxxxxf在0x可导，则ba,满足[A]（A）0,0ba．（B）1,1ba．（C）0,ba为任意常数．（D）1,ba为任意常数．四、有关无穷小比较的问题1．若0k，0)tan(1limcos10axekxx，求k与a的值．解：因为021limcos1lim)tan(1lim200cos10axxxxxekxkxkxx，所以21,2ak．2．已知20)1ln()(xdttxf，则当0x时，下列函数中与)(xf是等价无穷小的是[C]A2x．B3x．C24x．D4x．解：由130120002lim)1ln(2lim)1ln(lim12kxkxkxxakxxakxxxaxdtt得21,4ak．3．确定ba,的值，使21sin1lim220dtttaxxxbx．GCT考试网群：318493066解：因为0)(sinlim0axxx，21sin1lim220dtttaxxxbx所以01lim220dtttxbx，因此0b．又axxaxdtttaxxxxbx101cos1lim1sin1lim2220220，所以1a.4.设xtdtexf02)(，求hhxfhxfh)()(lim0．解:1)()(lim)()(lim00hxfhxfhhxfhxfhh2222][lim)()(0xhxhxheee．五、有关导数概念的问题1．求极限hhxfhxfh2)()(lim000．解：)(2)]()([)]()([lim2)()(lim000000000xfhhxfxfxfhxfhhxfhxfhh2．设)(xf在0x点某邻域内可导，且当0x时0)(xf，已知0)0(f，2)0(f，求极限。xxxfsin10))(21(lim解：xxfxfxxxxfxfsin)(2]))(21[(lim))(21(lim210sin10。4210)0()(2]))(21[(limexfxfxfxfx3．已知0,0,0,1sin)(4xxxxxf，求)0(f．解：因为,0,0,0,1cos1sin4)(23xxxxxxxfGCT考试网群：318493067所以01cos1sin4lim)0()(lim)0(2300xxxxxxfxffxx．六、求简单复合函数、简单隐函数、幂指函数的导数和微分的问题1．)ln(arctanxy．211arctan1xx2．已知函数)(xyy由0xyeexy确定，求曲线)(xyy在0x处的切线方程与法线方程．解：由0xyeexy得0yxyeyexy，当0x时，得1)0(,0)0(yy，所以要求的切线与法线方程分别为xyxy,．3．xxy1．xxylnln，2ln11xxyy，21ln1xxxyx．七、研究函数单调性、求函数极值的问题1．单调性、极值问题例如：求函数212xxy的单调区间和极值点．解：222)1()1(2xxy，由0y得1,121xx．单增区间为)1,1(，单减区间为)1,(和),1(．11x是极小值点，12x是极大值点．2．最值问题，3．证明不等式问题，（1）证明：24)1arctan(222xxxxx)0(x．证明：因为)11(14)1arctan(2xxx，GCT考试网群：318493068所以24)1arctan(222xxxxx)0(x.（2）证明：)(baebaab．证明：令xxxfln)(，则exxxxf,0ln1)(2，所以当bae时，)()(afbf，即aabblnln，故)(baebaab．（3）证明：)31(1lnln)3(ln1222exxx．证明：令xxxf22lnln)(，由0ln22)(xxxxf得ex，由于3ln1)3(,1)(,0)1(2efeff，所以函数)(xf在区间]3,1[e上的最大、最小值分别为1和3ln12，从而有)31(1lnln)3(ln1222exxx．4．证明等式问题例如：设函数)(xf在],0[a上可导、单增且0)0(f，证明)()()()(010aafdyyfdxxfafa．证明：令)()()()()(010uufdyyfdxxfuFufu，],0[au，则],0[,0)()())(()()()(1auufuufuffufuf