广东省江门二中2017-2018学年高一下学期第二次考试数学试卷

第二学期第二次考试高一年级数学试题班级姓名注意事项：1、全卷共三大题，22小题。满分共150分，测试时间120分钟。2、答题前，务必将自己的班级、姓名、考号填写在答题卡规定的位置上。3、答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如果改动，用橡皮擦擦干净后，再选择其它答案标号。4、答非选择题时，用圆珠笔或黑色签字笔将答案书写在答题卡规定的位置上。5、所有题目必须在规定的答题卡上作答，在试卷上作答无效。参考公式：线性回归方程axbyˆˆ中系数计算公式niiniiixxyyxxb121)())((ˆ，xbyaˆˆ．一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.下列函数中，周期为π2的是()A．y＝sinx2B．y＝sin2xC．y＝cosx4D．y＝cos4x2.已知向量a＝(－1，1)，b＝(3，m)，若a∥(a＋b)，则m＝()A．2B．－2C．－3D．33.化简sin2013°的结果是()A．sin33°B．cos33°C．－sin33°D．－cos33°4.若cosα＝－32，且角α的终边经过点P(x，2)，则P点的横坐标x是()A．23B．±23C．－22D．－235.已知向量a＝(1，3)，b＝(3，m)，若向量a，b的夹角为π6，则实数m＝()A．23B.3C．0D．－36.函数y＝tan2x－π4的定义域是()A.x|x≠kπ2＋3π8，k∈ZB.x|x≠kπ2＋3π4，k∈ZC.x|x≠kπ＋3π8，k∈ZD.x|x≠kπ＋3π4，k∈Z7.已知|a|＝2，|b|＝5，a与b的夹角为120°，则|a＋b|等于()A.19B.39C.19D.398.已知α为锐角，且tan(π－α)＋3＝0，则sinα的值是()A.13B.31010C.377D.3559.如图，在△ABC中，点D是BC边上靠近B的三等分点，则AD→＝()A.23AB→－13AC→B.13AB→＋23AC→C.23AB→＋13AC→D.13AB→－23AC→10.已知A、B、C是坐标平面上的三点，其坐标分别为A(1,2)、B(4,1)、C(0，－1)，则△ABC的形状为()A．直角三角形B．等腰直角三角形C．等腰三角形D．以上均不正确11.将函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω＞0，－π2≤φ＜π2)图象上每一点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再向右平移π6个单位长度得到y＝sinx的图象．则fπ6＝()A．22B．12C．－22D．－1212.已知两个非零向量a与b，定义|a×b|＝|a||b|sinθ，其中θ为a与b的夹角．若a＝(－3，4)，b＝(0，2)，则|a×b|的值为()A．－8B．－6C．8D．6二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分。13.如果cos(π＋A)＝－12，那么sinπ2＋A＝__________.14.设向量a，b满足|a|＝25，b＝(2，1)，且a与b的方向相反，则a的坐标为．15.如图是函数f(x)＝Asin()ωx＋φA＞0，ω＞0，|φ|＜π2的图象，则其解析式是________________.16.设函数f(x)＝sin2x＋π3，现有下列结论：①f(x)的图象关于直线x＝π3对称；②f(x)的图象关于点π4，0对称；③把f(x)的图象向左平移π12个单位长度，得到一个偶函数的图象；④f(x)的最小正周期为π，且在0，π6上为增函数．其中正确的结论有________________(把你认为正确的序号都填上)．三、解答题：本大题共6小题，满分70分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．17．（本小题满分10分）某电脑公司有6名产品推销员，其工作年限与年推销金额的数据如下表：推销员编号12345工作年限x/年35679推销金额y/万元23345(1)求年推销金额y关于工作年限x的线性回归方程；(7分)(2)若第6名推销员的工作年限为11年，试估计他的年推销金额.(3分)18．（本小题满分12分）某校从高一年级学生中随机抽取40名学生，将他们的期中考试数学成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：[40，50），[50，60），…，[90，100]后得到如图所示的频率分布直方图.（1）求图中实数a的值；(3分)（2）若该校高一年级共有学生640人，试估计该校高一年级期中考试数学成绩不低于60分的人数；(3分)（3）若从数学成绩在[40，50）与[90，100]两个分数段内的学生中随机选取两名学生，求这两名学生的数学成绩之差的绝对值不大于10的概率.(6分)19.（本小题满分12分）已知f(x)＝sin2x＋π6＋32，x∈R.(1)求函数f(x)的最小正周期；(2分)(2)求函数f(x)的单调减区间；(5分)(3)求函数f(x)在的最大值和最小值]3,6[。(5分)20．（本小题满分12分）在平面直角坐标系xOy中，已知点A(－1，－2)，B(2，3)，C(－2，－1)．(1)求以线段AB，AC为邻边的平行四边形的两条对角线的长；(6分)(2)设实数t满足(AB→－tOC→)·OC→＝0，求t的值．(6分)21．（本小题满分12分）如图(1)，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D，E分别为AC，AB的中点，点F为线段CD上的一点，将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1F⊥CD，如图(2)．(1)求证：DE∥平面A1CB；(3分)(2)求证：A1F⊥BE；(5分)(3)线段A1B上是否存在点Q，使A1C⊥平面DEQ？说明理由．(4分)22．已知点)0,1(A，直线l：032yx，点R是直线l上的一点，动点P满足APRA2．⑴求动点P的轨迹方程；(6分)⑵动点P在运动过程中是否经过圆03422xyx？请说明理由．(6分)第二学期第一次考试高一数学评分标准一、选择题答题处：（本题共12小题，每小题5分，共60分）题号123456789101112答案DCCDBACBCBAD二、填空题答题处：（共4题，每题5分，共20分）13、1214、(－4，－2)15、f(x)＝3sin2x＋π316、③三、解答题：本大题共6小题，满分70分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．17．（本小题满分10分）某电脑公司有6名产品推销员，其工作年限与年推销金额的数据如下表：推销员编号12345工作年限x/年35679推销金额y/万元23345(1)求年推销金额y关于工作年限x的线性回归方程；(7分)(2)若第6名推销员的工作年限为11年，试估计他的年推销金额.(3分)解：（1）设所求的线性回归方程为y^＝b^x＋a^.x－＝15(3＋5＋6＋7＋9)＝6，y－＝15(2＋3＋3＋4＋5)＝3.4，则b^＝＝2010＝0.5，a^＝y－－b^x－＝0.4，所以年推销金额y关于工作年限x的线性回归方程为y^＝0.5x＋0.4.……7分(2)当x＝11时，y^＝0.5x＋0.4＝0.5×11＋0.4＝5.9(万元)．所以可以估计第6名推销员的年推销金额为5.9万元．……10分18．（本小题满分12分）某校从高一年级学生中随机抽取40名学生，将他们的期中考试数学成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：[40，50），[50，60），…，[90，100]后得到如图所示的频率分布直方图.（1）求图中实数a的值；(3分)（2）若该校高一年级共有学生640人，试估计该校高一年级期中考试数学成绩不低于60分的人数；(3分)（3）若从数学成绩在[40，50）与[90，100]两个分数段内的学生中随机选取两名学生，求这两名学生的数学成绩之差的绝对值不大于10的概率.(6分)解：（1）由于图中所有小矩形的面积之和等于1，所以10×（0.005＋0.01＋0.02＋a＋0.025＋0.01）＝1.解得a＝0.03.……3分（2）根据频率分布直方图，成绩不低于60分的频率为1－10×（0.005＋0.01）＝0.85.由于该校高一年级共有学生640人，利用样本估计总体的思想，可估计该校高一年级数学成绩不低于60分的人数约为640×0.85＝544人.……6分（3）成绩在[40，50）分数段内的人数为40×0.05＝2人，分别记为A，B.成绩在[90，100]分数段内的人数为40×0.1＝4人，分别记为C，D，E，F.若从数学成绩在[40，50）与[90，100]两个分数段内的学生中随机选取两名学生，则所有的基本事件有：（A，B），（A，C），（A，D），（A，E），（A，F），（B，C），（B，D），（B，E），（B，F），（C，D），（C，E），（C，F），（D，E），（D，F），（E，F）共15种.如果两名学生的数学成绩都在[40，50）分数段内或都在[90，100]分数段内，那么这两名学生的数学成绩之差的绝对值一定不大于10.如果一个成绩在[40，50）分数段内，另一个成绩在[90，100]分数段内，那么这两名学生的数学成绩之差的绝对值一定大于10.记“这两名学生的数学成绩之差的绝对值不大于10”为事件M，则事件M包含的基本事件有：（A，B），（C，D），（C，E），（C，F），（D，E），（D，F），（E，F）共7种.所以所求概率为P（M）＝715.……12分19.（本小题满分12分）已知f(x)＝sin2x＋π6＋32，x∈R.(1)求函数f(x)的最小正周期；(2分)(2)求函数f(x)的单调减区间；(5分)(3)求函数f(x)在的最大值和最小值]3,6[。(5分)解：(1)T＝2π2＝π.……2分(2)由2kπ＋π2≤2x＋π6≤2kπ＋3π2，k∈Z，得kπ＋π6≤x≤kπ＋2π3，k∈Z.所以所求的单调减区间为kπ＋π6，kπ＋2π3(k∈Z)．……7分(3).25232sin)(6262,123)6sin()(6662]65,6[62]32,3[2]3,6[的最大值是时即当的最小值是时即当，，时，当xfxxxfxxxxx……12分20．（本小题满分12分）在平面直角坐标系xOy中，已知点A(－1，－2)，B(2，3)，C(－2，－1)．(1)求以线段AB，AC为邻边的平行四边形的两条对角线的长；(6分)(2)设实数t满足(AB→－tOC→)·OC→＝0，求t的值．(6分)解：(1)由题设知AB→＝(3，5)，AC→＝(－1，1)，则AB→＋AC→＝(2，6)，AB→－AC→＝(4，4)．所以|AB→＋AC→|＝210，|AB→－AC→|＝42.故所求的两条对角线长分别为42，210.……6分(2)由题设知OC→＝(－2，－1)，AB→－tOC→＝(3＋2t，5＋t)．由(AB→－tOC→)·OC→＝0，得(3＋2t，5＋t)·(－2，－1)＝0，从而5t＝－11，所以t＝－115.……12分21．（本小题满分12分）如图(1)，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D，E分别为AC，AB的中点，点F为线段CD上的一点，将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1F⊥CD，如图(2)．(1)求证：DE∥平面A1CB；(3分)(2)求证：A1F⊥BE；(5分)(3)线段A1B上是否存在点Q，使A1C⊥平面DEQ？说明理由．(4分)(1)证明：∵D，E分别为AC，AB的中点，∴DE∥BC.又DE⊄平面A1CB，∴DE∥平面A1CB.……3分(2)证明：由已知得AC⊥BC且DE∥BC，∴DE⊥AC.∴DE⊥A1D，DE⊥CD.∴DE⊥平面A1DC.而A1F⊂平面A1DC，∴DE⊥A1F.又A1F⊥CD，∴A1F⊥平面BCDE.∴A1F⊥BE.……8分(3)解：线段A1B上存在点Q，使A1C⊥平面DEQ.理由如下：如右图