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当前位置:首页 > 中学教育 > 高中教育 > 2014届高三数学一轮复习专讲专练:2.10函数模型及其应用
1.三种增长型函数模型的图像与性质函数y=ax(a1)y=logax(a1)y=xn(n0)在(0,+∞)上的增减性增长速度相对平稳图像的变化随x增大逐渐表现为与平行随x增大逐渐表现为与平行随n值变化而不同增函数增函数增函数越来越快越来越慢y轴x轴2.三种增长型函数之间增长速度的比较(1)指数函数y=ax(a1)与幂函数y=xn(n0)在区间(0,+∞),无论n比a大多少,尽管在x的一定范围内ax会小于xn,但由于ax的增长xn的增长,因而总存在一个x0,当xx0时有.快于axxn(2)对数函数y=logax(a1)与幂函数y=xn(n0)对数函数y=logax(a1)的增长速度,不论a与n值的大小如何总会y=xn的增长速度,因而在定义域内总存在一个实数x0,使xx0时有.由(1)(2)可以看出三种增长型的函数尽管均为增函数,但它们的增长速度不同,且不在同一个档次上,因此在(0,+∞)上,总会存在一个x0,使xx0时有.慢于logaxxnaxxnlogax.1.(教材习题改编)f(x)=x2,g(x)=2x,h(x)=log2x,当x∈(4,+∞)时,对三个函数的增长速度进行比较,下列选项中正确的是()A.f(x)g(x)h(x)B.g(x)f(x)h(x)C.g(x)h(x)f(x)D.f(x)h(x)g(x)[小题能否全取]答案:B解析:由图象知,当x∈(4,+∞)时,增长速度由大到小依次为g(x)f(x)h(x).2.在某种新型材料的研制中,实验人员获得了下列一组实验数据.现准备用下列四个函数中的一个近似地表示这些数据的规律,其中最接近的一个是()x1.953.003.945.106.12y0.971.591.982.352.61A.y=2xB.y=log2xC.y=12(x2-1)D.y=2.61cosx解析:通过检验可知,y=log2x较为接近.答案:B3.一根蜡烛长20cm,点燃后每小时燃烧5cm,燃烧时剩下的高度h(cm)与燃烧时间t(h)的函数关系用图象表示为图中的()解析:由题意h=20-5t,0≤t≤4.结合图象知应选B.答案:B4.一种产品的成本原为a元,在今后的m年内,计划使成本平均每年比上一年降低p%,成本y是经过年数x(0x≤m)的函数,其关系式y=f(x)可写成_______.解析:依题意有y=a(1-p%)x(0x≤m).答案:y=a(1-p%)x(0x≤m)5.有一批材料可以建成200m的围墙,如果用此材料在一边靠墙的地方围成一块矩形场地,中间用同样的材料隔成三个面积相等的矩形(如图所示),则围成的矩形最大面积为______________.(围墙厚度不计)解析:设矩形的长为xm,宽为200-x4m,则S=x·200-x4=14(-x2+200x).当x=100时,Smax=2500m2.答案:2500m21.解答函数应用题的一般步骤(1)审题:弄清题意,分清条件和结论,理顺数量关系,初步选择数学模型;(2)建模:将自然语言转化为数学语言,将文字语言转化为符号语言,利用数学知识,建立相应的数学模型;(3)求模:求解数学模型,得出数学结论;(4)还原:将数学问题还原为实际问题的意义.以上过程用框图表示如下:2.解函数应用题常见的错误(1)不会将实际问题抽象转化为函数模型或转化不全面;(2)在求解过程中忽视实际问题对变量参数的限制条件.一次函数与二次函数模型[例1]为了保护环境,发展低碳经济,某单位在国家科研部门的支持下,进行技术攻关,采用了新工艺,把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品.已知该单位每月的处理量最少为400吨,最多为600吨,月处理成本y(元)与月处理量x(吨)之间的函数关系可近似地表示为:y=12x2-200x+80000,且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为100元.该单位每月能否获利?如果获利,求出最大利润;如果不获利,则国家至少需要补贴多少元才能使该单位不亏损?[自主解答]设该单位每月获利为S,则S=100x-y=100x-12x2-200x+80000=-12x2+300x-80000=-12(x-300)2-35000,因为400≤x≤600,所以当x=400时,S有最大值-40000.故该单位不获利,需要国家每月至少补贴40000元,才能不亏损.1.在实际问题中,有很多问题的两变量之间的关系是一次函数模型,其增长特点是直线上升(自变量的系数大于0)或直线下降(自变量的系数小于0),构建一次函数模型,利用一次函数的图像与单调性求解.2.有些问题的两变量之间是二次函数关系,如面积问题、利润问题、产量问题等.构建二次函数模型,利用二次函数图像与单调性解决.3.在解决二次函数的应用问题时,一定要注意定义域.1.一根均匀的轻质弹簧,已知600N的范围内,其长度y(m)与所受拉力x(N)成一次函数关系,现测得当它在100N的拉力作用下,长度为0.55m;在300N的拉力作用下长度为0.65m,那么弹簧在不受拉力作用时,其自然长度是多少?当在700N的拉力下,弹簧会出现什么情况?解:设y=kx+b(k、b为常数),由题意知当x=100时,y=0.55,即0.55=100k+b;当x=300时,y=0.65,即0.65=300k+b.∴k=0.0005,b=0.5.∴y=0.0005x+0.5(0≤x≤600).当x=0时,y=0.5.∴当弹簧在不受拉力作用时,其自然长度是0.5m,而当受力为700N时,此弹簧已受破坏.分段函数模型[例2](2012·孝感统考)某公司生产一种产品,每年需投入固定成本0.5万元,此外每生产100件这样的产品,还需增加投入0.25万元,经市场调查知这种产品年需求量为500件,产品销售数量为t件时,销售所得的收入为0.05t-120000t2万元.(1)该公司这种产品的年生产量为x件,生产并销售这种产品所得到的利润关于当年产量x的函数为f(x),求f(x);(2)当该公司的年产量为多少件时,当年所获得的利润最大?[自主解答](1)当0x≤500时,f(x)=0.05x-120000x2-0.25×x100+0.5=-x220000+19400x-12,当x500时,f(x)=0.05×500-120000×5002-0.25×x100+0.5=12-1400x,故f(x)=-120000x2+19400x-12,0x≤500,12-1400x,x500.(2)当0x≤500时,f(x)=-x220000+19400x-12=-120000(x-475)2+34532,故当x=475时,f(x)max=34532.当x500时,f(x)=12-1400x12-54=3443234532,故当该公司的年产量为475件时,当年获得的利润最大.1.很多实际问题中变量间的关系,不能用同一个关系式给出,而是由几个不同的关系式构成分段函数,如出租车票价与路程之间的关系,就是分段函数.2.分段函数主要是每一段自变量变化所遵循的规律不同,可以先将其当作几个问题,将各段的变化规律分别找出来,再将其合到一起,要注意各段变量的范围,特别是端点值.2.某市居民自来水收费标准如下:每户每月用水不超过4吨时,每吨为1.80元,当用水超过4吨时,超过部分每吨3.00元.某月甲、乙两户共交水费y元,已知甲、乙两户该月用水量分别为5x,3x(吨).(1)求y关于x的函数;(2)若甲、乙两户该月共交水费26.4元,分别求出甲、乙两户该月的用水量和水费.解:(1)当甲的用水量不超过4吨时,即5x≤4,乙的用水量也不超过4吨,y=1.8(5x+3x)=14.4x;当甲的用水量超过4吨,乙的用水量不超过4吨,即3x≤4,且5x4时,y=4×1.8+3x×1.8+3(5x-4)=20.4x-4.8.当乙的用水量超过4吨,即3x4时,y=2×4×1.8+3×[(3x-4)+(5x-4)]=24x-9.6.所以y=14.4x,0≤x≤45,20.4x-4.8,45x≤43,24x-9.6,x43.(2)由于y=f(x)在各段区间上均单调递增,当x∈0,45时,y≤f4526.4;当x∈45,43时,y≤f4326.4;当x∈43,+∞时,令24x-9.6=26.4,解得x=1.5.所以甲户用水量为5x=5×1.5=7.5吨,付费S1=4×1.8+3.5×3=17.70(元);乙户用水量为3x=4.5吨,付费S2=4×1.8+0.5×3=8.70(元).指数函数模型[例3](2012·广州模拟)一片森林原来面积为a,计划每年砍伐一些树,且每年砍伐面积的百分比相等,当砍伐到面积的一半时,所用时间是10年,为保护生态环境,森林面积至少要保留原面积的14,已知到今年为止,森林剩余面积为原来的22.(1)求每年砍伐面积的百分比;(2)到今年为止,该森林已砍伐了多少年?(3)今后最多还能砍伐多少年?[自主解答](1)设每年降低的百分比为x(0x1).则a(1-x)10=12a,即(1-x)10=12,解得x=1-12110.(2)设经过m年剩余面积为原来的22,则a(1-x)m=22a,即12m10=1212,m10=12,解得m=5.故到今年为止,已砍伐了5年.(3)设从今年开始,以后砍了n年,则n年后剩余面积为22a(1-x)n.令22a(1-x)n≥14a,即(1-x)n≥24,1210n≥1232,n10≤32,解得n≤15.故今后最多还能砍伐15年.增长率问题,在实际问题中常可以用指数函数模型y=N(1+p)x(其中N是基础数,p为增长率,x为时间)和幂函数模型y=a(1+x)n(其中a为基础数,x为增长率,n为时间)的形式.解题时,往往用到对数运算和开方运算,要注意用已知给定的值对应求解.3.(2012·梅州模拟)某电器公司生产A种型号的家庭电脑,2011年平均每台电脑生产成本为5000元,并以纯利润20%标定出厂价.2012年开始,公司更新设备,加强管理,逐步推行股份制,从而使生产成本逐年降低.预计2015年每台A种型号的家庭电脑的出厂价仅是2011年的出厂价的80%,实现了纯利润为50%的高效益.(1)求2015年每台电脑的生产成本;(2)以2011年的生产成本为基数,求2011年至2015年生产成本平均每年降低的百分数.(精确到0.01,以下数据可供参考:5=2.236,6=2.449)解:(1)设2015年每台电脑的生产成本为x元,依题意,得x(1+50%)=5000×(1+20%)×80%,解得x=3200(元).(2)设2011年至2015年间每年平均生产成本降低的百分率为y,则依题意,得5000(1-y)4=3200,解得y1=1-255,y2=1+255(舍去),则y=1-255≈0.11=11%.所以2015年每台电脑的生产成本为3200元,2011年至2015年生产成本平均每年降低11%.对函数实际应用问题的考查,更多地以社会实际生活为背景,设问新颖、灵活;题型主要以解答题为主,难度中等偏高,常与导数、最值交汇,主要考查建模能力,同时考查分析问题、解决问题的能力.“大题规范解答——得全分”系列之(一)函数实际应用题答题模板[典例](2011山东高考·满分12分)某企业拟建造如图所示的容器(不计厚度,长度单位:米),其中容器的中间为圆柱形,左右两端均为半球形,按照设计要求容器的容积为80π3立方米,且l≥2r.假设该容器的建造费用仅与其表面积有关.已知圆柱形部分每平方米建造费[动漫演示更形象,见配套光盘]用为3千元,半球形部分每平方米建造费用为c(c3)千元.设该容器的建造费用为y千元.(1)写出y关于r的函数表达式,并求该函数的定义域;(2)求该容器的建造费用最小时的r.[
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