2014届高三数学一轮复习专讲专练：2.10函数模型及其应用

1．三种增长型函数模型的图像与性质函数y＝ax(a1)y＝logax(a1)y＝xn(n0)在(0，＋∞)上的增减性增长速度相对平稳图像的变化随x增大逐渐表现为与平行随x增大逐渐表现为与平行随n值变化而不同增函数增函数增函数越来越快越来越慢y轴x轴2．三种增长型函数之间增长速度的比较(1)指数函数y＝ax(a1)与幂函数y＝xn(n0)在区间(0，＋∞)，无论n比a大多少，尽管在x的一定范围内ax会小于xn，但由于ax的增长xn的增长，因而总存在一个x0，当xx0时有.快于axxn(2)对数函数y＝logax(a1)与幂函数y＝xn(n0)对数函数y＝logax(a1)的增长速度，不论a与n值的大小如何总会y＝xn的增长速度，因而在定义域内总存在一个实数x0，使xx0时有.由(1)(2)可以看出三种增长型的函数尽管均为增函数，但它们的增长速度不同，且不在同一个档次上，因此在(0，＋∞)上，总会存在一个x0，使xx0时有.慢于logaxxnaxxnlogax.1．(教材习题改编)f(x)＝x2，g(x)＝2x，h(x)＝log2x，当x∈(4，＋∞)时，对三个函数的增长速度进行比较，下列选项中正确的是()A．f(x)g(x)h(x)B．g(x)f(x)h(x)C．g(x)h(x)f(x)D．f(x)h(x)g(x)[小题能否全取]答案：B解析：由图象知，当x∈(4，＋∞)时，增长速度由大到小依次为g(x)f(x)h(x)．2．在某种新型材料的研制中，实验人员获得了下列一组实验数据．现准备用下列四个函数中的一个近似地表示这些数据的规律，其中最接近的一个是()x1.953.003.945.106.12y0.971.591.982.352.61A.y＝2xB．y＝log2xC．y＝12(x2－1)D．y＝2.61cosx解析：通过检验可知，y＝log2x较为接近．答案：B3．一根蜡烛长20cm，点燃后每小时燃烧5cm，燃烧时剩下的高度h(cm)与燃烧时间t(h)的函数关系用图象表示为图中的()解析：由题意h＝20－5t,0≤t≤4.结合图象知应选B.答案：B4．一种产品的成本原为a元，在今后的m年内，计划使成本平均每年比上一年降低p%，成本y是经过年数x(0x≤m)的函数，其关系式y＝f(x)可写成_______．解析：依题意有y＝a(1－p%)x(0x≤m)．答案：y＝a(1－p%)x(0x≤m)5.有一批材料可以建成200m的围墙，如果用此材料在一边靠墙的地方围成一块矩形场地，中间用同样的材料隔成三个面积相等的矩形(如图所示)，则围成的矩形最大面积为______________．(围墙厚度不计)解析：设矩形的长为xm，宽为200－x4m，则S＝x·200－x4＝14(－x2＋200x)．当x＝100时，Smax＝2500m2.答案：2500m21.解答函数应用题的一般步骤(1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型；(2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型；(3)求模：求解数学模型，得出数学结论；(4)还原：将数学问题还原为实际问题的意义．以上过程用框图表示如下：2．解函数应用题常见的错误(1)不会将实际问题抽象转化为函数模型或转化不全面；(2)在求解过程中忽视实际问题对变量参数的限制条件．一次函数与二次函数模型[例1]为了保护环境，发展低碳经济，某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，采用了新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品．已知该单位每月的处理量最少为400吨，最多为600吨，月处理成本y(元)与月处理量x(吨)之间的函数关系可近似地表示为：y＝12x2－200x＋80000，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为100元．该单位每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则国家至少需要补贴多少元才能使该单位不亏损？[自主解答]设该单位每月获利为S，则S＝100x－y＝100x－12x2－200x＋80000＝－12x2＋300x－80000＝－12(x－300)2－35000，因为400≤x≤600，所以当x＝400时，S有最大值－40000.故该单位不获利，需要国家每月至少补贴40000元，才能不亏损．1．在实际问题中，有很多问题的两变量之间的关系是一次函数模型，其增长特点是直线上升(自变量的系数大于0)或直线下降(自变量的系数小于0)，构建一次函数模型，利用一次函数的图像与单调性求解．2．有些问题的两变量之间是二次函数关系，如面积问题、利润问题、产量问题等．构建二次函数模型，利用二次函数图像与单调性解决．3．在解决二次函数的应用问题时，一定要注意定义域．1．一根均匀的轻质弹簧，已知600N的范围内，其长度y(m)与所受拉力x(N)成一次函数关系，现测得当它在100N的拉力作用下，长度为0.55m；在300N的拉力作用下长度为0.65m，那么弹簧在不受拉力作用时，其自然长度是多少？当在700N的拉力下，弹簧会出现什么情况？解：设y＝kx＋b(k、b为常数)，由题意知当x＝100时，y＝0.55，即0.55＝100k＋b；当x＝300时，y＝0.65，即0.65＝300k＋b.∴k＝0.0005，b＝0.5.∴y＝0.0005x＋0.5(0≤x≤600)．当x＝0时，y＝0.5.∴当弹簧在不受拉力作用时，其自然长度是0.5m，而当受力为700N时，此弹簧已受破坏.分段函数模型[例2](2012·孝感统考)某公司生产一种产品，每年需投入固定成本0.5万元，此外每生产100件这样的产品，还需增加投入0.25万元，经市场调查知这种产品年需求量为500件，产品销售数量为t件时，销售所得的收入为0.05t－120000t2万元．(1)该公司这种产品的年生产量为x件，生产并销售这种产品所得到的利润关于当年产量x的函数为f(x)，求f(x)；(2)当该公司的年产量为多少件时，当年所获得的利润最大？[自主解答](1)当0x≤500时，f(x)＝0.05x－120000x2－0.25×x100＋0.5＝－x220000＋19400x－12，当x500时，f(x)＝0.05×500－120000×5002－0.25×x100＋0.5＝12－1400x，故f(x)＝－120000x2＋19400x－12，0x≤500，12－1400x，x500.(2)当0x≤500时，f(x)＝－x220000＋19400x－12＝－120000(x－475)2＋34532，故当x＝475时，f(x)max＝34532.当x500时，f(x)＝12－1400x12－54＝3443234532，故当该公司的年产量为475件时，当年获得的利润最大．1．很多实际问题中变量间的关系，不能用同一个关系式给出，而是由几个不同的关系式构成分段函数，如出租车票价与路程之间的关系，就是分段函数．2．分段函数主要是每一段自变量变化所遵循的规律不同，可以先将其当作几个问题，将各段的变化规律分别找出来，再将其合到一起，要注意各段变量的范围，特别是端点值．2．某市居民自来水收费标准如下：每户每月用水不超过4吨时，每吨为1.80元，当用水超过4吨时，超过部分每吨3.00元．某月甲、乙两户共交水费y元，已知甲、乙两户该月用水量分别为5x,3x(吨)．(1)求y关于x的函数；(2)若甲、乙两户该月共交水费26.4元，分别求出甲、乙两户该月的用水量和水费．解：(1)当甲的用水量不超过4吨时，即5x≤4，乙的用水量也不超过4吨，y＝1.8(5x＋3x)＝14.4x；当甲的用水量超过4吨，乙的用水量不超过4吨，即3x≤4，且5x4时，y＝4×1.8＋3x×1.8＋3(5x－4)＝20.4x－4.8.当乙的用水量超过4吨，即3x4时，y＝2×4×1.8＋3×[(3x－4)＋(5x－4)]＝24x－9.6.所以y＝14.4x，0≤x≤45，20.4x－4.8，45x≤43，24x－9.6，x43.(2)由于y＝f(x)在各段区间上均单调递增，当x∈0，45时，y≤f4526.4；当x∈45，43时，y≤f4326.4；当x∈43，＋∞时，令24x－9.6＝26.4，解得x＝1.5.所以甲户用水量为5x＝5×1.5＝7.5吨，付费S1＝4×1.8＋3.5×3＝17.70(元)；乙户用水量为3x＝4.5吨，付费S2＝4×1.8＋0.5×3＝8.70(元)．指数函数模型[例3](2012·广州模拟)一片森林原来面积为a，计划每年砍伐一些树，且每年砍伐面积的百分比相等，当砍伐到面积的一半时，所用时间是10年，为保护生态环境，森林面积至少要保留原面积的14，已知到今年为止，森林剩余面积为原来的22.(1)求每年砍伐面积的百分比；(2)到今年为止，该森林已砍伐了多少年？(3)今后最多还能砍伐多少年？[自主解答](1)设每年降低的百分比为x(0x1)．则a(1－x)10＝12a，即(1－x)10＝12，解得x＝1－12110.(2)设经过m年剩余面积为原来的22，则a(1－x)m＝22a，即12m10＝1212，m10＝12，解得m＝5.故到今年为止，已砍伐了5年．(3)设从今年开始，以后砍了n年，则n年后剩余面积为22a(1－x)n.令22a(1－x)n≥14a，即(1－x)n≥24，1210n≥1232，n10≤32，解得n≤15.故今后最多还能砍伐15年．增长率问题，在实际问题中常可以用指数函数模型y＝N(1＋p)x(其中N是基础数，p为增长率，x为时间)和幂函数模型y＝a(1＋x)n(其中a为基础数，x为增长率，n为时间)的形式．解题时，往往用到对数运算和开方运算，要注意用已知给定的值对应求解．3．(2012·梅州模拟)某电器公司生产A种型号的家庭电脑，2011年平均每台电脑生产成本为5000元，并以纯利润20%标定出厂价.2012年开始，公司更新设备，加强管理，逐步推行股份制，从而使生产成本逐年降低．预计2015年每台A种型号的家庭电脑的出厂价仅是2011年的出厂价的80%，实现了纯利润为50%的高效益．(1)求2015年每台电脑的生产成本；(2)以2011年的生产成本为基数，求2011年至2015年生产成本平均每年降低的百分数．(精确到0.01，以下数据可供参考：5＝2.236，6＝2.449)解：(1)设2015年每台电脑的生产成本为x元，依题意，得x(1＋50%)＝5000×(1＋20%)×80%，解得x＝3200(元)．(2)设2011年至2015年间每年平均生产成本降低的百分率为y，则依题意，得5000(1－y)4＝3200，解得y1＝1－255，y2＝1＋255(舍去)，则y＝1－255≈0.11＝11%.所以2015年每台电脑的生产成本为3200元，2011年至2015年生产成本平均每年降低11%.对函数实际应用问题的考查，更多地以社会实际生活为背景，设问新颖、灵活；题型主要以解答题为主，难度中等偏高，常与导数、最值交汇，主要考查建模能力，同时考查分析问题、解决问题的能力．“大题规范解答——得全分”系列之(一)函数实际应用题答题模板[典例](2011山东高考·满分12分)某企业拟建造如图所示的容器(不计厚度，长度单位：米)，其中容器的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，按照设计要求容器的容积为80π3立方米，且l≥2r.假设该容器的建造费用仅与其表面积有关．已知圆柱形部分每平方米建造费[动漫演示更形象，见配套光盘]用为3千元，半球形部分每平方米建造费用为c(c3)千元．设该容器的建造费用为y千元．(1)写出y关于r的函数表达式，并求该函数的定义域；(2)求该容器的建造费用最小时的r.[