高三导数复习资料3章2课时

第2课时导数的应用1．函数的单调性(1)(函数单调性的充分条件)设函数y＝f(x)在某个区间内可导，如果f′(x)0，则f(x)为函数；如果f′(x)0，则f(x)为函数．(2)(函数单调性的必要条件)设函数y＝f(x)在某个区间内可导，如果y＝f(x)在该区间上单调递增(或递减)，则在该区间内．基础知识梳理单调递增单调递减f′(x)≥0(或f′(x)≤0)2．函数的极值(1)设函数f(x)在点x0及其附近有定义，如果对x0附近的所有点，都有f(x)f(x0)，我们说f(x0)是函数f(x)的一个，记作；如果对x0附近的所有点，都有f(x)f(x0)，就说f(x0)是f(x)的一个，记作．极大值与极小值统称为．基础知识梳理极大值y极大值＝f(x0)极小值y极小值＝f(x0)极值(2)判别f(x0)是极值的方法一般地，当函数f(x)在点x0处连续时．①如果在x0附近的左侧f′(x)0，右侧f′(x)0，那么f(x0)是．②如果在x0附近的左侧f′(x)0，右侧f′(x)0，那么f(x0)是．基础知识梳理极小值极大值导数为零的点都是极值点吗？【思考·提示】不一定是．例如：函数f(x)＝x3，有f′(0)＝0，但x＝0不是极值点．基础知识梳理3．函数的最值假设函数y＝f(x)在闭区间[a，b]上的图象是一条，该函数在[a，b]上一定能够取得与．若函数在(a，b)内是，该函数的最值必在取得．基础知识梳理连续不间断的曲线最大值最小值极值点或区间端点处可导的1．(教材习题改编)函数f(x)＝x3－3x2＋1的单调递减区间为()A．(2，＋∞)B．(－∞，2)C．(－∞，0)D．(0,2)答案：D三基能力强化2．设a∈R，若函数y＝ex＋ax，x∈R有大于零的极值点，则()三基能力强化A．a－1B．a－1C．a－1eD．a－1e答案：A三基能力强化3．函数f(x)＝x3－3x＋3在闭区间[－3,0]上的最大值、最小值分别是()A．3,1B．3，－15C．5，－15D．11，－17答案：C三基能力强化4.(2009年高考辽宁卷改编)若函数f(x)＝x2＋3x＋1，则函数的极值点为________．答案：1，－3三基能力强化5．函数f(x)＝xlnx在(0,5)上的单调递增区间是________．答案：1e，5求可导函数单调区间的一般步骤和方法(1)确定函数f(x)的定义域．(2)求f′(x)，令f′(x)＝0，求出它们在定义域内的一切实根．(3)把函数f(x)的间断点(即f(x)的无定义点)的横坐标和上面的各实数根按由小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数f(x)的定义区间分成若干个小区间．课堂互动讲练考点一函数的单调性(4)确定f′(x)在各个开区间内的符号，根据f′(x)的符号判定函数f(x)在每个相应小开区间内的增减性．课堂互动讲练课堂互动讲练特别提醒：当f(x)不含参数时，也可通过解不等式f′(x)0(或f′(x)0)直接得到单调递增(或递减)区间．课堂互动讲练例1求下列函数的单调区间：(1)y＝x3－12x2－2x＋5；(2)y＝2x2－lnx.【思路点拨】课堂互动讲练求函数导数y′令y′=0极值点在极值点两侧判断y′的正负单调区间课堂互动讲练【解】(1)∵y′＝3x2－x－2＝(3x＋2)(x－1)，∴令y′0，得x∈(－∞，－23)∪(1，＋∞)．当y′0时，x∈(－23，1)．∴函数的增区间为(－∞，－23)，(1，＋∞)；函数的减区间为(－23，1)．课堂互动讲练(2)∵y′＝4x－1x＝4x2－1x，定义域为(0，＋∞)，令y′0，得x∈(0，12)．令y′0，得x∈(12，＋∞)．∴函数的增区间为(12，＋∞)，函数的减区间为(0，12)．课堂互动讲练【误区警示】如果一个函数单调性相同的区间不止一个，这些区间之间不能用“∪”连接，只能用逗号或“和”字隔开，如(1)中把增区间写为“(－∞，－23)∪(1，＋∞)”是不正确的，因为“(－∞，－23)∪(1，＋∞)”不是一个区间，且该函数在(－∞，－23)∪(1，＋∞)上不是单调递增的．求可导函数f(x)的极值的步骤：(1)求导数f′(x)；(2)求方程f′(x)＝0的根；(3)检验f′(x)在方程f′(x)＝0的根的左右两侧的符号：如果在根的左侧附近为正，右侧附近为负，那么函数y＝f(x)在这个根处取得极大值；如果在根的左侧附近为负，右侧附近为正，那么函数y＝f(x)在这个根处取得极小值．课堂互动讲练考点二函数的极值课堂互动讲练例2函数f(x)为R上的奇函数，当x0时，f(x)＝xlnx.(1)求函数f(x)的解析式；(2)当x≠0时，求函数f(x)的极值．【思路点拨】(1)令x0知－x0，代入可求．(2)求x0的极值，由奇函数性质便可求得x0的极值．课堂互动讲练课堂互动讲练【解】(1)设x0，则－x0，则f(－x)＝－xln(－x)，得到f(x)＝xln(－x)，又当x＝0时，f(x)＝0则f(x)＝xlnx，x00，x＝0xln(－x)，x0课堂互动讲练(2)当x0时，f(x)＝xlnx，f′(x)＝lnx＋1令f′(x)0得0x1e，f′(x)0得x1e，列表如下：x(0，1e)1e(1e，＋∞)f′(x)－0＋f(x)单调递减极小值单调递增课堂互动讲练所以，当x0时，函数的极小值为f(1e)＝－1e；又由于函数是奇函数，所以当x0时，函数的极大值为f(－1e)＝1e.【规律总结】(1)可导函数的极值点必须是导数为0的点，但导数为0的点不一定是极值点，即f′(x0)＝0是可导函数f(x)在x＝x0处取得极值的必要不充分条件．例如函数y＝x3在x＝0处有y′|x＝0＝0，但x＝0不是极值点．此外，函数不可导的点也可能是函数的极值点．课堂互动讲练1．设函数f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，求f(x)在[a，b]上的最大值和最小值的步骤(1)求函数y＝f(x)在(a，b)内的极值．(2)将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)、f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．课堂互动讲练考点三函数的最值2．(1)根据最值的定义，求在闭区间[a，b]上连续，开区间(a，b)内可导的函数的最值时，可将过程简化，即不用判断使f′(x)＝0成立的点是极大值点还是极小值点，直接将极值点与端点的函数值进行比较，就可判定最大(小)值．(2)定义在开区间(a，b)上的可导函数，如果只有一个极值点，该极值点必为最值点．课堂互动讲练课堂互动讲练例3已知a是实数，函数f(x)＝x2(x－a)．(1)若f′(1)＝3，求a的值及曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；(2)求f(x)在区间[0,2]上的最大值．【思路点拨】(1)由f′(1)＝3可求a值．求切线方程只需求斜率k及点(1，f(1))的坐标．(2)可先判断f(x)的单调性及极值，再与f(0)，f(2)比较，即可求出最大值．课堂互动讲练【解】(1)f′(x)＝3x2－2ax，∵f′(1)＝3－2a＝3，∴a＝0.又∵当a＝0时，f(1)＝1，f′(1)＝3，∴曲线y＝f(x)在(1，f(1))处的切线方程为3x－y－2＝0.课堂互动讲练课堂互动讲练(2)令f′(x)＝0，解得x1＝0，x2＝2a3.当2a3≤0，即a≤0时，f(x)在[0,2]上单调递增，从而f(x)max＝f(2)＝8－4a.当2a3≥2，即a≥3时，f(x)在[0,2]上单调递减，从而f(x)max＝f(0)＝0.课堂互动讲练当02a32，即0a3时，f(x)在[0，2a3]上单调递减，在[2a3，2]上单调递增，从而f(x)max＝8－4a(0a≤2)0(2a3).综上可知：f(x)max＝8－4a(a≤2)0(a2).【名师点评】注意区分极值与最值的概念．函数的极值表示函数在某一点附近的情况，是在局部上对函数值的比较；函数的最值表示函数在一个区间上的情况，是对函数在整个区间上的函数值的比较，函数的极值不一定是最值，最值点也不一定是极值点．课堂互动讲练在求实际问题中的最大值或最小值时，一般先设自变量、因变量，建立函数关系式，并确定其定义域，利用求函数最值的方法求解，注意结果应与实际情况相符合．用导数求解实际问题中的最大(小)值时，如果函数在区间内只有一个极值点，那么根据实际意义该极值点也就是最值点．课堂互动讲练考点四生活的优化问题课堂互动讲练例4(解题示范)(本题满分12分)某造船公司年造船量是20艘，已知造船x艘的产值函数为R(x)＝3700x＋45x2－10x3(单位：万元)，成本函数为C(x)＝460x＋5000(单位：万元)，又在经济学中，函数f(x)的边际函数Mf(x)定义为Mf(x)＝f(x＋1)－f(x)．(1)求利润函数P(x)及边际利润函数MP(x)(提示：利润＝产值－成本)．(2)问年造船量安排多少艘时，可使公司造船的年利润最大？(3)求边际利润函数MP(x)的单调递减区间，并说明单调递减在本题中的实际意义是什么？课堂互动讲练思路点拨课堂互动讲练【解】(1)P(x)＝R(x)－C(x)＝－10x3＋45x2＋3240x－5000(x∈N*，且1≤x≤20)；2分MP(x)＝P(x＋1)－P(x)＝－30x2＋60x＋3275(x∈N*，且1≤x≤19).4分(2)P′(x)＝－30x2＋90x＋3240＝－30(x－12)(x＋9)，∵x0，∴P′(x)＝0时，x＝12，6分∴当0x12时，P′(x)0，当x12时，P′(x)0，∴x＝12时，P(x)有最大值．课堂互动讲练即年造船量安排12艘时，可使公司造船的年利润最大.8分(3)MP(x)＝－30x2＋60x＋3275＝－30(x－1)2＋3305所以，当x≥1时，MP(x)单调递减，所以单调减区间为[1,19]，且x∈N*.10分MP(x)是减函数的实际意义是：随着产量的增加，每艘船的利润与前一艘船的利润比较，利润在减少.12分课堂互动讲练【名师点评】在解答第(3)题时，易写错MP(x)是减函数的实际意义，导致此种错误的原因是没有理解MP(x)＝P(x＋1)－P(x)的实际含义是生产第x＋1艘船的利润．课堂互动讲练(本题满分12分)金融危机使银行业遭受了很大损失，为了应对难关，某银行准备新设一种定期存款业务，经测算：存款量与存款利率的平方成正比，比例系数为k(k0)，贷款的利率为4.8%，且银行吸收的存款能全部放贷出去．课堂互动讲练高考检阅(1)若存款利率为x，x∈(0,0.048)，试写出存款量g(x)及银行应支付给储户的利息h(x)与存款利率x之间的关系式；(2)存款利率定为多少时，银行可获得最大收益？课堂互动讲练解：(1)由题意知，存款量g(x)＝kx2，x∈(0,0.048)，银行应支付的利息h(x)＝xg(x)＝kx3，x∈(0,0.048).6分(2)设银行可获得的收益为y，则y＝0.048kx2－kx37分求导得y′＝0.096kx－3kx2，8分令y′＝0得x＝0(舍)或x＝0.032.9分当x∈(0,0.032)时，y′0；当x∈(0.032,0.048)时，y′0.10分课堂互动讲练所以当x＝0.032时，y取得最大值．故当存款利率定为3.2%时，银行可获得最大收益.12分课堂互动讲练1．利用导数讨论函数的单调性需注意以下几个问题(1)确定函数的定义域，解决问题的过程中，只能在函数的定义域内，通过讨论导数的符号，来判断函数的单调区间．(2)在对函数划分单调区间时，除了必须确定使导数等于0的点外，还要注意定义区间内的不连续点或不可导点．规律方法总结(3)注意在某一区间内f′(x)＞0(或f′(x)＜0)是函数f(x)在该区间上为增(或减)函数的充分条件．规律方法总结2．可导函数的极值(1)极值是一个局部性概念，一个函数在其定义域内可以有许多个极大值和极小值，在某一点的极小值