2012高一数学 2.1.2 指数函数及其性质 第二课时课件 新人教A版必修1

第二课时指数函数性质的应用2．1.2指数函数及其性质学习目标1.理解指数函数的单调性与底数a的关系，能运用指数函数的单调性解决一些问题．2．理解指数函数的底数a对函数图象的影响．课堂互动讲练知能优化训练第二课时课前自主学案课前自主学案温故夯基1．指数函数y＝ax(a0且a≠1)，当______时为增函数；当________时为减函数．2．指数函数y＝ax(a0且a≠1)恒过定点______，其值域为___________3．函数f(x)＝ax的图象经过点(2,4)，则f(－3)的值是.18a10a1(0,1)(0，＋∞)．4．指数函数的图象变换：(1)将函数y＝2x的图象向左平移一个单位即可得到函数_________的图象．(2)函数y＝2x的图象与y＝2－x的图象关于____对称．(3)函数y＝2x的图象与y＝－2x的图象关于___对称．(4)函数y＝2x的图象与y＝－2－x的图象关于______对称．将上述函数y＝2x中的底数2变为a(a0，且a≠1)时，结论仍然成立．y＝2x＋1y轴x轴原点知新益能指数函数的性质(1)函数y＝2x在定义域(－∞，＋∞)上为增函数，若x＝f(t)在t∈[M，N]上为增函数，则函数y＝2f(t)在t∈[M，N]上为_______；若x＝f(t)在t∈[M，N]上为_______，则函数y＝2f(t)在t∈[M，N]上为_________上面的y＝2x改为y＝ax(a1)，结论仍然成立．增函数减函数减函数．上面的y＝2x改为y＝ax(0a1)，其余不变，相关结论为：若t∈[M，N]，f(t)为________，则y＝af(t)在t∈[M，N]上为_______；若t∈[M，N]，f(t)为______，则y＝af(t)在t∈[M，N]上为________(2)已知aman(a0，且a≠1)，如果mn，则a的取值范围是_______；如果mn，则a的取值范围是_________.增函数减函数减函数增函数．a＞10＜a＜1问题探究1．y＝af(x)与y＝f(x)的单调性有什么关系？提示：当a1时，y＝af(x)与y＝f(x)的单调性相同；当0a1时，y＝af(x)与y＝f(x)的单调性相反．2．如何比较(25)a与(25)b的大小？提示：可看作指数函数y＝(25)x，当x＝a与x＝b时，两个函数值的大小，因为y＝(25)x为减函数，当a＞b时，(25)a＜(25)b；当a＝b时，(25)a＝(25)b；当a＜b时，(25)a＞(25)b.课堂互动讲练考点突破有关指数型复合函数的单调性形如y＝af(x)的单调性，要根据y＝au，u＝f(x)这两者的单调性来确定．求下列函数的单调区间：(1)y＝a－x2＋3x＋2(a1)；(2)y＝2|x－1|.例1【思路点拨】求复合函数y＝af(x)的单调区间时，要先求出函数u＝f(x)的单调区间，再根据指数函数的性质求原函数的单调区间．【解】(1)设u＝－x2＋3x＋2＝－(x－32)2＋174，易知u在(－∞，32]上是增函数，在[32，＋∞)上是减函数．∴a1时，y＝au在(－∞，32]上是增函数，在[32，＋∞)上是减函数．(2)当x∈[1，＋∞)时，函数y＝2x－1.而t＝x－1为增函数，y＝2t为增函数．∴x∈[1，＋∞)，y＝2x－1为增函数；当x∈(－∞，1]时，函数y＝21－x.而t＝1－x为减函数，y＝2t为增函数．∴y＝21－x为减函数．故函数y＝2|x－1|在(－∞，1]上为减函数，在[1，＋∞)上为增函数．【名师点拨】本题是利用复合函数的单调性的判定方法，对此首先要知道复合函数的基本函数是什么，再确定每个函数的单调性．互动探究1对于本例的(1)中去掉a＞1，其单调区间怎样？解：讨论a＞1与0＜a＜1的情况：①当a＞1时，由本例(1)可知，在(－∞，32]上是增函数，在[32，＋∞)上是减函数．②当0＜a＜1时，设u＝－x2＋3x＋2＝－(x－32)2＋174，u在(－∞，32]上为增函数，y＝au为减函数，∴x∈(－∞，32]时，y＝a－x2＋3x＋2为减函数．u在[32，＋∞)上为减函数，y＝au为减函数，∴x∈[32，＋∞)时，y＝a－x2＋3x＋2为增函数．综上所述，当a＞1时，y＝a－x2＋3x＋2在(－∞，32]上为增函数，在[32，＋∞)上是减函数；当0＜a＜1时，y＝a－x2＋3x＋2在(－∞，32]上为减函数，在[32，＋∞)上为增函数．比较幂值大小的方法：(1)单调性法：比较同底数幂的大小，构造指数函数，利用指数函数的单调性比较大小．(2)中间量法：比较不同底数幂的大小，常借助于中间值“1”进行比较，判断指数幂和“1”的大小．利用指数函数单调性比较大小比较下列各组数的大小．(1)(34)－1.8与(34)－2；(2)0.6－2与(43)－23；(3)(13)0.3与3－0.2.例2【思路点拨】(1)直接利用函数y＝(34)x的单调性进行比较；(2)中引入中间数；(3)化为同底后进行比较．【解】(1)∵0＜34＜1，∴y＝(34)x在定义域R内是减函数．又∵－1.8＞－2，∴(34)－1.8＜(34)－2.(2)∵0.6－2＞0.60＝1，(43)－23＜(43)0＝1，∴0.6－2＞(43)－23.(3)∵(13)0.3＝3－0.3，－0.3＜－0.2，∴3－0.3＜3－0.2，∴(13)0.3＜3－0.2.【名师点拨】在进行数的大小比较时，①若底数相同，则可根据指数函数的图象及性质得出结果；②若底数不同，先变同底，若不能变为同底，通过插入中间量进行转化比较．自我挑战2把下列四个数：(34)－1.8、(34)－2、0.6－2、(43)－23由小到大排列．解：由例2可知(34)－1.8＜(34)－2；0.6－2＞(43)－23，而(43)－23＝(34)23，23＞－1.8，∴(34)23＜(34)－1.8.0．6－2＝(35)－2＝(53)2，(34)－2＝(43)2，根据y＝(53)x与y＝(43)x的关系，可得(53)2＞(43)2，即0.6－2＞(34)－2.综上可知，(43)－23＜(34)－1.8＜(34)－2＜0.6－2.对于形如af(x)＞ag(x)(a＞0且a≠1)的不等式，要根据单调性转化为一般的代数不等式．如果a－5x＞ax＋7(a＞0，且a≠1)，求x的取值范围．【思路点拨】讨论a的取值，确定y＝ax的单调性．简单的指数不等式例3【解】①当a＞1时，∵a－5x＞ax＋7，∴－5x＞x＋7，解得x＜－76.②当0＜a＜1时，∵a－5x＞ax＋7，∴－5x＜x＋7解得x＞－76.综上所述，x的取值范围是：当a＞1时，x＜－76；当0＜a＜1时，x＞－76.【名师点拨】以上不等式为同底型：af(x)＞ag(x)(a＞0，且a≠1)形式，解此种不等式的依据是指数函数的单调性，要养成判断底数取值范围的习惯，若不确定，就需进行讨论，即af(x)＞ag(x)⇔fx＞gx，a＞1.fx＜gx，0＜a＜1.互动探究3本例中，若将“a－5x＞ax＋7(a＞0，且a≠1)”改为“(a2＋a＋2)－5x＞(a2＋a＋2)x＋7”，如何求解？解：∵a2＋a＋2＝(a＋12)2＋74＞1，∴y＝(a2＋a＋2)x在R上是增函数．∴－5x＞x＋7，即x＜－76，∴x的取值范围是{x|x＜－76}．方法感悟方法技巧1．比较指数幂的大小，可以按如下步骤进行比较：(1)与“0”比较，区分出正负数；(2)与“1”比较，区分出比1大的数和比1小的数；(3)利用指数函数的性质比较大小；(4)寻找中间数，利用单调性比较大小；(5)用作差法或作商法比较大小．(如例2)2．解指数不等式问题，需注意三点：(1)形如ax＞ay的不等式，借助y＝ax的单调性求解，如果a的取值不确定，需分a＞1与0＜a＜1两种情况讨论；(2)形如ax＞b的不等式，注意将b化为以a为底的指数幂的形式，再借助y＝ax的单调性求解；(3)形如ax＞bx的形式，利用图象求解．(如例3)3．y＝f(u)，u＝g(x)，函数y＝f[g(x)]的单调性有如下特点：u＝g(x)y＝f(u)y＝f[g(x)]增增增增减减减增减减减增失误防范1．求函数y＝af(x)的单调区间时，要注意a的取值(a＞1,0＜a＜1)及定义域．2．利用图象解不等式ax＞bx时，要注意图象的交叉变化．