概率论与数理统计第三章多维随机变量及其分布习题解答

习题3-11、设(,)XY的分布律为XY12311/61/91/1821/3a1/9求a。解：由分布律的性质，得1,0ijijpa，即111111691839a，0a，解得，29a。注：考察分布律的完备性和非负性。2、设(,)XY的分布函数为(,)Fxy，试用(,)Fxy表示：（1）{,}PaXbYc；（2）{0}PYb；（3）{,}PXaYb。解：根据分布函数的定义(,){,}FxyPXxYy，得（1）{,}{,}{,}(,)(,)PaXbYcPXbYcPXaYcFbcFac；（2）{0}{,}{,0}(,)(,0)PYbPXYbPXYFbF；（3）{,}{,}{,}(,)(,)PXaYbPXYbPXaYbFbFab。3、设二维随机变量(,)XY的分布函数为(,)Fxy，分布律如下：YX123411/4001/1621/161/401/4301/161/160试求：（1）13{,04}22PXY；（2）{12,34}PXY；（3）(2,3)F。解：由(,)XY的分布律，得（1）1311{,04}{1,1}{1,2}{1,3}002244PXYPXYPXYPXY；（2）{12,34}{1,3}{1,4}{2,3}{2,4}PXYPXYPXYPXYPXY1150016416；（3）(2,3){2,3}{1,1}{1,2}{1,3}FPXYPXYPXYPXY1119{2,1}{2,2}{2,3}000416416PXYPXYPXY。4、设X，Y为随机变量，且{0,0}3/7,{0}{0}4/7PXYPXPY，求{max(,)0}PXY。解：{max(,)0}{(0)(0)}{0}{0}{0,0}5/7PXYPXYPXPYPXY。注：此题关键在于理解{max(,)0}XY表示{(0)(0)}XY，然后再根据概率的加法公式。5、(,)XY只取下列数值中的值：(0,0),(1,1),(1,1/3),(2,0)，且相应概率依次为16，13，112，512。请列出(,)XY的概率分布表，并写出关于Y的边缘分布。解：（1）根据(,)XY的全部可能取值以及相应概率，得(,)XY的概率分布表为XY01/31016001011213251200（2）根据Y的边缘分布与联合分布的关系，得XY01/31016001011213251200jp71211213所以，Y的边缘分布为Y01/31kp712112136、设随机向量(,)XY服从二维正态分布22(0,0,10,10,0)N，其概率密度函数为222001(,)200xyfxye，求{}PXY。解：由图形对称性，得{}{}PXYPXY，故1{}2PXY。注：本题的求解借助与图形的特点变得很简单，否则若根据概率密度函数的性质3进行求解会相对复杂些。7、设随机变量(,)XY的概率密度为其它,042,20),6(),(yxyxkyxf，（1）确定常数k；（2）求{1,3}PXY；（3）求{1.5}PX；（4）求{4}PXY。分析：利用{(,)}(,)(,)oGGDPXYGfxydxdyfxydxdy，再化为累次积分，其中(,)02,24oDxyxy解：（1）由概率密度函数的完备性，得21021(,)(6)8fxydxdykxydydxk，解得81k。（2）13130213(1,3)(,)(6)88PXYfxydxdydxxydy；（3）1.51.5402127(1.5)(1.5,)(,)(6)832PXPXYfxydxdydxxydy；（4）2400412(4)(,)(6)83xxyPXYfxydxdydxxydy。8、已知X和Y的联合密度为,01,01(,)0,cxyxyfxy其它，试求：（1）常数c；（2）X和Y的联合分布函数(,)Fxy。解：（1）由概率密度函数的完备性，得1100111(,)22fxydxdycxydxdyc，解得4c。（2）(,)(,)xyFxyfuvdudv0010010011000,004,01,014,01,14,1,014,1,1xyxyxyuvdvduxyuvdvduxyuvdvduxyuvdvduxy或22220,0001,0101,11,0111,1xyxyxyxxyyxyxy或。9、设二维随机变量(,)XY的概率密度为4.8(2),01,0(,)0,yxxyxfxy其它求边缘概率密度()Yfy。解：124.8(2),012.4(34),01()(,)0,0,yYyxdxyyyyyfyfxydx其它其它。10、设(,)XY在曲线2yx，yx所围成的区域G内服从均匀分布，求联合概率密度和边缘概率密度。解：据题意知，区域G的面积为21016xGxSdydx，由于(,)XY在区域G内服从均匀分布，故(,)XY的概率密度函数为1,(,)6,(,)(,)0,0,GxyGxyGSfxy其它其它。226,016(),01()(,)0,0,xxXdyxxxxfxfxydy其它其它，6,016(),01()(,)0,0,yyYdxyyyyfyfxydx其它其它。注：此题求解首先必须画出区域G的图形。然后根据图形确定积分上下限。习题3-21、二维随机变量(,)XY的分布律为XY0107/157/3017/301/15（1）求Y的边缘分布律；（2）{0|0}PYX，{1|0}PYX；（3）判定X与Y是否独立？解：（1）由边缘分布与联合分布的关系，知XY0107/157/3017/301/15jp0.70.3所以，Y的边缘分布律为Y01kp0.70.3（2）{0,0}{0,0}7/152{0|0}{0}{0,0}{0,1}7/157/303PXYPXYPYXPXPXYPXY，{1|0}PYX{0,1}{0,1}7/301{0}{0,0}{0,1}7/157/303PXYPXYPXPXYPXY；（3）根据二维随机变量(,)XY的分布律可知其边缘分布律XY01ip07/157/300.717/301/150.3jp0.70.3由于{0,0}{0}{0}PXYPXPY，所以X与Y不独立。2、将某一医药公司9月份和8月份的青霉素制剂的订货单数分别记为X与Y。据以往积累的资料知，X和Y的联合分布律为XY5152535455510.060.050.050.010.01520.070.050.010.010.01530.050.100.100.050.05540.050.020.010.010.03550.050.060.050.010.03(1)求边缘分布律；（2）求8月份的订单数为51时，9月份订单数的条件分布律。解：（1）由联合分布律与边缘分布律的关系，得XY5152535455ip510.060.050.050.010.010.18520.070.050.010.010.010.15530.050.100.100.050.050.35540.050.020.010.010.030.12550.050.060.050.010.030.20jp0.280.280.220.090.13（2）{51,51}0.063{51|51}{51}0.2814PXYPXYPY，{52,51}0.071{52|51}{51}0.284PXYPXYPY，{53,51}0.055{53|51}{51}0.2828PXYPXYPY，{54,51}0.055{54|51}{51}0.2828PXYPXYPY，{55,51}0.055{55|51}{51}0.2828PXYPXYPY，8月份的订单数为51时，9月份订单数的条件分布律为|51XY5152535455kp314145285285283、已知(,)XY的分布律如表所示，XY01201/41/80101/3021/601/8求：（1）在1Y的条件下，X的条件分布律；（2）在2X的条件下，Y的条件分布律。解：根据联合分布律可得边缘分布律，如下：XY012ip01/41/803/8101/301/321/601/87/24jp5/1211/241/8（1）根据上表，可得{0,1}1/83{0|1}{1}11/2411PXYPXYPY，{1,1}1/38{1|1}{1}11/2411PXYPXYPY，{2,1}0{2|1}0{1}11/24PXYPXYPY，所以，在1Y的条件下，X的条件分布律为|1XY01kp311811（2）根据上表，可得{2,0}1/64{0|2}{2}7/247PXYPYXPX，{2,1}0{1|2}0{2}7/24PXYPYXPX，{2,2}1/83{2|2}{2}7/247PXYPYXPX，所以，在2X的条件下，Y的条件分布律为|2YX02kp47374、已知(,)XY的概率密度函数为3,01,0(,)0,xxyxfxy其它，求：（1）边缘概率密度函数；（2）条件概率密度函数。解：（1）203,013,01()(,)0,0,xXxdyxxxfxfxydy其它其它；1233,01(1),01()(,)20,0,yYxdxyyyfyfxydx其它其它；（2）当01x时，2|31,0,0(,)(|)3()0,0,YXXxyxyxfxyfyxxxfx其它其它；当01y时，22|32,1,13(,)(1)(1)(|)2()0,0,XYYxxyxyxfxyyyfxyfy其它其它。注：此题求解时最好画出联合密度函数不为零时的区域，以便准确的确定自变量的取值或积分上下限。5、设X与Y相互独立，其概率分布如表所示，X-2-101/2ip1/41/31/121/3Y-1/213ip1/21/41/4求(,)XY的联合概率分布，{1}PXY，{0}PXY。解：由于X与Y相互独立，故对任意,ij，有{,}{}{}PXiYjPXiPYj，所以，(,)XY的联合概率分布为XY-1/213ip-21/81/161/161/4-11/61/121/121/301/241/481/481/121/21/61/121/121/3jp1/21/41/4111{1}{2,3}{0,1}164812PXYPXYPXY，113{0}1{0}1({1,1}{1/2,1/2})1()1264PXYPXYPXYPXY。6、某旅客到达火车站的时间X均匀分布在早上7：55~8：00，而火车这段时间开出的时间Y的密