2014届高三数学(理)第一轮夯实基础《正弦定理与余弦定理 》

3．7正弦定理与余弦定理考纲点击掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形问题.考点梳理1.正弦定理①__________________，其中R是三角形外接圆的半径．由正弦定理可以变形为：(1)a∶b∶c＝②________________；(2)a＝2RsinA，b＝2RsinB，③__________；(3)sinA＝a2R，sinB＝b2R，sinC＝④__________等形式，以解决不同的三角形问题．2．余弦定理a2＝⑤______________，b2＝⑥________________，c2＝⑦____________.余弦定理可以变形为：cosA＝⑧________，cosB＝⑨__________，cosC＝⑩__________.3．S△ABC＝12absinC＝12bcsinA＝12acsinB＝abc4R＝12(a＋b＋c)·r(r是三角形内切圆的半径)，并可由此计算R、r.答案：①asinA＝bsinB＝csinC＝2R②sinA∶sinB∶sinC③c＝2RsinC④c2R⑤b2＋c2－2bccosA⑥a2＋c2－2accosB⑦a2＋b2－2abcosC⑧b2＋c2－a22bc⑨a2＋c2－b22ac⑩a2＋b2－c22ab考点自测1.已知△ABC中，a＝2，b＝3，B＝60°，那么角A等于()A．135°B．90°C．45°D．30°解析：根据正弦定理asinA＝bsinB得：2sinA＝3sin60°⇒sinA＝22，又a＜b，∴A＜B，A＝45°，故选C.答案：C2．在△ABC中，设命题p：asinB＝bsinC＝csinA，命题q：△ABC是等边三角形．那么命题p是命题q的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分又不必要条件解析：p：asinB＝bsinC＝csinA.由正弦定理asinA＝bsinB＝csinC，∴sinA＝sinB＝sinC.∴A＝B＝C⇒a＝b＝c.答案：C3．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c.若(a2＋c2－b2)tanB＝3ac，则角B的值为()A.π6B.π3C.π6或5π6D.π3或2π3解析：∵a2＋c2－b22ac＝cosB，结合已知等式得cosB·tanB＝32，∴sinB＝32，故选D.答案：D4．已知△ABC的三内角A、B、C的对边边长分别为a、b、c.若a＝52b，A＝2B，则cosB＝__________.解析：由正弦定理sinAa＝sinBb，又∵a＝52b，A＝2B，∴sin2B52b＝sinBb，b≠0，sinB≠0，∴2cosB52＝1，∴cosB＝54.答案：545．已知△ABC的三个内角A、B、C成等差数列，且AB＝1，BC＝4，则边BC上的中线AD的长为__________．解析：如图所示，B＝60°，AB＝1，BD＝2.由余弦定理知AD＝AB2＋BD2－2AB·BD·cos60°＝12＋22－2×1×2cos60°＝3.答案：3疑点清源1.在解三角形时，正弦定理可解决两类问题：(1)已知两角及任一边，求其它边或角；(2)已知两边及一边的对角，求其它边或角．情况(2)中结果可能有一解、二解、无解，应注意区分．余弦定理可解决两类问题：(1)已知两边及夹角或两边及一边对角的问题；(2)已知三边问题．2．解三角形的类型在△ABC中，已知a、b和A时，解的情况如下：A为锐角A为钝角或直角图形关系式a＝bsinAbsinA＜a＜ba≥ba＞b解的个数一解两解一解一解题型探究题型一正弦定理的应用例1在△ABC中，已知a＝3，b＝2，B＝45°，求A、C和c.解析：∵B＝45°＜90°且asinB＜b＜a，∴△ABC有两解．由正弦定理得sinA＝asinBb＝3sin45°2＝32，则A为60°或120°.①当A＝60°时，C＝180°－(A＋B)＝75°，c＝bsinCsinB＝2sin75°sin45°＝2sin45°＋30°sin45°＝6＋22.②当A＝120°时，C＝180°－(A＋B)＝15°，c＝bsinCsinB＝2sin15°sin45°＝2sin45°－30°sin45°＝6－22.故在△ABC中，A＝60°，C＝75°，c＝6＋22或A＝120°，C＝15°，c＝6－22.点评：已知两边和其中一边的对角解三角形时，可有两解、一解、无解三种情况，应根据已知条件判断解的情况，主要是根据图形或由“大边对大角”作出判断．变式探究1已知下列各三角形中的两边及其一边的对角，先判断三角形是否有解？有解的作出解答．(1)a＝7，b＝8，A＝105°；(2)a＝10，b＝20，A＝80°；(3)b＝10，c＝56，C＝60°；(4)a＝23，b＝6，A＝30°.解析：(1)a＝7，b＝8，a＜b，则有A＜B，而A＝105°＞90°，∴本题无解．(2)a＝10，b＝20，a＜b，A＝80°＜90°.讨论如下：∵bsinA＝20sin80°＞20sin60°＝103，∴a＜bsinA，∴本题无解．(3)b＝10，c＝56，b＜c，C＝60°＜90°，本题有一解．∵sinB＝bsinCc＝10sin60°56＝22，∴B＝45°，A＝180°－(B＋C)＝75°，∴a＝bsinAsinB＝10sin75°sin45°＝10×6＋2422＝5(3＋1)(4)a＝23，b＝6，a＜b，A＝30°＜90°.又∵bsinA＝6sin30°＝3，a＞bsinA，∴本题有两解．由正弦定理得sinB＝bsinAa＝6sin30°23＝32，∴B＝60°或120°.当B＝60°时，C＝90°，c＝asinCsinA＝23sin90°sin30°＝43；当B＝120°时，C＝30°，c＝asinCsinA＝23sin30°sin30°＝23.∴B＝60°，C＝90°，c＝43或B＝120°，C＝30°，c＝23.题型二余弦定理的应用例2在△ABC中，a、b、c分别是角A，B，C的对边，且cosBcosC＝－b2a＋c.(1)求角B的大小；(2)若b＝13，a＋c＝4，求△ABC的面积．解析：(1)由余弦定理知：cosB＝a2＋c2－b22ac，cosC＝a2＋b2－c22ab.将上式代入cosBcosC＝－b2a＋c得：a2＋c2－b22ac·2aba2＋b2－c2＝－b2a＋c整理得：a2＋c2－b2＝－ac，∴cosB＝a2＋c2－b22ac＝－ac2ac＝－12，∵B为三角形的内角，∴B＝23π.(2)将b＝13，a＋c＝4，B＝23π代入b2＝a2＋c2－2accosB，得b2＝(a＋c)2－2ac－2accosB，∴b2＝16－2ac1－12，∴ac＝3.∴S△ABC＝12acsinB＝334.点评：①根据所给等式的结构特点利用余弦定理将角化边进行变形是迅速解答本题的关键．②熟练运用余弦定理及其推论，同时还要注意整体思想、方程思想在解题过程中的运用．变式探究2在△ABC中，已知sinA＝35，sinA＋cosA＜0，a＝35，b＝5，求c.解析：∵sinA＋cosA＜0，且sinA＝35，∴cosA＝－1－sin2A＝－45，又∵a＝35，b＝5，∴由a2＝b2＋c2－2bccosA，得(35)2＝52＋c2－2×5×c×－45，即c2＋8c－20＝0，解得c＝2或c＝－10(舍去)，∴c＝2.题型三判断三角形的形状例3已知方程x2－(bcosA)x＋acosB＝0的两根之积等于两根之和，且a、b为△ABC的两边，A、B为两内角，试判定这个三角形的形状．解析：方法一：设方程的两根为x1、x2，由韦达定理知x1＋x2＝bcosA，x1x2＝acosB，由题意有bcosA＝acosB，根据余弦定理得b·b2＋c2－a22bc＝a·a2＋c2－b22ac，∴b2＋c2－a2＝a2＋c2－b2，化简得a＝b，∴△ABC为等腰三角形．方法二：同法一得bcosA＝acosB，由正弦定理得：2RsinBcosA＝2RsinAcosB，∴sinAcosB－cosAsinB＝0，即sin(A－B)＝0，∵0＜A＜π，0＜B＜π.∴－π＜A－B＜π.∴A－B＝0，即A＝B，故△ABC为等腰三角形．点评：由三角形的边角关系判定三角形的形状，其基本思路是根据正弦定理和余弦定理进行边角变换，全化为边的关系或全化为角的关系(一般化为角较方便)，然后利用简单的平面几何知识即可判定．应注意式子的等价变形和隐含条件的挖掘，以免漏解或增解．变式探究3在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，其中c边最长，并且sin2A＋sin2B＝1.(1)判断△ABC的形状；(2)当c＝1时，求△ABC面积的最大值．解析：(1)∵c边为最长边，∴A、B均为锐角．由sin2A＋sin2B＝1得sin2A＝cos2B.∵sinA、cosB均为正数，∴sinA＝cosB.∴sinA＝sinπ2－B，又A，π2－B∈0，π2，∴A＝π2－B，∴A＋B＝π2，即C＝π2.所以△ABC为直角三角形．(2)解：△ABC的面积S＝12ab＝14·2ab≤14(a2＋b2)．由于a2＋b2＝c2＝1.∴S≤14.当且仅当a＝b＝22时，上式取等号．所以△ABC面积的最大值为14.题型四正、余弦定理的综合应用例4△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，向量m＝(－1,1)，n＝(cosBcosC，sinBsinC－32)，且m⊥n.(1)求角A的大小；(2)现给出下列三个条件：①a＝1；②2c－(3＋1)b＝0；③B＝45°.试从中再选择两个条件以确定△ABC，求出你所确定的△ABC的面积．解析：(1)∵m⊥n，∴－cosBcosC＋sinBsinC－32＝0，即cosBcosC－sinBsinC＝－32，∴cos(B＋C)＝－32.∵A＋B＋C＝180°，∴cos(B＋C)＝－cosA，∴cosA＝32，又0＜A＜π，∴A＝30°.(2)方案一：选择①②，可确定△ABC.∵A＝30°，a＝1,2c－(3＋1)b＝0，由余弦定理得12＝b2＋3＋12b2－2b·3＋12b·32，整理得b2＝2，∴b＝2，c＝6＋22.∴S△ABC＝12bcsinA＝12×2×6＋22×12＝3＋14.方案二：选择①③，可确定△ABC.∵A＝30°，a＝1，B＝45°，∴C＝105°.又sin105°＝sin(60°＋45°)＝sin60°cos45°＋cos60°sin45°＝6＋24，由正弦定理得c＝asinCsinA＝1·sin105°sin30°＝6＋22，∴S△ABC＝12acsinB＝12×1×6＋22×22＝3＋14.(注：若选择②③不能确定△ABC)变式探究4设△ABC的内角A、B、C所对的边长分别为a、b、c，且acosB＝3，bsinA＝4，(1)求边长a；(2)若△ABC的面积S＝10，求△ABC的周长l.解析：(1)依题意得acosBbsinA＝34，由正弦定理得ab＝sinAsinB，所以cosBsinB＝34.cos2B＝916sin2B＝916(1－cos2B)，即cos2B＝925，依题设知a2cos2B＝9，所以a2＝25，得a＝5.(2)因为S＝12bcsinA＝2c，所以，由S＝10得c＝5.应用余弦定理得b＝a2＋c2－2accosB＝25.故△ABC的周长l＝a＋b＋c＝2(5＋5)＝10＋25.归纳总结•方法与技巧1．正、余弦定理和三角形面积公式是本节课的重点，利用三角形内角和、边、角之间的关系，三角函数的变形公式去判断三角形的形状，求解三角形，以及利用它们解决一些实际问题．2．应熟练掌握和运用内角和定理：A＋B＋C＝π，A2＋B2＋C2＝π2中互补和互余的情况，结合诱导公式可以减少角的种数．3．正、余弦定理的公式应注意灵活运用，如由正、余弦定理结合得sin2A＝sin2B＋sin2C－2sinB·sinC·cosA，可以进行化简或证明．