如何建模

如何建立数学模型一、数学模型解决问题的五个步骤二、简单的例子一、数学模型解决问题的五个步骤1、提出问题2、选择建模方法3、推导模型的数学表达式4、求解模型5、回答问题[1]（新西兰）MarkM.Meerschaert著《数学建模方法与分析》1、提出问题将实际问题用数学语言表述“提出问题”意味着：这一步主要完成三个任务：（1）列出实际问题所涉及到的变量；（2）写出关于这些变量所做的假设，列出已知的或假设的这些变量之间的关系式，包括等式和不等式；（3）用明确的数学语言写出问题的目标的表达式。变量首先列出已有的变量：n可供选择的资产数目M可供使用的资金总额iirS购买的平均收益率iiqS购买的风险损失率iipS购买的交易费费率iiuS购买的费率分界量05r%银行存款利率,为其次，我们要根据表述实际问题（表述问题的目标、列出变量之间的关系）的需要，自行引入一些新的变量。目标用给定的资金，有选择地购买若干种资产或存银行生息，使净收益尽可能大，而总体风险尽可能小。M为了表述目标，引入新的变量：L投资的净收益R投资的总体风险目标的数学表述：0q银行存款的风险损失率00,pu银行存款的交易费费率及费率分解量(0,1,,)iixinS投资于资产的资金找出，使得尽可能大，同时尽可能小。LR0(0,1,,)ixin…iiiPSx投资于资产所需的交易费，为的函数假设主要是列出变量之间的关系式为了列出已有变量之间的关系式，引入新的变量：则变量之间有如下的关系式：,(),00,0iiiiiiiiiiixpxuPxupxux…0()niiiiiLxrPx0maxiiinRxq剟0()niiiixPxM0(0,1,,)ixin…2、选择建模方法我们已经将实际问题表述为一个数学问题。这一步，需要选择适当的数学方法用于解决问题。显然，这时你了解的数学方法越多，选择的面也越广，也越有助于找出适当的数学方法。一般地，这一步的成功，需要经验、技巧和对相关文献有一定的熟悉程度。问题是否可以表示成一个已有有效的一般求解方法的问题的标准形式？●如果可以，那么直接选择已有的方法，建立模型并进行求解。●如果不可以，那么需要对已有的方法或模型进行改造，使之可以用来解决现在的问题。或者干脆自己创造新的方法来解决问题!!!继续考虑例1问题的数学表述为：0()niiiixPxM0(0,1,,)ixin…(0,1,,)ixin求，满足00()maxniiiiiiiniLxrPxRxq使得及尽可能大剟这可以被看作是一个双目标优化的数学问题从而我们可以选择运筹学中与多目标优化相关的方法来解决这个问题。0max(),0(0,1,,)niiiiiLxPxMxinR…3、推导模型的数学表达式在这一步，我们需要把第一步中所得到的数学问题应用于第2步，将问题写成所选择的数学方法需要的标准形式。继续考虑例1，对应的双目标优化的标准表述形式为：这样，就完成了例1的建立模型的过程。4、求解模型5、回答问题剩下的两个步骤：这两个步骤对模型的完成都极为重要，必不可少。但我们现在的目的是通过实例说明如何建立数学模型，对这两个不作为重点。根据第2步中选定的方法，进行数学推导或（利用计算机）进行计算，对建立的模型进行求解。根据第4步的结果，对实际的问题作出解答。二、简单的例子两辆铁路平板车的装载问题：变量这个题目比较简单，已经给出的全部都是常量：iitC的厚度（单位：厘米）iiwC的重量（单位：千克）iipC的件数L平板车的长度（单位：米）W平板车的载重量（单位：吨）567LCCC对,,厚度的特殊约束（单位：厘米）目标将货箱装到两辆平板车上，使浪费的空间最小为了表述目标，引入新的变量：2S第二辆平板车的剩余空间（单位：厘米）目标的数学表述：1iixC装到第一辆平板车上的件数2iixC装到第二辆平板车上的件数1S第一辆平板车的剩余空间（单位：厘米）120(1,,7,1,2)ijxijSS找出整数，使得最小.…假设主要是列出变量之间的关系式由实际问题知，变量之间有如下的关系式：71111000iiiSLxt…72211000iiiSLxt…7211000iiixwW„7111000iiixwW„12(1,,7)iiixxpi„515616717xtxtxtL„525626727xtxtxtL„0(1,,7,1,2)ijxij且为整数…2711maxijijjixt12771111177222115156167175256267270(1,,7,1,2)(1,,7)1000,1000..1000,1000,ijiiiiiiiiiiiiiiixijxxpiSLxtxwWstSLxtxwWxtxtxtLxtxtxtL且为整数…„厔厔剟第二步：本题是一个整数线性规划问题第三步：写出整数线性规划问题的标准形式在约10,000米高空的某边长160公里的正方形区域内,经常有若干架飞机作水平飞行。区域内每架飞机的位置和速度均由计算机记录其数据，以便进行飞行管理。当一架欲进入该区域的飞机到达区域边缘,记录其数据后，要立即计算并判断是否会与区域内的飞机发生碰撞。如果会碰撞，则应计算如何调整各架(包括新进入的)飞机飞行方向角，以避免碰撞。现假定条件如下:1)不碰撞的标准为任意两架飞机的距离大于8公里;2)飞机飞行方向角调整的幅度不应超过30度;3)所有飞机飞行速度均为每小时800公里;4)进入该区域的飞机在到达区域边缘时,与区域内飞机的距离应在60公里以上;例3、一个飞行管理问题5)最多需考虑6架飞机;6)不必考虑飞机离开此区域后的状况。请你对这个避免碰撞的飞行管理问题建立数学模型，列出计算步骤，对以下数据进行计算(方向角误差不超过0.01度)，要求飞机飞行方向角调整的幅度尽量小。设该区域4个顶点的坐标为(0,0)，(160,0)，(160,160)，(0,160)。飞机编号横坐标x纵坐标y方向角(度)1150140243285852363150155220.54145501595130150230新进入0052注:方向角指飞行方向与x轴正向的夹角。试根据实际应用背景对你的模型进行评价与推广。变量这个题目比较简单，已经给出的全部都是常量：ixi号飞机的初始横坐标iyi号飞机的初始纵坐标ii号飞机的初始方向角目标调整飞行方向角，避免碰撞，且使调幅尽量小引入新的变量：ii号飞机的方向角的变化目标的数学表述：61(1,,6)||iiii求，使最小.假设主要是列出变量之间的关系式本题的约束条件也比较简单，只有两个，但其中“避免碰撞”这个条件比较难以刻划！()ixtit号飞机在时刻的横坐标避免碰撞：在区域内的任意两架飞机在任一时刻之间的距离小于8km.引入变量：()iytit号飞机在时刻的纵坐标()ijdtijt号和号飞机在时刻的距离22()()()()()ijijijdtxtxtytyt则t下面需要讨论时间的取值范围对这个问题的详细讨论比较麻烦，因为即使对于一架飞机来讲，其飞出区域的时间也将会受到方向角变化的影响.这个事实可以简单地从考察1号飞机得到.t所以我们采用一个简化的方法，直接将的值限定在任何一架飞机可能在该区域飞行的最大时间内.160200.22800tt既有，的单位为小时剟o||30(16)ii另一个约束条件为：剟?61min||iio22||30(16)()8(00.22)..()()()()()()800cos()()800sin()iijijijijiiiiiiiiidttstdtxtxtytytxtxtytyt剟?剟?第二步：本题是一个非线性规划问题第三步：写出非线性规划问题的标准形式例4、钢管定购和运输这个题目已经给出的量也都是常量，我们不再列出目标制定钢管的定购和运输计划，使总费用最小总费用＝定购费用＋运输费用计算定购费用，只需引入变量iiXS从钢厂定购的钢管数71iiX即得定购费用111jjjjjjjjjAABABABAA其次，在两个节点，之间，存在一个平衡点，在段上，钢管应该从节点处转运过来，在段上，钢管应该从节点处转运过来.ijjSAA这样，运输费用从钢厂运到节点的费用＋从运到铺设点的费用下面计算运输费用：首先要注意的是：钢管必须被运到铺设的地点才能够正常铺设，所以钢管实际上是从钢厂出发被运到了铺设地点，而不仅仅是被运到了15个主节点.ijijxSA从钢厂运到节点处的钢管数我们需要引入变量：ijijcSA从钢厂到节点处的最低单位钢管运价（这个量是要算出来的！！！）1jjjyAA－从节点处往方向运的钢管数1jjjzAA+从节点处往方向运的钢管数ijijijSAxc从运到的费用下面计算总费用：(1)(1)0.10.122jjjjjyyzzA从运到铺设点的费用71515111(1)(1)0.10.122jjjjijijijjyyzzxc运输费用71515111(1)(1)()0.10.122jjjjijijiijjyyzzFxcp总费用＋假设主要是列出变量之间的关系式1150yz151{0}[500,](1,,7)ijijxsi71(1,,15)ijjjixyzj1(1,,14)jjjzyLj0,0,0,1,,7,1,,15ijjjxyzij厖?1jjjAAL记管线的长为（单位：公里），则有71515111(1)(1)min()0.10.122jjjjijijiijjyyzzxcp[phone](1,,14)0(1,,15)..{0}[500,](1,,7)0,0,0,1,,7,1,,15jjjijjjiijijijjjzyLjyzxyzjstxsixyzij厖?第二步：本题是一个非线性规划（二次规划）问题第三步：写出二次规划问题的标准形式