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学年论文(本科)学院数学与信息科学学院专业数学与应用数学年级2010姓名陈方华论文题目实数完备性基本定理之间的等价性指导教师陶有德职称副教授成绩2012年5月18日学号:201050311061目录摘要...............................................................................................................................................................2关键词.........................................................................................................................................................2Abstract......................................................................................................................................................2Keywords.................................................................................................................................................21.引言.........................................................................................................................................................22.实数基本定理的陈述....................................................................................................................23.定理1到定理6的循环证明....................................................................................................34.举例分析................................................................................................................................................4参考文献....................................................................................................................................................62实数完备性定理之间的等价性学生姓名:陈方华学号:20105031106数学与信息科学学院数学与应用数学专业指导教师:陶有德职称:副教授摘要:本文给出了实数理论的六个基本定理的循环证明关键词:实数基本定理;等价性;数列;极限;收敛Abstract:inthispaper,acycleofsixfundamentaltheoremofthetheoryofrealnumbersprove.Keywords:Realnumberofthefundamentaltheorem;equivalence;series;limits;convergence.1.引言实数基本定理以不同的形式刻划了实数的连续性和完备性,实数基本定理是建立与发展微积分学的基础.因此掌握这部分内容是十分必要的,本文主要给出实数理论的6个基本定理的循环证明.2.实数基本定理的陈述定理1(确界原理)非空有上(下)界数集,必有上(下)确界.定理2(单调有界原理)任何单调有界数列必有极限.定理3(区间套定理)若nnba,是一个区间套,则存在唯一一点,使得,2,1],,[nbann.定理4(有限覆盖定理)设],[ba是一个闭区间,为],[ba上的一个开覆盖,则在中存在有限个开区间,它构成],[ba上的一个覆盖.定理5(聚点原理)实轴上的有界无限点集至少有一个聚点.定理6(柯西收敛准则)数列}{na收敛对任给的正数,总存在某一个自然数N,使得Nnm,时,都有||nmaa.33.定理1到定理6的循环证明(1)定理1定理2(确界原理单调有界原理)证不妨设}{nx为单增有上界数列,即0M,n,有Mxn.记}|{nxUn,则由确界原理知U有上确界,不妨记为,则RUsup,从而0,N使得Nx成立.因为}{nx是单调递增数列,所以Nn,有nNxx.故)(,nxn.(2)定理2定理3(单调有界定理区间套定理)证因为11,,nnnnbaba,所以有1221bbbaaann从而可见数列na单增有上界,数列nb单减有下界故由单调有界定理可知Ra使得aannlim,Rb使得bbnnlim.且Nn有Nnaan,有nbb,所以nnbaba,,,于是成立nnabab0.又因为0)(limnnnab,所以ba.记ba,从而存在性得证.(3)定理3定理4(区间套定理有限覆盖定理)证(反证法)假设闭区间[,]ab有一个开覆盖不能用它的任有限个开区间覆盖.定义性质P:不能用中有限个开区间覆盖.Step(1)将ba,等分为两个子区间,则至少有一个具有性质,不妨记该区间为11,ba,则;baba,1,1;Step(2)将11,ba等分为两个子区间,则至少有一个具有性质,不妨记该区间为22,ba,则1122,baba;Step(n)将11,nnba等分为两个子区间,则至少有一个具有性质,不妨记该区间为nnba,,则11,,nnnnbaba;由此可得一个区间套nnba,且满足nnnabba24利用二等分法容易构造出满足性质P的区间套]},{[nnba.故由区间套定理可知,存在唯一的],[nnba,从而UU),(,NnN,0,有UUbann),(],[,这与],[nnba具有性质矛盾.这就证明了有限复盖定理.(4)定理4定理5(有限覆盖定理聚点原理)证(反证法)假设原命题不成立,则由于S是直线上的有界无限点集,即存在闭区间],[ba,使得],[baS,所以),(),,(],,[xUxUbax只含S中的有限多项.从而得],[ba的一个开覆盖记为.由有限覆盖定理可知存在的一个有限子覆盖记为1.所以1H只含有S中的有限多个点,这显然与1HS是矛盾的,故可知假设错误,原命题成立.(5)定理5定理6(聚点原理柯西收敛准则)证不妨设}{nx是无穷基本列,即有0,0N,使得Nnm,有nmxx.易证}{nx有界.由聚点原理可知}{nx至少有一个聚点,R),(,0U必含有}{nx的无限多项.从而Nn,0,任取),(U中满足Nm的某项mx,即可得到2mmnnxxxx.故)(,nxn(6)定理6定理1(柯西收敛准则确界原理)证设是S一个有上界非空数集,则Rb使得Sx有bx,取Sa构造区间],[ba.定义性质,区间中至少有一个数属于S,且区间的右端点为的S一个上界.仿(9)的证明,利用二等分法容易构造出满足性质的区间套]},{[nnba则由,0NnN,0时,有nnab.由于}{na单调递增,}{nb中的每一个元素都为}{na的上界.故Nnm,则有nnnmabaa.故由柯西收敛准则可知}{na收敛,记其极限为.由(3.1)易证)(,nbn.因此,011,0NnN,有),(,Ubann.由于nb都为S的上界,所以也为S的上界.从而可知,,,1SxNn),(],[Ubaxnn.即x,故为S的上确界.4.举例分析用数列的柯西收敛准则证明确界原理5证:设S为非空有上界数集,由实数的阿基米德性,对任何正数,存在整数k,使得k为的S上界,而1k不是的S上界,故存在1,k不是S的上界,即存在1,k分别取,....2,1,1nn,则对每一个正数n,存在相应的n,使得n为的S上界,而nn1不是的S上界,故存在S,,使得nn1,(6)又对正整数m,m是S的上界,故有,am,结合(6)式得nnm1;同理有mnm1,从而得nmnm1,1max于是,对任意的0,存在0N,使得当Nnm,时有nm由柯西收敛准则,数列n收敛,记nlim(7)现证明就是S的上确界,首先,对任何Sa和正整数n有na,由(7)式得a,即S的一个上界,其次.对任何0,由nn01及(7)式,对充分大的n同时有2,21nn.又因nn1不是S的一个上界,故存在S,,使得nn1,.结合上式得22,a.这说明为S的上确界,同理可证:若S为非空有下界数集,则必存在下确界.6参考文献[1]华东师范大学数学系.高等教育出版社,数学分析教材第一册[M].[2]钱吉林等主编〖数学分析题解精粹〗[M].[3]张筑生.数学分析新讲[M].北京:北京大学出版社,1990.[4]刘玉莲,傅沛仁.数学分析讲义[M].北京:高等教育出版社,1996.[5]华东师范大学数学系.数学分析(上册)[M].高等教育出版社,2001.[6]同济大学数学教研室编.高等数学[M].2000.
本文标题:实数完备性基本定理之间的等价性
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