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可逆矩阵及求逆矩阵的方法时间:2015-11-02作者:shelly论文导读:引理1可逆矩阵的简化行阶梯形一定是单位矩阵。换句话说,可逆矩阵可以经过一系列初等变换化成单位矩阵。关键词:伴随矩阵,初等变换,逆矩阵方法一伴随矩阵法定义1设=是级方阵,用表示的元的代数余子式,矩阵称为的伴随矩阵,记作若0,并且当可逆时有这种方法在理论上很有用,在实际计算中常用于2级或3级矩阵。例:用伴随矩阵法求解:因为,所以可逆,而,,=方法二二阶矩阵的公式求逆法设=(其中,即0),则==这个公式的推导思想是从这个重要结论出发,构造一个矩阵,去左乘使其等于单位矩阵,即若,那么。论文检测。论文检测。这种方法只适用于求二阶矩阵的逆矩阵,我们称为二阶矩阵的公式求逆法。方法三初等变换法这是一种最常用的一种方法,为了看出如何用初等变换法求逆矩阵,先证一个引理;引理1可逆矩阵的简化行阶梯形一定是单位矩阵。换句话说,可逆矩阵可以经过一系列初等变换化成单位矩阵。即,同理有例:用初等变换法求所以=方法四利用解线性方程组来求逆矩阵若级矩阵可逆,则,于是的第列是线性方程组的的解,因此我们可以去解线性方程组,其中然后把所得的解的公共式中分别用1,0,…,0;0,1,…,0;…;0,…,0,变换法求逆矩阵稍微简单些。方法五分块求逆法当一个可逆矩阵的级数较大时,即使用初等变换法求它的逆矩阵仍然计算量较大,如果把该矩阵分块,再对分块矩阵求逆矩阵,则可减少计算量。用分块求逆法解题的具体步骤为:(1)根据所给矩阵的特点分块为=(2)选择适当的分块求逆公式常用的分块求逆公式有:设均可逆,则1:2:3:4:5:6:7:8:例:设四阶方阵试求解:设则是分块矩阵,易得故方法六利用哈密尔顿—凯莱定理求逆矩阵哈密尔顿—凯莱定理:设是数域P上一个级矩阵,f=是的特征多项式,则f()=设f()=其中n=当可逆时,0,即n0由=0可得例设=试用哈密尔顿—凯莱定理求解:f=====方法七利用最小多项式求逆矩阵定义:以n阶矩阵为根的多项式中,其中次数最低的首项为1的以为根的多项式,称为的最小多项式。引理2设是矩阵的最小多项式,那么以为根的充分必要条件是整除。由上述引理和定义及哈密尔顿—凯莱定理知:非退化矩阵的最小多项式的常数项非零,即设的最小多项式为,则有常数项。又由于,则得故=下面举例说明此法的应用,但此法并不常用。论文检测。例.求=的逆矩阵。解:因为的特征多项式为:,所以的最小多项式为的因式,显然,而,因此的最小多项式为=,即,所以由=得=【参考文献】[1]张新发.初等变换的关系与可逆矩阵的分解[J].大学数学,2003,19(2):82-85.[2]钱吉林.高等代数题解精粹(第二版)[M].大连:大连理工大学出版社,2000,137[3]骈俊生.分块矩阵的初等变换及应用[J].阜阳师范学院学报(自然科学版),2004,(3):44-49.[4]田代军.线性代数题解指南[M].天津:天津大学出版社,2004,79.[5]张海涛.逆矩阵的求法[J].大同职业技术学院学报,2004,(2):36-4.
本文标题:可逆矩阵及求逆矩阵的方法
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