初中数学竞赛辅导讲义及习题解答-第19讲-转化灵活的圆中角

1第十九讲转化灵活的圆中角角是几何图形中最重要的元素，证明两直线位置关系、运用全等三角形法、相似三角形法都要涉及角，而圆的特征，赋予角极强的活性，使得角能灵活地互相转化．根据圆心角与圆周角的倍半关系，可实现圆心角与圆周角的转化；由同弧或等弧所对的圆周角相等，可将圆周角在大小不变的情况下，改变顶点在圆上的位置进行探索；由圆内接四边形的对角互补和外角等于内对角，可将与圆有关的角互相联系起来．熟悉以下基本图形、基本结论．注：根据顶点、角的两边与圆的位置关系，我们定义了圆心角与圆周角，类似地，当角的顶点在圆外或圆内，我们可以定义圆外角与圆内角，这两类角分别与它们的所夹弧度数有怎样的关系?读者可自行作一番探讨．【例题求解】【例1】如图，直线AB与⊙O相交于A，B再点，点O在AB上，点C在⊙O上，且∠AOC＝40°，点E是直线AB上一个动点(与点O不重合)，直线EC交⊙O于另一点D，则使DE=DO的点正共有个．思路点拨在直线AB上使DE=DO的动点E与⊙O有怎样的位置关系?分点E在AB上(E在⊙O内)、在BA或AB的延长线上(E点在⊙O外)三种情况考虑，通过角度的计算，确定E点位置、存在的个数．注：弧是联系与圆有关的角的中介，“由弧到角，由角看弧”是促使与圆有关的角相互转化的基本方法．【例2】如图，已知△ABC为等腰直角三形，D为斜边BC的中点，经过点A、D的⊙O与边AB、AC、BC分别相交于点E、F、M，对于如下五个结论：①∠FMC=45°；②AE+AF＝AB；③BCBAEFED；④2BM2=BF×BA；⑤四边形AEMF为矩形．其中正确结论的个数是()A．2个B．3个C．4个D．5个思路点拨充分运用与圆有关的角，寻找特殊三角形、特殊四边形、相似三角形，逐一验证．2注：多重选择单选化是近年出现的一种新题型，解这类问题，需把条件重组与整合，挖掘隐合条件，作深入的探究，方能作出小正确的选择．【例3】如图，已知四边形ABCD外接⊙O的半径为5，对角线AC与BD的交点为E，且AB2=AE×AC，BD＝8，求△ABD的面积．思路点拨由条件出发，利用相似三角形、圆中角可推得A为弧BD中点，这是解本例的关键．【例4】如图，已知AB是⊙O的直径，C是⊙O上的一点，连结AC，过点C作直线CD⊥AB于D(ADDB)，点E是AB上任意一点(点D、B除外)，直线CE交⊙O于点F，连结AF与直线CD交于点G．(1)求证：AC2=AG×AF；(2)若点E是AD(点A除外)上任意一点，上述结论是否仍然成立?若成立．请画出图形并给予证明；若不成立，请说明理由．思路点拨(1)作出圆中常用辅助线证明△ACG∽△AFC；（2）判断上述结论在E点运动的情况下是否成立，依题意准确画出图形是关键．注：构造直径上90°的圆周角，是解与圆相关问题的常用辅助线，这样就为勾股定理的运用、相似三角形的判定创造了条件．【例5】如图，圆内接六边形ABCDEF满足AB=CD=EF，且对角线AD、BE、CF相交于一点Q，设AD与CF的交点为P．求证：（1）ECACEDQD；(2)22CEACPECP．思路点拨解本例的关键在于运用与圆相关的角，能发现多对相似三角形．(1)证明△QDE∽△ACF；(2)易证DEQCPECP，通过其他三角形相似并结合(1)把非常规问题的证明转化为常规问题的证明．3注：有些几何问题虽然表面与圆无关，但是若能发现隐含的圆，尤其是能发现共圆的四点，就能运用圆的丰富性质为解题服务，确定四点共圆的主要方法有：(1)利用圆的定义判定；(2)利用圆内接四边形性质的逆命题判定．学历训练1．一条弦把圆分成2：3两部分，那么这条弦所对的圆周角的度数为．2．如图，AB是⊙O的直径，C、D、E都是⊙O上的一点，则∠1+∠2=．3．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，F是CG的中点，延长AF交⊙O于E，CF=2，AF=3，则EF的长为．4．如图，已知△ABC内接于⊙O，AB+AC=12，AD⊥BC于D，AD＝3，设⊙O的半径为y，AB的长为x，用x的代数式表示y，y=．5．如图，ABCD是⊙O的内接四边形，延长BC到E，已知∠BCD：∠ECD＝3：2，那么∠BOD等于()A．120°B．136°C．144°D．150°6．如图，⊙O中，弦AD∥BC，DA=DC，∠AOC=160°，则∠BOC等于()A．20°B．30°C．40°D．50°7．如图，BC为半圆O的直径，A、D为半圆O上两点，AB=3，BC=2，则∠D的度数为()A．60°B．120°C．135°D．150°8．如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，点P是弧AC上一点(点P不与A、C两点重合)，连结PC、PD、PA、AD，点E在AP的延长线上，PD与AB交于点F．给出下列四个结论：①CH2=AH×BH；②AD=AC；③AD2=DF×DP；④∠EPC=∠APD，其中正确的个数是()A．1B．2C．3D．49．如图，已知B正是△ABC的外接圆O的直径，CD是△ABC的高．(1)求证：AC·BC=BE·CD；(2)已知CD=6，AD=3，BD=8，求⊙O的直径BE的长．⌒⌒410．如图，已知AD是△ABC外角∠EAC的平分线，交BC的延长线于点D，延长DA交△ABC的外接圆于点F，连结FB，FC．(1)求证：FB=FC；(2)求证：FB2=FAFD；(3)若AB是△ABC的外接圆的直径，∠EAC=120°，BC=6cm，求AD的长．11．如图，B、C是线段AD的两个三等分点，P是以BC为直径的圆周上的任意一点(B、C点除外)，则tan∠APB·tan∠CPD=．12．如图，在圆内接四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=60°，AC=a，则四边形ABCD的面积为．13．如图，圆内接四边形ABCD中，∠A＝60°，∠B＝90°，AD=3，CD=2，则BC=．14．如图，AB是半圆的直径，D是AC的中点，∠B=40°，则∠A等于()A．60°B．50°C．80°D．70°15．如图，已知ABCD是一个以AD为直径的圆内接四边形，AB=5，PC=4，分别延长AB和DC，它们相交于P，若∠APD=60°，则⊙O的面积为()A．25πB．16πC．15πD．13π(2001年绍兴市竞赛题)16．如图，AD是Rt△ABC的斜边BC上的高，AB=AC，过A、D两点的圆与AB、AC分别相交于点E、F，弦EF与AD相交于点G，则图中与△GDE相似的三角形的个数为()A．5B．4C．3D．217．如图，已知四边形ABCD外接圆⊙O的半径为2，对角线AC与BD的交点为E，AE=EC，AB=2AE，且BD=32，求四边形ABCD的面积．⌒518．如图，已知ABCD为⊙O的内接四边形，E是BD上的一点，且有∠BAE=∠DAC．求证：(1)△ABE∽△ACD；(2)ABDC+AD·BC＝AC·BD．19．如图，已知P是⊙O直径AB延长线上的一点，直线PCD交⊙O于C、D两点，弦DF⊥AB于点H，CF交AB于点E．(1)求证：PA·PB=PO·PE；(2)若DE⊥CF，∠P=15°，⊙O的半径为2，求弦CF的长．20．如图，△ABC内接于⊙O，BC=4，S△ABC=36，∠B为锐角，且关于x的方程01cos42Bxx有两个相等的实数根，D是劣弧AC上任一点(点D不与点A、C重合)，DE平分∠ADC，交⊙O于点E，交AC于点F．(1)求∠B的度数；(2)求CE的长；(3)求证：DA、DC的长是方程02DFDEyDEy的两个实数根．⌒6参考答案