线性代数试题精选与精解(含完整试题与详细答案-2020考研数学基础训练)

线性代数试题精选与精解（含完整试题与详细答案，2020考研数学基础训练）一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.设3阶方阵A=（α1，α2，α3），其中αi（i=1,2,3）为A的列向量，若|B|=|（α1+2α2，α2，α3）|=6，则|A|=()A.-12B.-6C.6D.12【答案】C【解析】本题考查了矩阵行列式的性质。有性质可知，行列式的任意一列（行）的(0)kk倍加至另一列（行），行列式的值不变。本题中，B是由A的第二列的2倍加到了第一列形成的，故其行列式不变，因此选C。【提醒】行列式的性质中，主要掌握这几条：（1）互换行列式的两行或两列行列式要变号；（2）行列式的任意一行（列）的(0)kk倍加至另一行（列），行列式的值不变；（2）行列式行（列）的公因子（公因式）可以提到行列式的外面。【点评】本题涉及内容是每年必考的，需重点掌握。热度：☆☆☆☆☆；可出现在各种题型中，选择、填空居多。【历年考题链接】（2008,4）1．设行列式D=333231232221131211aaaaaaaaa=3，D1=333231312322212113121111252525aaaaaaaaaaaa，则D1的值为（）A．-15B．-6C．6D．15答案：C。2.计算行列式32320200051020203=()A.-180B.-120C.120D.180【答案】A【解析】本题考查了行列式的计算。行列式可以根据任意一行（列）展开。一般来说，按含零元素较多的行或列展开计算起来较容易。本题，按第三列展开，有：44142434443331323330203022105000033(1)210500200022323303(002)6(1)=630180.210AAAAAAA【提醒】还要掌握一些特殊矩阵的行列式的计算，如对角矩阵，上（下）三角矩阵，还有分块矩阵。【点评】行列式的计算是每年必考的，常出现在选择、填空和计算中，选择、填空居多。近几年，填空题的第一题一般考察这个内容。需重点掌握。热度：☆☆☆☆☆。【历年考题链接】（2008,1）11.若,0211k则k=_______.答案：1/2。3.若A为3阶方阵且|A-1|=2，则|2A|=()A.21B.2C.4D.8【答案】C【解析】本题考查了逆矩阵行列式的计算，和矩阵行列式的运算性质。由于11,AA由已知|A-1|=2，从而12A，所以3122842AA。【提醒】牢记公式：11,AAnkAkA，ABAB，以及由*AAAE推出的1*nAA。其中n为A的阶数。【点评】本题涉及内容是矩阵行列式的运算性质，需重点掌握。热度：☆☆☆☆☆；可出现在各种题型中，选择、填空居多。【历年考题链接】（2008,4）4．设A为n阶方阵，n≥2，则A5=（）A．（-5）nAB．-5AC．5AD．5nA答案：A。4.设α1，α2，α3，α4都是3维向量，则必有()A.α1，α2，α3，α4线性无关B.α1，α2，α3，α4线性相关C.α1可由α2，α3，α4线性表示D.α1不可由α2，α3，α4线性表示【答案】B【解析】本题考查了向量组线性相关性。由结论可知，向量组中向量的个数大于维数，则此向量组线性相关。本题中，向量个数4，维数3，故线性相关。【提醒】请记住判断向量组线性相关与否的结论。如：向量组的个数如果和维数相同的话，可以通过计算以这些向量为行（列）组成的行列式的值，如果值为零，则原向量组线性相关，否组线性无关。【点评】本题涉及内容是每年必考的，常出现在选择和计算题中。热度：☆☆☆☆☆；可出现在各种题型中，选择、填空居多。【历年考题链接】（2008,7）5.已知向量组A：4321,,,中432,,线性相关，那么（）A.4321,,,线性无关B.4321,,,线性相关C.1可由432,,线性表示D.43,线性无关答案：B。5.若A为6阶方阵，齐次线性方程组Ax=0的基础解系中解向量的个数为2，则r(A)=()A.2B.3C.4D.5【答案】C【解析】本题考查了齐次线性方程组Ax=0的基础解系的性质：基础解系中解向量的个数为未知数的个数减去A的秩。本题中，未知数的个数为6，基础解系中解向量的个数为2。由结论可知，A的秩为4。【提醒】另外要牢记基础解系的含义：首先，基础解系中每个向量都是解向量，它们是线性无关的；其次，方程组的所有解可以由它们线性表出。【点评】本题涉及内容是大纲要求的重点内容，每年必考的，常出现在选择和计算题中。热度：☆☆☆☆☆。【历年考题链接】（2010,1）6.设A是4×6矩阵，r（A）=2，则齐次线性方程组Ax=0的基础解系中所含向量的个数是（）A.1B.2C.3D.4答案：D。6.设A、B为同阶方阵，且r(A)=r(B)，则()A.A与B相似B.|A|=|B|C.A与B等价D.A与B合同【答案】C【解析】本题考查了矩阵相似、等价与合同等概念的区别。因为r(A)=r(B)，故A、B通过初等变换可以互相转化，从而A与B是等价的。【提醒】（1）若A,B为同型矩阵，A通过初等变换可以转化为B，则称A与B等价。（2）若存在可逆矩阵P，使得P-1AP=B，则称A与B相似。相似矩阵有相同的行列式和相同的特征值。（3）若存在可逆矩阵P，使得P，AP=B，则称A与B合同。若A与B合同，则它们也是等价的。【点评】这些概念与相关性质几乎是每年必考的，常出现在选择和填空题中。热度：☆☆☆☆☆。【历年考题链接】（2008,7）7.若A与B相似，则（）A.A，B都和同一对角矩阵相似B.A，B有相同的特征向量C.A-λE=B-λED.|A|=|B|答案：D。7.设A为3阶方阵，其特征值分别为2,1,0则|A+2E|=()A.0B.2C.3D.24【答案】D。【解析】本题考查了特征值的性质。已知A为3阶方阵，特征值分别为2,1,0，根据性质：,(),()()AAA若是矩阵的特征值是关于的多项式则是的特征值（含负指数），可得，A+2E的特征值为2+2，1+2,0+2，即：4,3,2。再根据性质：若n阶矩阵A的特征值为12,,,n，则12nA，可得，|A+2E|=4╳3╳2=24。【提醒】110,AA若（）是矩阵的特征值则的特征值为；若n阶矩阵A的特征值为12,,,n，则121122nnnaaa。【点评】本题涉及内容是考试热点，每年必考的，常出现在选择和填空中。热度：☆☆☆☆☆。【历年考题链接】（2008,7）18.设三阶方阵A的三个特征值为1，2，3.则|A+E|=___________.答案：24。（2010,1）9.设矩阵A=111131111的三个特征值分别为λ1，λ2，λ3，则λ1+λ2+λ3=（）A.4B.5C.6D.7答案：B8.若A、B相似，则下列说法错误．．的是()A.A与B等价B.A与B合同C.|A|=|B|D.A与B有相同特征值【答案】B【解析】本题考查了相似矩阵的性质。首先，相似矩阵有相同的行列式和相同的特征值；其次，由定义，A与B相似则存在可逆矩阵P，使得P-1AP=B。因为可逆矩阵P-1和P都能写成若干初等矩阵的乘积，而左乘初等矩阵相当于相应行变换，右乘初等矩阵相当于相应列变换，由P-1AP=B可知，A通过若干初等变换可以互相转化为B，从而A与B是等价的。用排除法可知本题选B。【提醒】（1）若存在可逆矩阵P，使得P，AP=B，则称A与B合同。若A与B合同或相似，则它们也是等价的，反之不一定成立。（2）若存在正交矩阵P，使得P-1AP=B，则可以得到A,B合同。【点评】本题与上面的第6题都考察了矩阵等价、合同、相似等概念和性质，这些内容需重点掌握，常出现在选择和填空题中。热度：☆☆☆☆☆。【历年考题链接】（2007,10）8．设3阶矩阵A与B相似，且已知A的特征值为2，2，3.则|B-1|=（）A．121B．71C．7D．12答案：A。9.若向量α=（1，-2,1）与β=(2，3，t)正交，则t=()A.-2B.0C.2D.4【答案】D。【解析】本题考查了向量的正交性。如果0T，则向量,正交。向量α=（1，-2,1）与β=(2，3，t)正交，由0T得，12(2)310t，解得4t。【提醒】3维向量正交性和空间解析几何中的向量垂直是相同的。记得什么是正交矩阵吗？【点评】本题涉及内容近年常考，多出现填空中。热度：☆☆☆☆。【历年考题链接】（2008,7）9.下列向量中与=（1，1，-1）正交的向量是（）A.1=（1，1，1）B.2=（-1，1，1）C.3=（1，-1，1）D.4=（0，1，1）答案：D10.设3阶实对称矩阵A的特征值分别为2,1,0，则()A.A正定B.A半正定C.A负定D.A半负定【答案】B。【解析】本题考查了实对称矩阵正定性的判定。n阶对称矩阵A正定的充分必要条件是A的n个特征值全是正数。n阶对称矩阵A是负定矩阵的充分必要条件是A的特征值全小于零。n阶对称矩阵A是半正定矩阵的充分必要条件是A的特征值全大于等于零，但至少有一个特征值等于零。【提醒】n阶对称矩阵A正定的另一个充分必要条件是：A的n个顺序主子式全大于零。【点评】正定性的判定是考察的重点。本题涉及内容是考试热点，每年必考的，常出现在选择和填空中。热度：☆☆☆☆。【历年考题链接】（2007,10）20．若实对称矩阵A=aaa000103为正定矩阵，则a的取值应满足_____________.答案：03a。二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。11.设A=421023,B=010112，则AB=_________________.【答案】2-2-401-03-56。【解析】本题考查了矩阵的乘法运算。将A中的第i行元素分别与B中的第j列对应元素相乘相加就得到新矩阵的第i行第j列元素，因此AB=421023010112=2-2-401-03-56。【提醒】只有当A的列数和B的行数相同的话，A，B才能相乘。另外，矩阵的乘法运算性质也要牢记（特别矩阵乘法不满足交换律）。【点评】矩阵乘法运算属基本技能，是考试热点，多出现在填空中，也有在计算题里。考试热度：☆☆☆☆☆。【历年考题链接】(2008,1)12.设A=411023,B=,010201则AB=___________.答案：326010142。12.设A为3阶方阵，且|A|=3，则|3A-1|=______________.【答案】9。【解析】本题与第3题考查内容基本相同。【提醒】见第3题。【点评】见第3题。13.三元方程x1+x2+x3=1的通解是_______________.【答案】1212123111010(,001xxkkkkx为任意常数）。【解析】本题考察的是线性方程组通解的求法。简述如下：先用初等行变换将增广矩阵化为行阶梯型矩阵，找到系数矩阵的秩，看增广矩阵的秩与系数矩阵的秩是否相等，若是，说明有解，否则无解；有解时，若系数矩阵的秩小于未知数个数，则方程组有无穷多解，存在基础解系；此时，确定自由未知量的个数并选定自由未知量（未知数的个数减去系数矩阵的秩），将所有向量用自由未知量表示出来，写成矩阵形式，即可得通解。本题，系数矩阵秩为1，自由未知量个数为3-1=2，选定自由未知量x2，x3，则有：1231223223233323111100,010(,00100xxxxxxxxxxxxxxxx