重积分(高数名师课件)超经典超全

第十章一元函数积分学多元函数积分学重积分曲线积分曲面积分重积分三、二重积分的性质第一节一、问题的提出二、二重积分的概念四、小结思考题机动目录上页下页返回结束二重积分的概念与性质柱体体积=底面积×高特点：平顶.柱体体积=？特点：曲顶.),(yxfzD１．曲顶柱体的体积一、问题的提出播放求曲顶柱体的体积采用“分割、求和、取极限”的方法，如下动画演示．解法:类似定积分解决问题的思想:1.曲顶柱体的体积给定曲顶柱体:底：xoy面上的闭区域D顶:连续曲面侧面：以D的边界为准线,母线平行于z轴的柱面求其体积.“大化小,常代变,近似和,求极限”D机动目录上页下页返回结束D1)“大化小”用任意曲线网分D为n个区域n,,,21以它们为底把曲顶柱体分为n个2)“常代变”在每个3)“近似和”nkkkkf1),(),(kkf),,2,1(),(nkfVkkkk则中任取一点小曲顶柱体k),(kk机动目录上页下页返回结束4)“取极限”kk,PPPP2121max)(令)(max1knknkkkkfV10),(lim),(kkfk),(kk机动目录上页下页返回结束2.平面薄片的质量有一个平面薄片,在xoy平面上占有区域D,计算该薄片的质量M.度为设D的面积为,则M若非常数,仍可用其面密“大化小,常代变,近似和,求极限”解决.1)“大化小”用任意曲线网分D为n个小区域,,,,21n相应把薄片也分为小区域.D机动目录上页下页返回结束yx2)“常代变”中任取一点k在每个),,(kk3)“近似和”nkkkk1),(4)“取极限”)(max1knk令nkkkkM10),(limk),(kk则第k小块的质量机动目录上页下页返回结束yx两个问题的共性：(1)解决问题的步骤相同(2)所求量的结构式相同“大化小,常代变,近似和,取极限”nkkkkfV10),(limnkkkkM10),(lim曲顶柱体体积:平面薄片的质量:机动目录上页下页返回结束二、二重积分的概念定义:),(yxf设将区域D任意分成n个小区域任取一点若存在一个常数I,使可积,),(yxf则称),(yxfI为称在D上的二重积分.称为积分变量yx,积分和积分域被积函数积分表达式面积元素记作是定义在有界区域D上的有界函数,机动目录上页下页返回结束在直角坐标系下用平行于坐标轴的直线网来划分区域D，DDdxdyyxfdyxf),(),(dxdyd故二重积分可写为xyoD则面积元素为机动目录上页下页返回结束nkkkkfV10),(lim引例1中曲顶柱体体积:Dyxd),(引例2中平面薄板的质量:如果在D上可积,),(yxf也常,ddyx二重积分记作.dd),(Dyxyxf这时分区域D,因此面积元素可用平行坐标轴的直线来划记作机动目录上页下页返回结束Dyxfd),(nkkkkM10),(lim二重积分存在定理:若函数定理2.(证明略)定理1.在D上可积.限个点或有限个光滑曲线外都连续,积.在有界闭区域D上连续,则若有界函数在有界闭区域D上除去有例如,yxyxyxf22),(在D:10x10y上二重积分存在;yxyxf1),(但在D上y1xo1D二重积分不存在.机动目录上页下页返回结束(1)在二重积分的定义中，对闭区域的划分是任意的.(2)当),(yxf在闭区域上连续时，定义中和式的极限必存在，即二重积分必存在.对二重积分定义的说明：二重积分的几何意义当被积函数大于零时，二重积分是柱体的体积．当被积函数小于零时，二重积分是柱体的体积的负值．机动目录上页下页返回结束性质１当为常数时，k.),(),(DDdyxfkdyxkf性质２Ddyxgyxf)],(),([.),(),(DDdyxgdyxf（二重积分与定积分有类似的性质）三、二重积分的性质性质３对区域具有可加性.),(),(),(21DDDdyxfdyxfdyxf性质４若为D的面积，.1DDdd性质５若在D上),,(),(yxgyxf.),(),(DDdyxgdyxf特殊地.),(),(DDdyxfdyxf)(21DDD则有设M、m分别是),(yxf在闭区域D上的最大值和最小值，为D的面积，则性质６设函数),(yxf在闭区域D上连续，为D的面积，则在D上至少存在一点),(使得性质７（二重积分中值定理）DMdyxfm),(),(),(fdyxfD（二重积分估值不等式）例1不作计算，估计deIDyx)(22的值，其中D是椭圆闭区域：12222byax)0(ab.在D上2220ayx,,12220ayxeee由性质6知,222)(aDyxede解deDyx)(22ab.2aeab区域D的面积,ab例2估计DxyyxdI16222的值，其中D：20,10yx.区域面积2,,16)(1),(2yxyxf在D上),(yxf的最大值)0(41yxM),(yxf的最小值5143122m)2,1(yx故4252I.5.04.0I解例3判断122)ln(yxrdxdyyx的符号.当1yxr时,,1)(0222yxyx故0)ln(22yx;又当1yx时,,0)ln(22yx于是0)ln(122yxrdxdyyx.解例4比较积分Ddyx)ln(与Ddyx2)][ln(的大小,其中D是三角形闭区域,三顶点各为(1,0),(1,1),(2,0).解三角形斜边方程2yx在D内有eyx21,故1)ln(yx,于是2)ln()ln(yxyx,因此Ddyx)ln(Ddyx2)][ln(.oxy121D例5.比较下列积分的大小:d)(,d)(32DDyxyx其中2)1()2(:22yxD解:积分域D的边界为圆周1yx332)()(yxyx它与x轴交于点(1,0),而域D位,1yx从而d)(d)(32DDyxyx于直线的上方,故在D上1y2xo1D机动目录上页下页返回结束例6.估计下列积分之值10:coscos100ddI22yxDyxyxD解:D的面积为200)210(2由于yx22coscos1001积分性质5100200I102200即:1.96I210101010D10011021xyo机动目录上页下页返回结束xyoD注：设函数D位于x轴上方的部分为D1,),,(),()1(yxfyxf),,(),()2(yxfyxfd),(Dyxf0d),(Dyxf当区域关于y轴对称,函数关于变量x有奇偶性时,仍1D在D上d),(21Dyxf在闭区域上连续,域D关于x轴对称,则则有类似结果.在第一象限部分,则有Dyxyxdd)(1dd)(422Dyxyx0机动目录上页下页返回结束二重积分的定义二重积分的性质二重积分的几何意义（曲顶柱体的体积）（和式的极限）四、小结思考题将二重积分定义与定积分定义进行比较，找出它们的相同之处与不同之处.定积分与二重积分都表示某个和式的极限值，且此值只与被积函数及积分区域有关．不同的是定积分的积分区域为区间，被积函数为定义在区间上的一元函数，而二重积分的积分区域为平面区域，被积函数为定义在平面区域上的二元函数．思考题解答被积函数相同,且非负,思考与练习yxyxIyxdd12yxyxIdd11113解:321,,III由它们的积分域范围可知312III11xyo1.比较下列积分值的大小关系:机动目录上页下页返回结束2.设D是第二象限的一个有界闭域,且0y1,则,d31DxyIDxyId3213的大小顺序为().)(;)(;)(;)(213123312321IIIDIIICIIIBIIIA提示:因0y1,故;212yyyD故在D上有,03x又因323321xyxyxyyox1D机动目录上页下页返回结束3.证明:其中D为解:又D的面积为1,故结论成立.yox1D1机动目录上页下页返回结束一、填空题:1、当函数),(yxf在闭区域D上______________时,则其在D上的二重积分必定存在.2、二重积分Ddyxf),(的几何意义是___________________________________.3、若),(yxf在有界闭区域D上可积,且21DDD,当0),(yxf时,则1),(Ddyxf__________2),(Ddyxf;当0),(yxf时,则1),(Ddyxf__________2),(Ddyxf.练习题4、Ddyx)sin(22__________,其中是圆域2224yx的面积,16.二、利用二重积分定义证明:DDdyxfkdyxkf),(),(.(其中k为常数)三、比较下列积分的大小:1、DDdyxdyx322)()(与,其中D是由圆2)1()2(22yx所围成.2、dyxdyxD2)][ln()ln(与,其中D是矩形闭区域:10,53yx.四、估计积分DdyxI)94(22的值,其中D是圆形区域:422yx.一、1、连续；2、以),(yxfz为曲顶,以D为底的曲顶柱体体积的代数和；3、,；4、.三、1、DDdyxdyx32)()(；2、dyxdyxD2)][ln()ln(.四、100)94(3622dyx.练习题答案第二节二重积分的计算法(1)二、小结思考题一、利用直角坐标计算二重积分如果积分区域为：,bxa).()(21xyx其中函数、在区间上连续.)(1x)(2x],[ba一、利用直角坐标系计算二重积分［X－型］)(2xyabD)(1xyDba)(2xy)(1xy为曲顶柱体的体积．为底，以曲面的值等于以),(),(yxfzDdyxfD应用计算“平行截面面积为已知的立体求体积”的方法,a0xbzyx)(0xA),(yxfz)(1xy)(2xy.),()(),()()(21DbaxxbadyyxfdxdxxAdyxf得.),(),()()(21Ddcyydxyxfdydyxf如果积分区域为：,dyc).()(21yxy［Y－型］)(2yx)(1yxDcdcd)(2yx)(1yxDX型区域的特点：穿过区域且平行于y轴的直线与区域边界相交不多于两个交点.Y型区域的特点：穿过区域且平行于x轴的直线与区域边界相交不多于两个交点.若区域如图，3D2D1D在分割后的三个区域上分别使用积分公式.321DDDD则必须分割.xy211xyo221dy例1.计算,dDyxI其中D是直线y＝1,x＝2,及y＝x所围的闭区域.x解法1.将D看作X–型区域,则:DI21dxyyxd21dx2121321dxxx891221xyx解法2.将D看作Y–型区域,则:DIxyxd21dyyyx222121321d2yyy89y1x