2012数学中考第一轮复习课件_第15讲_反比例函数

Page1第15讲反比例函数Page2考点一一般地，函数y＝kx或y＝kx－1(k是常数，k≠0)叫做反比例函数．1．反比例函数y＝kx中的kx是一个分式，所以自变量x≠0，函数与x轴、y轴无交点．2．反比例函数解析式可以写成xy＝k(k≠0)，它表明在反比例函数中自变量x与其对应函数值y之积，总等于已知常数k.反比例函数的定义Page3考点二反比例函数的图象和性质1．反比例函数y＝kx(k≠0)的图象是双曲线因为x≠0，k≠0，相应地y值也不能为0，所以反比例函数的图象无限接近x轴和y轴，但永不与x轴、y轴相交．2．反比例函数的图象和性质反比例函数y＝kx(k≠0)的图象总是关于原点对称的，它的位置和性质受k的符号的影响．(1)k＞0⇔图象(双曲线)的两个分支分别在一、三象限，如图①所示．图象自左向右是下降的⇔当x＜0或x＞0时，y随x的增大而减小(或y随x的减小而增大)．(2)k＜0⇔图象(双曲线)的两个分支分别在二、四象限，如图②所示．图象自左向右是上升的⇔当x＜0或x＞0时，y随x的增大而增大(或y随x的减小而减小)．Page4考点三由于反比例函数的关系式中只有一个未知数，因此只需已知一组对应值就可以．待定系数法求解析式的步骤：①设出含有待定系数的函数解析式；②把已知条件代入解析式，得到关于待定系数的方程；③解方程求出待定系数．反比例函数解析式的确定Page5考点四反比例函数y＝kx(k≠0)中k的几何意义：双曲线y＝kx(k≠0)上任意一点向两坐标轴作垂线，两垂线与坐标轴围成的矩形面积为|k|.理由：如图①和②，过双曲线上任意一点P作x轴、y轴的垂线PA、PB所得的矩形PAOB的面积S＝PA·PB＝|y|·|x|＝|xy|；∵y＝kx，∴xy＝k，∴S＝|k|，即过双曲线上任意一点作x轴、y轴的垂线，所得的矩形面积均为|k|，同理可得S△OPA＝S△AOB＝12|xy|＝12|k|.反比例函数图象中比例系数k的几何意义Page6考点五解决反比例函数的实际问题时，先确定函数解析式，再利用图象找出解决问题的方案，特别注意自变量的取值范围．反比例函数的应用Page7(1)(2010·桂林)若反比例函数y＝kx的图象经过点(－3,2)，则k的值为()A．－6B．6C．－5D．5(2)(2010·宁波)已知反比例函数y＝1x，下列结论不正确．．．的是()A．图象经过点(1,1)B．图象在第一、三象限C．当x1时，0y1D．当x0时，y随着x的增大而增大(3)(2010·兰州)已知点(－1，y1)、(2，y2)、(3，y3)在反比例函数y＝－k2－1x的图象上．下列结论中正确的是()A．y1y2y3B．y1y3y2C．y3y1y2D．y2y3y1Page8(4)(2010·眉山)如图，已知双曲线y＝kx(k0)经过直角三角形OAB斜边OA的中点D，且与直角边AB相交于点C.若点A的坐标为(－6,4)，则△AOC的面积为()A．12B．9C．6D．4【点拨】本组题主要考查反比例函数的图象和性质，解决此类问题时，往往用数形结合的思想方法在解题中能起到化繁为简、化难为易的作用．这是因为“形”能直观地启迪“数”的计算，“数”能准确地澄清“形”的模糊．【解答】(1)把x＝－3，y＝2代入得k＝xy＝－3×2＝－6，故选A.(2)∵k＝10，∴当x0时，y随着x的增大而减小，故选D.(3)∵－k2－10，∴两个分支在第二、四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大．当x＝－1时，y10.∵23，∴y2y30，∴y1y3y2，故选B.(4)∵D为OA的中点，所以D点的坐标为(－3,2)，∴k＝－3×2＝－6，即双曲线y＝－6x.当x＝－6时，y＝1，∴C(－6,1)．∴S△AOC＝12×6×4－12×6×1＝12－3＝9.Page9(1)(2010·天津)已知反比例函数y＝k－1x(k为常数，k≠1)．①若点A(1,2)在这个函数的图象上，求k的值；②若在这个函数图象的每一支上，y随x的增大而减小，求k的取值范围；③若k＝13，试判断点B(3,4)，C(2,5)是否在这个函数的图象上，并说明理由．(2)(2010·成都)如图，已知反比例函数y＝kx与一次函数y＝x＋b的图象在第一象限相交于点A(1，－k＋4)．①试确定这两个函数的表达式；②求出这两个函数图象的另一个交点B的坐标，并根据图象写出使反比例函数的值大于一次函数的值的x的取值范围．Page10【点拨】解一次函数与反比例函数综合性试题时，要注意运用“把问题的数量关系转化为图形的性质，或者把图形的性质转化为数量关系”的策略，这样可以使复杂的问题简单化、抽象的问题具体化．【解答】(1)①∵点A(1,2)在这个函数的图象上，∴2＝k－1，解得k＝3.②∵在函数y＝k－1x图象的每一支上，y随x的增大而减小，∴k－10.解得k1.③由k＝13得k－1＝12.∴反比例函数的解析式为y＝12x.将点B(3,4)代入y＝12x，可知点B的坐标满足函数关系式，∴点B在函数y＝12x的图象上．将点C(2,5)代入y＝12x，由5≠122，可知点C的坐标不满足函数关系式，∴点C不在函数y＝12x的图象上．Page11(2)解：①∵已知反比例函数y＝kx经过点A(1，－k＋4)，∴－k＋4＝k1，即－k＋4＝k.∴k＝2，∴A(1,2)．∵一次函数y＝x＋b的图象经过点A(1,2)，∴2＝1＋b，∴b＝1.∴反比例函数的表达式为y＝2x，一次函数的表达式为y＝x＋1.②由y＝x＋1y＝2x消去y，得x2＋x－2＝0.即(x＋2)(x－1)＝0.∴x＝－2或x＝1.∴x＝－2，y＝－1，或x＝1，y＝2.∵点B在第三象限，∴点B的坐标为(－2，－1)．由图象可知，当反比例函数的值大于一次函数的值时x的取值范围是x－2或0x1.Page121．反比例函数y＝1x(x＞0)的图象如图所示，随着x值的增大，y值(B)A．增大B．减小C．不变D．先减小后增大2．下列四个点中，有三个点在同一反比例函数y＝kx的图象上，则不在．．这个函数图象上的点是(B)A．(5,1)B．(－1,5)C．(53，3)D．(－3，－53)Page133．如图，在直角坐标系中，点A是x轴正半轴上的一个定点，点B是双曲线y＝3x(x＞0)上的一个动点，当点B的横坐标逐渐增大时，△OAB的面积将会(C)A．逐渐增大B．不变C．逐渐减小D．先增大后减小4．反比例函数y＝k－1x的图象在每条曲线上，y随x的增大而减小，则k的值可为(D)A．－1B．0C．1D．25．如图，正方形ABOC的边长为2，反比例函数y＝kx过点A，则k的值是(D)A．2B．－2C．4D．－46．若A(x1，y1)、B(x2，y2)是双曲线y＝3x上的两点，且x1＞x2＞0，则y1y2(填“＞”“＝”“＜”)．Page147.如图，已知直线y＝ax＋b经过点A(0，－3)，与x轴交于点C，且与双曲线相交于点B(－4，－a)、点D.(1)求直线和双曲线的函数关系式；(2)求△CDO(其中O为原点)的面积．答案：(1)直线的函数关系式为y＝－x－3双曲线的函数关系式为y＝－4x(2)S△CDO＝6Page15反比例函数训练时间：60分钟分值：100分反比例函数训练时间：60分钟分值：100分Page16一、选择题(每小题4分，共44分)1．(2010·常州)函数y＝2x的图象经过的点是()A．(2,1)B．(2，－1)C．(2,4)D．(－12，2)【解析】把x＝2，y＝1代入y＝2x中，等式成立，故(2,1)在y＝2x上．【答案】APage172．(2010·玉溪)如图所示的计算程序中，y与x之间的函数关系对应的图象所在的象限是()A．第一象限B．第一、三象限C．第二、四象限D．第一、四象限【解析】由题意得y＝－5x，所以图象在第二、四象限．【答案】CPage183．(2009中考变式题)反比例函数y＝(2m－1)xm2－2，当x0时，y随x的增大而增大，则m的值是()A．±1B．小于12的实数C．－1D．1【解析】由题意得m2－2＝－12m－10，解得m＝－1.【答案】CPage194．(2010·怀化)反比例函数y＝－1x(x0)的图象如图所示，随着x值的增大，y值()A．增大B．减小C．不变D．先增大后减小【解析】∵k＝－10，∴y随着x的增大而增大．【答案】APage205．(2010·台州)反比例函数y＝6x图象上有三个点(x1，y1)、(x2，y2)、(x3，y3)，其中x1x20x3，则y1、y2、y3的大小关系是()A．y1y2y3B．y2y1y3C．y3y1y2D．y3y2y1【解析】∵y＝6x，∴k＝60，∴图象在每个象限内y随x的增大而减小．∵x1x2，∴y1y2，∴y2y1y3.【答案】BPage216．(2010·莱芜)已知反比例函数y＝－2x，下列结论不正确．．．的是()A．图象必经过点(－1,2)B．y随x的增大而增大C．图象在第二、四象限内D．若x1，则－2y0【解析】∵k＝－20，∴在每个象限内y随x的增大而增大．【答案】BPage227．(2010·青岛)函数y＝ax－a与y＝ax(a≠0)在同一直角坐标系中的图象可能是()【解析】当a0时，y＝ax的分支在第二、四象限，y＝ax－a经过第一、二、四象限．【答案】DPage238．(2012中考预测题)如图所示，是一次函数y＝kx＋b与反比例函数y＝2x的图象，则关于x的方程kx＋b＝2x的解为()A．x1＝1，x2＝2B．x1＝－2，x2＝－1C．x1＝1，x2＝－2D．x1＝2，x2＝1【解析】y＝kx＋b与y＝2x图象的交点横坐标即为kx＋b＝2x的解，由图象可得x1＝1，x2＝－2.【答案】CPage249．(2009中考变式题)如果点A(x1，y1)和点B(x2，y2)是直线y＝kx－b上的两点，且当x1x2时，y1y2，那么函数y＝kx的图象大致是()【解析】∵y＝kx－b中，当x1x2时，y1y2，∴k0，∴y＝kx在第一、三象限．【答案】BPage2510．(2012中考预测题)在同一平面直角坐标系中，反比例函数y＝－8x与一次函数y＝－x＋2交于A、B两点，O为坐标原点，则△AOB的面积为()A．2B．6C．10D．8【解析】由y＝－8xy＝x＋2得A(－2,4)、B(4，－2)可求得S△AOB＝6.【答案】BPage2611．(2012中考预测题)反比例函数y＝kx的图象如图所示，点M是该函数图象上一点，MN垂直于x轴，垂足是点N，如果S△MON＝2，则k的值为()A．2B．－2C．4D．－4【解析】反比例函数图象上任意一点向两坐标轴作垂线，形成的矩形面积为|k|，故12|k|＝2，∴|k|＝4.由图象可知k0，∴k＝－4.【答案】DPage27二、填空题(每小题4分，共20分)12．(2010·益阳)如图，反比例函数y＝kx的图象位于第一、三象限，其中第一象限内的图象经过点A(1,2)，请在第三象限内的图象上找一个你喜欢的点P，你选择的P点坐标为________．【答案】答案不唯一，x、y满足xy＝2且x0，y0即可，如(－1，－2)．Page2813．(2009中考变式题)直线y＝ax(a0)与双曲线y＝3x交于A(x1，y1)、B(x2，y2)两点，则4x1y2－3x2y1＝________.【解析】由题意得，x1y1＝x2y2＝3，y1＝ax1，y2＝ax2，∴x1·ax1＝x2·ax2＝3，∴ax1x2＝－3，∴4x1y2－3x2y1＝4x1·ax2－3x2·ax1＝ax1x2＝－3(注意结合函数图象，确定x1与x2异号)【答案】－3Page2914．(2010·山西)如图，A是反比例函数图象上一点，过点A作AB垂直y轴于点B，点P在x轴上，△ABP的面积为2，则这个反比例函数的解