2013届本科数学圆锥曲线毕业论文资料

-1-2013届本科毕业论文圆锥曲线的性质及推广运用学院：数学科学院专业班级：信息与计算科学数单班学生姓名：华正东指导教师：王奇答辩日期：-2-目录1引言..............................................................42圆锥曲线的分类，性质及应用........................................52.1圆锥曲线的分类..............................................52.2圆锥曲线的性质..............................................52.3圆锥曲线在生活中的应用......................................93圆锥曲线性质的推广应用............................................93.1利用圆锥曲线性质求解圆锥曲线的最值..........................93.2直线与圆锥曲线的位置关系的实际应用.........................133.3数学问题在圆锥曲线中的推广.................................19参考文献：......................................................21致谢..............................................................21-3-圆锥曲线的性质及推广应用摘要：本文首先探究圆锥曲线在解析几何下的分类，总结了三类圆锥曲线的性质及应用，主要利用平面解析几何的知识及数形结合思想，对圆锥曲线的基本性质及推广性质进行了总结和证明，并将它在日常生活中的应用和在解题中的应用做了简要说明。关键词：圆锥曲线；性质；应用；推广；ThenatureandpromoteapplicationofconiccurvesAbstracts:ThearticlefirstexplorestheconiccurvesinthreedifferentclassificationsofAnalyticgeometry.Italsosummarizesnatureandapplicationofconiccurvesbyusingflatanalyticgeometryknowledgeandsymbolic-graphiccombination.Atlastitmakessomesummariesandverificationonthebasisofthenatureandpromoteapplicationofconicsections.Andputitinourdailylivesandinthesolutionofapplicationinabriefexplanation.Keywords:coniccurve;nature;application;promotion;-4-圆锥曲线的性质及推广应用引言圆锥曲线是高中和大学解析几何的重要内容，是用代数方法来研究几何问题，它处于代数与几何的交汇处。圆锥曲线的性质及推广是其中的热点问题之一。圆锥曲线包括椭圆、抛物线、双曲线和圆，通过直角坐标系，它们又与二次方程对应，所以，圆锥曲线又叫做二次曲线。圆锥曲线一直是几何学研究的重要课题之一，在我们的实际生活中也存在着许许多多的圆锥曲线。研究圆锥曲线的分类和性质，有利于开阔学生的解题思路，沟通知识间的横向联系，培养学生的直觉思维和逻辑推理能力，而且能较高观点的理解圆锥曲线的定义。通过圆锥曲线的定义，基本性质，数形结合及巧设参数等方法加以解决。不管是在宏观世界还是微观世界，圆锥曲线都和我们有着密切相关的联系。从宏观上来说我们生活的地球每时每刻都在环绕太阳的椭圆轨迹上运行，太阳系其他行星也如此，太阳则位于椭圆的一个焦点上。如果这些行星运行速度增大到某种程度，它们就会沿抛物线或双曲线运行。人类发射人造地球卫星或人造行星就要遵照这个原理。相对于一个物体，按万有引力定律受它吸引的另一物体的运动，不可能有任何其他的轨道了。因而，圆锥曲线在这种意义上讲，它构成了我们宇宙的基本形式。从微观上来说，任何物体都是由原子构成的，原子是原子核和其周围围绕的电子高速旋转形成，而电子的运动轨迹近似认为是圆周运动或椭圆运动，相对于每一个原子，又符合库伦定律。从每一个原子到分子，最后形成物体，也就是我们的现实的世界。本文通过探讨圆锥曲线在解析几何下的分类及其性质，重点研究圆锥曲线的性质及推广应用。-5-2圆锥曲线的分类，性质及应用2.1.圆锥曲线的分类在（平面）直角坐标系中，设二次曲线的方程为022233231322212211ayaxayaxyaxa记则我们称321,,III是二次曲线的不变量，1K为二次曲线的半不变量。由不变量给出二次曲线的分类：I椭圆型：02I⑴椭圆02I，031II⑵虚椭圆（无轨迹）02I，031II⑶一点02I，03III双曲型：02I⑷双曲线02I，03I⑸一对相交直线02I，03IIII抛物型：02I⑹抛物线02I，03I⑺一对平行直线02I，03I，01K⑻一对虚平行直线（无轨迹）02I，03I，01K⑼一对重合直线02I，03I，01K当二次方程的图形是一点或直线的情形时，称二次曲线是退化的。因此从上述二次曲线的分类可知，2I的符号判别了曲线的类型，而03I或03I就判别222112112aaaaI22111aaI3332312322211312113aaaaaaaaaI33232322331313111aaaaaaaaK-6-了曲线的非退化或退化的情形。椭圆，双曲线和抛物线这三种曲线统称为圆锥曲线。2.2.圆锥曲线的性质2.2.1圆锥曲线焦点位置的判断（首先化成标准方程，然后再判断）：（1）椭圆：由x2,y2分母的大小决定，焦点在12122mymx表示焦点在y轴上的椭圆，则m的取值范围是__（答：)23,1()1,(）（2）双曲线：由x2,y2项系数的正负决定，焦点在系数为正的坐标轴上；（3）抛物线：焦点在一次项的坐标轴上，一次项的符号决定开口方向。2.2.2椭圆（1）椭圆概念平面内与两个定点1F、2F的距离的和等于常数（大于21||FF）的点的轨迹叫做椭圆。这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫椭圆的焦距。若M为椭圆上任意一点，则有21||||2MFMFa。椭圆的标准方程为：22221xyab（0ab）（焦点在x轴上）或12222bxay（0ab）（焦点在y轴上）。注：①以上方程中,ab的大小0ab，其中222cab；②在22221xyab和22221yxab两个方程中都有0ab的条件，要分清焦点的位置，只要看2x和2y的分母的大小。例如椭圆221xymn（0m，0n，mn）当mn时表示焦点在x轴上的椭圆；当mn时表示焦点在y轴上的椭圆。（2）椭圆的性质①范围：由标准方程22221xyab知||xa，||yb，说明椭圆位于直线xa，yb所围成的矩形里；②对称性：在曲线方程里，若以y代替y方程不变，所以若点(,)xy在曲线上时，点(,)xy也在曲线上，所以曲线关于x轴对称，同理，以x代替x方程不变，则曲线关于y轴对称。若同时以x代替x，y代替y方程也不变，则曲线关于原点对称。所以，椭圆关于x轴、y轴和原点对称。这时，坐标轴是椭圆的对称轴，原点是对称中心，椭圆的对称中心叫椭圆的中心；③顶点：确定曲线在坐标系中的位置，常需要求出曲线与x轴、y轴的交点坐标。在椭圆的标准方程中，令0x，得yb，则1(0,)Bb，2(0,)Bb是椭圆与y轴的两个交点。同理令0y得xa，即1(,0)Aa，2(,0)Aa是椭圆与x轴的两个交点。所以，椭圆与坐标轴的交点有四个，这四个交点叫做椭圆的顶点。-7-同时，线段21AA、21BB分别叫做椭圆的长轴和短轴，它们的长分别为2a和2b，a和b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。由椭圆的对称性知：椭圆的短轴端点到焦点的距离为a；在22RtOBF中，2||OBb，2||OFc，22||BFa，且2222222||||||OFBFOB，即222cac；④离心率：椭圆的焦距与长轴的比cea叫椭圆的离心率。∵0ac，∴01e，且e越接近1，c就越接近a，从而b就越小，对应的椭圆越扁；反之，e越接近于0，c就越接近于0，从而b越接近于a，这时椭圆越接近于圆。当且仅当ab时，0c，两焦点重合，图形变为圆，方程为222xya。2．双曲线（1）双曲线的概念平面上与两点距离的差的绝对值为非零常数的动点轨迹是双曲线（12||||||2PFPFa）。注意：①（*）式中是差的绝对值，在1202||aFF条件下；12||||2PFPFa时为双曲线的一支（含2F的一支）；21||||2PFPFa时为双曲线的另一支（含1F的一支）；②当122||aFF时，12||||||2PFPFa表示两条射线；③当122||aFF时，12||||||2PFPFa不表示任何图形；④两定点12,FF叫做双曲线的焦点，12||FF叫做焦距。椭圆和双曲线比较：椭圆双曲线定义1212||||2(2||)PFPFaaFF1212||||||2(2||)PFPFaaFF方程22221xyab22221xyba22221xyab22221yxab焦点(,0)Fc(0,)Fc(,0)Fc(0,)Fc注意：如何有方程确定焦点的位置！（2）双曲线的性质①范围：从标准方程12222byax，看出曲线在坐标系中的范围：双曲线在两条直线ax的外侧。即22ax，ax即双曲线在两条直线ax的外侧。②对称性：双曲线12222byax关于每个坐标轴和原点都是对称的，这时，坐标轴是双曲线的对称轴，原点是双曲线12222byax的对称中心，双曲线的对称中心叫做双曲线的中心。③顶点：双曲线和对称轴的交点叫做双曲线的顶点。在双曲线12222byax的方程里，对称轴是,xy轴，所以令0y得ax，因此双曲线和x轴有两个交点-8-)0,()0,(2aAaA，他们是双曲线12222byax的顶点。令0x，没有实根，因此双曲线和y轴没有交点。1）注意：双曲线的顶点只有两个，这是与椭圆不同的（椭圆有四个顶点），双曲线的顶点分别是实轴的两个端点。2）实轴：线段2AA叫做双曲线的实轴，它的长等于2,aa叫做双曲线的实半轴长。虚轴：线段2BB叫做双曲线的虚轴，它的长等于2,bb叫做双曲线的虚半轴长。④渐近线：注意到开课之初所画的矩形，矩形确定了两条对角线，这两条直线即称为双曲线的渐近线。从图上看，双曲线12222byax的各支向外延伸时，与这两条直线逐渐接近。⑤等轴双曲线：1）定义：实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线。定义式：ab；2）等轴双曲线的性质：（1）渐近线方程为：xy；（2）渐近线互相垂直。注意以上几个性质与定义式彼此等价。亦即若题目中出现上述其一，即可推知双曲线为等轴双曲线，同时其他几个亦成立。3）注意到等轴双曲线的特征ab，则等轴双曲线可以设为：)0(22yx，当0时交点在x轴，当0时焦点在y轴上。⑥注意191622yx与221916yx的区别：三个量,,abc中,ab不同（互换）c相同，还有焦点所在的坐标轴也变了。3．抛物线（1）抛物线的概念平面内与一定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线(定点F不在定直线l上)。定点F叫做抛物线的焦点，定直线l叫做抛物线的准线。方程022ppxy叫做抛物线的标准方程。