2014届高三数学《正弦定理、余弦定理应用举例》

3．8正弦定理、余弦定理应用举例考纲点击能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题.考点梳理1．仰角和俯角与目标视线同在一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线①______时叫仰角，目标视线在水平视线②______的叫俯角．(如图所示)2．方位角一般指正北方向线顺时针到目标方向线的水平角，如方位角45°，是指③__________，即东北方向．3．坡角坡面与④______的夹角．(如图所示)4．坡比坡面的铅直高度与水平宽度之比，即i＝hl＝tanα(i为坡比，α为坡角)．答案：①上方②下方③北偏东45°④水平面考点自测1.从A处望B处的仰角为α，从B处望A处的俯角为β，则α、β的关系为()A．α＞βB．α＝βC．α＋β＝90°D．α＋β＝180°解析：如图所示，从A处望B处和从B处望A处视线均为AB.而α，β同为AB与水平线所成的角，因此α＝β.答案：B2．如图所示，为了测量某障碍物两侧A、B间的距离，给定下列四组数据，不能确定A、B间距离的是()A．α，a，bB．α，β，aC．a，b，γD．α，β，b解析：选项B中由正弦定理可求b，再由余弦定理可确定AB.选项C中可由余弦定理确定AB.选项D同B类似，故选A.答案：A3．如图所示，已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离相等，灯塔A在观察站C的北偏东40°，灯塔B在观察站C的南偏东60°，则灯塔A在灯塔B的()A．北偏东10°B．北偏西10°C．南偏东10°D．南偏西10°解析：由已知∠ACB＝180°－40°－60°＝80°，又AC＝BC，∴∠A＝∠ABC＝50°，60°－50°＝10°.∴灯塔A位于灯塔B的北偏西10°.答案：B4．在200m高的山顶上，测得山下一塔的塔顶与塔底的俯角分别是30°、60°，则塔高为__________m.解析：如图所示，设塔高为hm.由题意及图可知：(200－h)·tan60°＝200tan60°解得：h＝4003m.答案：40035．线段AB外有一点C，∠ABC＝60°，AB＝200km，汽车以80km/h的速度由A向B行驶，同时摩托车以50km/h的速度由B向C行驶，则运动开始________h后，两车的距离最小．解析：如图所示，设th后，汽车由A行驶到D，摩托车由B行驶到E，则AD＝80t，BE＝50t.因为AB＝200，所以BD＝200－80t，问题就是求DE最小时t的值．由余弦定理：DE2＝BD2＋BE2－2BD·BEcos60°＝(200－80t)2＋2500t2－(200－80t)·50t＝12900t2－42000t＋40000.当t＝7043时，DE最小．答案：7043疑点清源1.解三角形的一般步骤(1)分析题意，准确理解题意．分清已知与所求，尤其要理解应用题中的有关名词、术语，如坡度、仰角、俯角、方位角等．(2)根据题意画出示意图．(3)将需要解的问题归结到一个或几个三角形中，通过合理运用正弦定理、余弦定理等有关知识正确求解．演算过程中，要算法简练，计算正确，并作答．(4)检验解出的答案是否具有实际意义，对解进行取舍．2．解斜三角形实际应用举例(1)常见几种题型测量距离问题、测量高度问题、测量角度问题、计算面积问题、航海问题、物理问题等．(2)解题时需注意的几个问题①要注意仰角、俯角、方位角等名词，并能准确地找出这些角；②要注意将平面几何中的性质、定理与正、余弦定理结合起来，发现题目中的隐含条件，才能顺利解决.题型探究题型一测量距离问题例1要测量对岸A、B两点之间的距离，选取相距3km的C、D两点，并测得∠ACB＝75°，∠BCD＝45°，∠ADC＝30°，∠ADB＝45°，求A、B之间的距离．解析：如图所示在△ACD中，∠ACD＝120°，∠CAD＝∠ADC＝30°，∴AC＝CD＝3km.在△BCD中，∠BCD＝45°，∠BDC＝75°，∠CBD＝60°.∴BC＝3sin75°sin60°＝6＋22.△ABC中，由余弦定理，得AB2＝(3)2＋6＋222－2×3×6＋22×cos75°＝3＋2＋3－3＝5，∴AB＝5(km)．∴A、B之间的距离为5km.点评：求距离问题要注意：①选定或确定要创建的三角形，要首先确定所求量所在的三角形，若其他量已知则直接解；若有未知量，则把未知量放在另一确定三角形中求解．②确定正弦定理还是余弦定理，如果都可用，就选择更便于计算的定理．变式探究1某观测站C在目标A的南偏西25°方向，从A出发有一条南偏东35°走向的公路，在C处测得与C相距31千米的公路上B处有一人正沿此公路向A处走，走20千米到达D，此时测得CD为21千米，求此人在D处距A还有多少千米？解析：如图所示，易知∠CAD＝25°＋35°＝60°，在△BCD中，cosB＝312＋202－2122×31×20＝2331，所以sinB＝12331.在△ABC中，AC＝BCsinBsinA＝24，由BC2＝AC2＋AB2－2AC·ABcosA，得AB2－24AB－385＝0，解得AB＝35，所以AD＝AB－BD＝15.故此人在D处距A有15千米.题型二测量高度问题例2如图，测量河对岸的塔高AB时，可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D，现测得∠BCD＝α，∠BDC＝β，CD＝s，并在点C测得塔顶A的仰角为θ，求塔高AB.解析：在△BCD中，∠CBD＝π－α－β.由正弦定理得BCsin∠BDC＝CDsin∠CBD，所以BC＝CDsin∠BDCsin∠CBD＝s·sinβsinα＋β.在Rt△ABC中，AB＝BCtan∠ACB＝stanθsinβsinα＋β.点评：在测量高度时，要正确理解仰角、俯角的概念，画出准确的示意图，恰当地选取相关的三角形和正、余弦定理逐步进行求解．注意综合应用方程和平面几何、立体几何等知识．变式探究2某人在塔的正东沿着南偏西60°的方向前进40米后，望见塔在东北方向，若沿途测得塔的最大仰角为30°，求塔高．解析：在△BCD中，CD＝40，∠BCD＝30°，∠DBC＝135°，由正弦定理得CDsin∠DBC＝BDsin∠BCD，∴BD＝40sin30°sin135°＝202.过B作BE⊥CD于E，显然当人在E处时，测得塔的仰角最大，有∠BEA＝30°.在Rt△BED中，∠AEB＝180°－135°－30°＝15°.∴BE＝DBsin15°＝202×6－24＝10(3－1)．在Rt△ABE中，∠AEB＝30°，∴AB＝BEtan30°＝103(3－3)(米)．故所求的塔高为103(3－3)米.题型三测量角度问题例3沿一条小路前进，从A到B，方位角(从正北方向顺时针转到AB方向所成的角)是50°，距离是3km，从B到C，方位角是110°，距离是3km，从C到D，方位角是140°，距离是(9＋33)km.试画出示意图，并计算出从A到D的方位角和距离(结果保留根号)．解析：示意图如图所示，连接AC，在△ABC中，∠ABC＝50°＋(180°－110°)＝120°，又AB＝BC＝3，∴∠BAC＝∠BCA＝30°.由余弦定理可得AC＝AB2＋BC2－2AB·BCcos120°＝9＋9－2×3×3×－12＝27＝33(km)．在△ACD中，∠ACD＝360°－140°－(70°＋30°)＝120°，CD＝33＋9.由余弦定理得AD＝AC2＋CD2－2AC·CDcos120°＝27＋33＋92－2×33×33＋9×－12＝92＋62(km)．由正弦定理得sin∠CAD＝CD·sin∠ACDAD＝33＋9×3292＋62＝22.∴∠CAD＝45°，于是AD的方位角为50°＋30°＋45°＝125°，所以，从A到D的方位角是125°，距离为92＋62km.点评：解斜三角形应用题的一般步骤是：(1)准确理解题意，分清已知与所求；(2)依题意画出示意图；(3)分析与问题有关的三角形；(4)运用正、余弦定理，有序地解相关的三角形，逐步求解问题的答案；(5)注意方程思想的运用；(6)要综合运用立体几何知识与平面几何知识．点评：解斜三角形应用题的一般步骤是：(1)准确理解题意，分清已知与所求；(2)依题意画出示意图；(3)分析与问题有关的三角形；(4)运用正、余弦定理，有序地解相关的三角形，逐步求解问题的答案；(5)注意方程思想的运用；(6)要综合运用立体几何知识与平面几何知识．解析：如图所示，注意到最快追上走私船且两船所用时间相等，若在D处相遇，则可先在△ABC中求出BC，再在△BCD中求∠BCD.设缉私船用th在D处追上走私船，则有CD＝103t，BD＝10t.在△ABC中，∵AB＝3－1，AC＝2，∠BAC＝120°，∴由余弦定理，得BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos∠BAC＝(3－1)2＋22－2×(3－1)×2×cos120°＝6，∴BC＝6，∵∠CBD＝90°＋30°＝120°，在△BCD中，由正弦定理，得sin∠BCD＝BD·sin∠CBDCD＝10tsin120°103t＝12，∴∠BCD＝30°.即缉私船沿北偏东60°方向能最快追上走私船.题型四平面几何中的综合应用例4如图所示，已知半圆的直径AB＝2，点C在AB的延长线上，BC＝1，点P为半圆上的一个动点，以DC为边作等边△PCD，且点D与圆心O分别在PC的两侧，求四边形OPDC面积的最大值．解析：设∠POB＝θ，四边形面积为y，则在△POC中，由余弦定理得PC2＝OP2＋OC2－2OP·OCcosθ＝5－4cosθ.∴y＝S△OPC＋S△PCD＝12×1×2sinθ＋34(5－4cosθ)＝2sinθ－π3＋534.∴当θ－π3＝π2，即θ＝5π6时，ymax＝2＋534.所以四边形OPDC面积的最大值为2＋534.点评：平面几何图形中研究或求与角有关的长度、角度、面积的最值、优化设计等问题，这些问题通常是转化到三角形中，利用正、余弦定理通过运算的方法加以解决．在解决某些具体问题时，常先引入变量，如边长、角度等，然后把要解三角形的边或角用所设变量表示出来，再利用正、余弦定理列出方程，解之．若研究最值，常使用函数思想．变式探究4如图所示，扇形AOB，圆心角AOB等于60°，半径为2，在弧AB上有一动点P，过P引平行于OB的直线和OA交于点C，设∠AOP＝θ，求△POC面积的最大值及此时θ的值．解析：∵CP∥OB，∴∠CPO＝∠POB＝60°－θ，∠OCP＝120°.在△POC中，由正弦定理得OPsin∠PCO＝CPsinθ，∴2sin120°＝CPsinθ，∴CP＝43sinθ.又OCsin60°－θ＝2sin120°，∴OC＝43sin(60°－θ)．因此△POC的面积为S(θ)＝12CP·OCsin120°＝12·43sinθ·43sin(60°－θ)×32＝43sinθsin(60°－θ)＝43sinθ32cosθ－12sinθ＝2sinθ·cosθ－23sin2θ＝sin2θ＋33cos2θ－33＝233sin(2θ＋30°)－33∴θ＝30°时，S(θ)取得最大值为33.归纳总结•方法与技巧1．合理应用仰角、俯角、方位角、方向角等概念建立三角函数模型．2．把生活中的问题化为二维空间解决，即在一个平面上利用三角函数求值．3．合理运用换元法、代入法解决实际问题．•失误与防范在解实际问题时，应正确理解如下角的含义．1．方向角——从指定方向线到目标方向线的水平角．2．方位角——从正北方向线顺时针到目标方向线的水平角．3．坡度——坡面与水平面的二面角的度数．4．仰角与俯角——与目标视线在同一铅直平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方时称为仰角，目标视线在水平视线下方时称为俯角.新题速递1．(2013·潍坊调研)如图，为测得河对岸塔AB的高，先在河岸上选一点C，使C在塔底B的正东方向上，测得点A的仰角为60°，再由点C沿北偏东15°方向走10米到位置D，测得∠BDC＝45°，