2012高教社杯全国大学生数学建模竞赛B题获奖论文

12012高教社杯全国大学生数学建模竞赛承诺书我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的,如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。我们授权全国大学生数学建模竞赛组委会，可将我们的论文以任何形式进行公开展示（包括进行网上公示，在书籍、期刊和其他媒体进行正式或非正式发表等）。我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）：我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）：所属学校（请填写完整的全名）：参赛队员(打印并签名)：1.2.3.指导教师或指导教师组负责人(打印并签名)：日期：年月日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：22012高教社杯全国大学生数学建模竞赛编号专用页赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：赛区评阅记录（可供赛区评阅时使用）：评阅人评分备注全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：1基于背包算法的太阳能小屋的研究与设计摘要本文针对太阳能小屋上光伏电池铺设问题,运用贪婪算法,通过局部最优来逼近整体最优.针对三个问题,分别得出了光伏电池的铺设方案和对应的逆变器选择,架空后光伏电池与水平面夹角的最优解以及小屋对太阳辐射的最大化利用的设计方案.对于问题一,首先对光伏电池的性价比K进行了纵向比较,选出了性价比最高的三种光伏电池312,,ABB.为了使剩余面积达到最少,采用整数背包算法,从而确定各平面每种光伏电池的理论个数,并通过计算各平面总盈利情况,发现东面盈利为负,因此舍弃东面,在铺设过程中,优先选择产生盈利最大的光伏电池,并考虑实际情况,经过计算选择光伏电池10C填补剩余面积,得到10312,,,CABB实际铺设个数,分别为：顶面（12,12,7,0）,南面（4,2,0,21）,北面（6,5,2,0）,再选配相应的逆变器,最终计算出太阳能小屋的35年内的发电量为17047.54hkw;经济效益为76854.11元;回报年限为20.58年.对于问题二,首先通过建立三个坐标系结合正交分解求出顶面真实吸收太阳辐射强的表达式为（cossinsincoscosA）w.其次一一针对固定时刻将sin,cos,cosA固定即可得关于的函数)(fcossinsincoscosA.最后对)(f进行求导即可求出)(f取得max)(f时的角度7.51,即为架空后光伏电池与水平面的夹角.这样可得太阳能小屋的35年内的发电量22161.81hkw;经济效益92224.93元;回报年限为18.2年.对于问题三,结合问题一、二分析的数据,将屋顶采用单坡面设计,房屋朝向南偏西15度,达到了屋顶接收阳光面积最大和全年太阳辐射强度的最优目的.关键词：背包算法贪婪算法多重最优化21问题重述在设计太阳能小屋时,需在建筑物外表面（屋顶及外墙）铺设光伏电池,光伏电池组件所产生的直流电需要经过逆变器转换成220V交流电才能供家庭使用,并将剩余电量输入电网.不同种类的光伏电池每峰瓦的价格差别很大,且每峰瓦的实际发电效率或发电量还受诸多因素的影响,如太阳辐射强度、光线入射角、环境、建筑物所处的地理纬度、地区的气候与气象条件、安装部位及方式（贴附或架空）等.因此,在太阳能小屋的设计中,研究光伏电池在小屋外表面的优化铺设是很重要的问题.附件中提供了相关信息.请参考附件提供的数据,对下列三个问题,分别给出小屋外表面光伏电池的铺设方案,使小屋的全年太阳能光伏发电总量尽可能大,而单位发电量的费用尽可能小,并计算出小屋光伏电池35年寿命期内的发电总量、经济效益（当前民用电价按0.5元/kWh计算）及投资的回收年限.在求解每个问题时,都要求配有图示,给出小屋各外表面电池组件铺设分组阵列图形及组件连接方式（串、并联）示意图,也要给出电池组件分组阵列容量及选配逆变器规格列表.在同一表面采用两种或两种以上类型的光伏电池组件时,同一型号的电池板可串联,而不同型号的电池板不可串联.在不同表面上,即使是相同型号的电池也不能进行串、并联连接.应注意分组连接方式及逆变器的选配.问题1：请根据山西省大同市的气象数据,仅考虑贴附安装方式,选定光伏电池组件,对小屋（见附件2）的部分外表面进行铺设,并根据电池组件分组数量和容量,选配相应的逆变器的容量和数量.问题2：电池板的朝向与倾角均会影响到光伏电池的工作效率,请选择架空方式安装光伏电池,重新考虑问题1.问题3：根据附件7给出的小屋建筑要求,请为大同市重新设计一个小屋,要求画出小屋的外形图,并对所设计小屋的外表面优化铺设光伏电池,给出铺设及分组连接方式,选配逆变器,计算相应结果.32问题分析绿色、节能是未来世界可持续发展的主题,因此对太阳能小屋这种绿色节能房子的建造与设计,对未来全社会的能源消耗有着举足轻重的影响.本题要求在三种情况下给出光伏电池在小屋表面的铺设方案,使得小屋的全年太阳能光伏发电总量尽可能大,而单位发电量的费用尽可能小.显然,这是一个多目标规划问题.本题要求我们,根据题目所提供的大同典型气象年气象数据,选择铺设电池的方案,可见光伏电池的发电量或发电效率只考虑受辐射影响即可,其余如坏境、地区气候等受制因素均可不必考虑.（1）对于问题一,有三个子问题需要解决：第一是要选定光伏电池组件的几种排列方式,利用多重最优化思想,首先要对每种光伏电池的性价比K进行纵向比较,选出性价比最大的前三种光伏电池,依次是：312,,ABB.用这三种光伏电池对各个平面进行铺设,同时对小部分的空余面积用面积较小的薄膜电池C进行插空;然后采用整数背包模型,利用Matlab,确定各平面每种光伏电池的最大范围个数;最后对每个平面光伏电池数进行优化,结合实际情况,确定光伏电池数量及平面位置.第二是按照逆变器的选配要求,选配相应的逆变器的容量和数量,同时画出相应的电路连线图;第三是根据计算公式计算出光伏电池在35年寿命期内的发电总量、经济效益及投资的回收年限.（2）对于问题二,可以类比考虑为房顶可以以屋檐为轴活动,使得房顶可以最大限度吸收太阳光照辐射最强时的太阳辐射.设太阳辐射强度为w,房顶可吸收太阳辐射强度为wf)(,当房顶“固定”时,不变,可求出)(f的关系式.而当房顶“可动”,即可变时,可对)(f求导得到取得max)(f及对应的值.（3）对于问题三,通过问题一、二可以知道,在小房子的各个墙面中屋顶的收益最大,所以在建设房子时要把屋顶面积作为首要考虑的因素.又按照附件7中对房子的要求,要获得最多的太阳辐射量就要使光伏电池的面积最大和倾角最佳,因此就要有最大的屋顶面积.屋顶采用单坡面设计,通过建立线性规划方程,求出目标函数Smax最优解,根据最优解画出房屋设计图.43符号说明1.jw：第j种光伏电池价格2.jp：第j种光伏电池的发电量3.kS：墙面k的面积4．iv：第i种光伏电池带来的收益5．iV：第i种光伏电池带来的总收益6.iM：单位面积上第i种电池的利润7.：由西向东看且令小屋顶面与水平面夹角8.：赤纬角9.：太阳高度角10.H：屋顶最高点距地面高度4.58.2H11.h：室内空间净空高度距地面高度4.58.2h12.a：东西面墙的宽153a13.b：南北面墙的长153b14.S：屋顶面积4模型假设1.假设题目所给的数据真实可靠;2.假设实际影响每峰瓦的实际发电效率或发电量的因素,如环境、建筑物所处的地理纬度、地区的气候等,均不会影响其发电效率或发电量.3.假设空气中的尘埃、水汽等等不会对太阳辐射强度产生影响4.假设同一时刻阳光照射在房屋同一面的太阳高度角相等5.假设铺设的电池的厚度不会对其他电池采光产生影响6.假设地球绕太阳公转轨道是正圆形.7.假设逆变器不安装在小屋外表面8.假设周围环境对光伏电池发电量不产生影响55模型的建立与求解5.1问题一的求解5.1.1选定光伏电池组件的几种排列方式（1）对每种光伏电池的性价比K进行纵向比较为了更直观的体现每种光伏电池的优异性,并直观选择铺设各墙面的光伏电池种类,引入性价比这一概念.由于每个光伏电池在工作的过程,单位面积内组件功率越大且转换率越高,可获得收益越大,同时不同光伏电池价格不同.为更好更直观的反应各种光伏电池的性价比,我们设定一种性价比K计算方法：单位价格光伏电池面积转换效率组件功率K其中为常数系数.通过计算我们可以得到这24种光伏电池的性价比,详细数据见附表三,为了取得最大效益,我们选出性价比最大的前三种光伏电池,依次是：312,,ABB.用这三种光伏电池对各个平面进行铺设,同时对小部分的空余面积用面积较小的薄膜电池C进行插空.（2）采用整数背包模型,确定各平面采用每种光伏电池的最大范围.为了使小屋的全年太阳能光伏发电量达到最大,采用整数背包模型.设有一只背包,最多可容纳的总面积分别为4321,,,SSSS.现有n种可供选择的光伏电池装入背包中,这n种光伏电池的编号分别为1,2,…,24.各光伏电池的价格、发电量分别为1w,2w,…,24w和1p,2p,…,24p,每种光伏电池装入个数为jx（jx0为整数,ijNj）,每种光伏电池均不能拆开.我们的目的是如何在每个平面上选择装入的光伏电池（各几件）,可使太阳能的光伏发电量达到最大.（其中1S、2S、3S、4S,1w,2w,…,24w和1p,2p,…,24p均为正数）建立以下数学模型：241maxjjjxpz,使得241jkjjSxw,其中ijNj,jx0,4,3,2,1k且jx,kS,jw,jp均为正数采用动态规划算法对整数背包模型进行求解：a.划分阶段K：将供选择的光伏电池按1,2,…,n排序,每个阶段可装入一种光伏电池;b.确定决策变量：kx表示装入第k种物品的件数;ks表示背包中允许装入前k种光伏电池的总面积．6c.建立状态转移方程：kkkkxwss1;决策集合为：为整数kxwsxxsDkkkkk,,0)(,其中kkws表示不超过kkws的最大整数．d.建立递归方程：kkkkkkkkwsxkkxpxwsfsfsfkkk)(),(maxmax1,...,2,1,0．e.递推求解：逐步计算出)(),...,(),(2211nnsfsfsf,最后求得)(wfn即为所求的最大价值．根据上述描述的算法求解过程,利用Matlab进行编程（见附表一）,程序运行后得到1S平面三种光伏电池的放置个数,同理可得2S、3S、4S平面三种光伏电池的安置数,结果如下：表一：平面总利用面积2/mm总发电量hkw/A3,B1,B2分别电池数的最大值顶面S1594788726.8840513,12,12南面S2174623482.066114,4,3东面S3223125342.616185,5,4西面S4255275703.033566,5,5（3）对上述每个平面三种光伏电池数进行优化,得到确定的光伏电池数量及平面位置通过对大同气象数据进行处理,我们得到了1S平面每平米光辐射量总量1Q,用3,2,1,isi分别表示312,,ABB的面积;i表示光伏电池转化率,iv表示每种光伏电池所带来的年收益;iV表示使用年限内的总收益;iw光伏电池的花费;iM单位面积上第i种光伏电池的利润.iiiiiiiiiswVMvVQsv8.0109.015105.017根据上述公式,求解结果如下：表二：1S面每年收入35年总收入利润利润/面积2B228.83567208.3220593208.3221655.1431B1