全微分的推导

全微分的概念与计算一、全微分的定义二、全微分存在的条件三、全微分的几何意义四、全微分在近似计算中的应用复习:一元函数y=f(x)的微分)(xoxAyxxfy)(d可微可导一、全微分的定义),,(),(0000yxfyxxf),(),(0000yxfyyxf的偏增量和处对在点函数yxyxyxfz),(),(00,),(),(00可偏导在点若yxyxf)(),(),(),(000000xoxyxfyxfyxxfx)(),(),(),(000000yoyyxfyxfyyxfy的偏微分处对在点函数xyxyxfz),(),(00的偏微分处对在点函数yyxyxfz),(),(00定义:如果函数z=f(x,y)在定义域D的内点(x,y)可表示成,)(oyBxAz其中A,B不依赖于x,y,仅与x,y有关，称为函数),(yxf在点(x,y)的全微分,记作yBxAfzdd若函数在域D内各点都可微,则称函数f(x,y)在点(x,y)可微，机动目录上页下页返回结束处全增量则称此函数在D内可微..yBxA(2)偏导数连续),(),(yxfyyxxfz)()(lim0oyBxA下面两个定理给出了可微与偏导数的关系:(1)函数可微函数z=f(x,y)在点(x,y)可微),(lim00yyxxfyx由微分定义:得zyx00lim0),(yxf函数在该点连续机动目录上页下页返回结束偏导数存在函数可微即二、全微分存在的条件1.必要条件2.充分条件3.、可微的关系多元函数连续、可偏导定理1(必要条件)若函数z=f(x,y)在点(x,y)可微,则该函数在该点偏导数yyzxxzzdxz同样可证,Byz证:由全增量公式,0y令)(xoxA必存在,且有得到对x的偏增量),(yxxf),(yxf因此有xzxx0limA机动目录上页下页返回结束反例:函数),(yxf易知但])0,0()0,0([yfxfzyx因此,函数在点(0,0)不可微.)(o注意:定理1的逆定理不成立.22)()(yxyx22)()(yxyx0偏导数存在函数不一定可微!即:0,2222yxyxyx0,022yx机动目录上页下页返回结束)0,0(xf0)0,0(yf]),([yyxxf定理2(充分条件)yzxz,证：),(),(yxfyyxxfz)1,0(21xyxfx]),([yyyxfy),(2xyyxxfx),(1),(yyxf)],([yxf),(yyxfyyxfy]),([若函数的偏导数,),(连续在点yx则函数在该点可微分.机动目录上页下页返回结束0lim00yx,0lim00yxzyyxfxyxfyx),(),(yyxfxyxfzyx),(),(所以函数yx在点可微.机动目录上页下页返回结束0lim00yx,0lim00yx注意到,故有)(o220yxyx,0||||xyxfx]),([yyxfy]),([重要关系:函数可导函数可微偏导数连续函数连续机动目录上页下页返回结束、可微的关系多元函数连续、可偏导回头看全微分公式zzzyxdddyyzxxzzd.d的偏微分称为函数关于xxxzzx.d的偏微分称为函数关于yyyzzy这与物理中的叠加原理相符.dxxu推广:类似可讨论三元及三元以上函数的可微性问题.例如,三元函数),,(zyxfuud的全微分为ydyuzdzu机动目录上页下页返回结束uuuduzyxddd.22的全微分计算函数yyxz,2xyxz因为.d)2(d2d2yyxxxyz所以例1,22yxyz解,xyyexz,xyxeyz.2,2)1,2(2)1,2(eyzexz.d2dd22yexez所以.)1,2(处的全微分在点计算函数xyez例2解.2sin的全微分计算函数yzeyxu,1xu,2cos21yzzeyyu,yzyezu.dd)2cos21(ddzyeyzeyxuyzyz所以例3解xyoMN.f(x)dyx)(0xf)(dxyyxyx0limtan很小时当x)()(xxfxfxxf)(00xxx0)(0xf)(x微分是函数的局部线性化.用切线增量近似曲线增量dydy=在图上是哪条线段？=tanx复习一元函数微分y即：.yxxfxf)()(微分的几何意义三、全微分的几何意义的某邻域内有点则在可微在点　　设二元函数),(,),(),(0000yxyxyxfz),)(,())(,(),(),(00000000yyyxfxxyxfyxfyxfyx),)(,())(,(),(),(00000000yyyxfxxyxfyxfyxfyx那么),)(,())(,(),(00000000yyyxfxxyxfyxfzyx记空间中的平面方程}.1),,(),,({)),,(,,(00000000yxfyxfnyxfyxyx　　法向量为平面过点几何意义.,)),(,,(),(,),(),(000000点的切平面这张平面就是曲面在该以用平面来近似近旁的一小部分可在点则曲面处可微在点　　如果函数yxfyxyxfzyxyxfz0zzxzy0),(yxfzPQMNyAB),,(000zyxM),,(000zzyyxxNdz=AB:切面立标的增量z=f(x,y))(dyxzzz=AN：曲面立标的增量过点M的切平面：))(,())(,(000000yyyxfxxyxfyx即：dzz=AB+BN0zz0)(0zzyyxfxyxfyx),(),(0000)(.dz=AB用切面立标的增量近似曲面立标的增量很小时当y,xzdz全微分的几何意义四、全微分在近似计算中的应用.),(),(),(),(yyxfxyxfyxfyyxxfyx或　有近似等式都较小时且连续的两个偏导数在点　　当,,,),(),,(),(),(yxyxfyxfyxPyxfzyx.),(),(dyyxfxyxfzzyx有一圆柱体,受压后发生形变,它的半径有20cm增大到20.05cm,高度由100cm减少到99cm.求此圆柱体体积变化的近似值.设圆柱体的半径、高和体积依次为r,h和V,则有.π2hrV,ΔΔ,Δ,则有和得增量依次为和记vhrVhrhVrVVVhrΔΔdΔ,1Δ,05.0Δ,100,20得代入把hrhr例4解.ΔπΔπ22hrrrh)1(20π05.010020π2Δ2V.πcm2003积减少了即此圆柱体在受压后体).cm(π2003.)04.1(02.2的近似值计算,ln),(,),(1xxyxfyxyxfyyyx,0)2,1(,2)2,1(,1)2,1(yxfff.08.102.0004.021)04.1(02.2,),(yxyxf设,02.0Δ,04.0Δ2,,1则取yxyx例5解?.s004.02,cm1.0100.π422各为多少的绝对误差和相对误差误差而引起的与问由于测定分别为与振动周期现测得单摆摆长的公式是加速度利用单摆摆动测定重力gTlTlTlTlgg,ΔΔTlTl与时所产生的误差当作与如果把测量例6解.Δπ422gTlg的全增量的绝对值数产生的误差就是二元函则利用上述计算公式所,Δ,Δ都很小由于Tl.Δdgg来近似地代替因此我们可以用TTgllgggΔΔdΔ.的绝对误差与为与其中TlTlTlTglg),21(π4322TlTlT)004.02100221.0(π4322g的误差为这样就得到g).s/cm(93.422π5.0的绝对误差约为得代入上式把gTlTl,004.0,1.0,2,100从而g的相对误差约为%.5.02100π4π5.0222gg?)0,0(),(,)0,0()2(?)0,0(),0,0(,)0,0()1(.)0,0(),(),,(),(处可微在点为何值时　都存在偏导数为何值时试问的某一邻域内连续点在其中设函数　　yxfgffgyxgyxgyxyxfyx,0)0,()0,(,0等处的左右导数存在且相在函数因为只有固定xxgxxfyxfxfxΔ)0,0()0,Δ0(lim0Δ例7解.)0,0(存在则偏导数xfxxxgxΔ)0,Δ(Δlim0Δ),0,0(g),0,0(Δ)0,Δ(ΔlimΔ)0,0()0,Δ0(lim0Δ0Δgxxxgxfxfxx.0)0,0(,0)0,0(,.0)0,0(,).0,0()0,0(,)0,0(yxxfgfggf有时当类似地有这时只要存在　　欲使.)0,0(),0,0(,)0,0(),(,)2(必须都存在偏导数处可微在欲使条件根据函数可微分的必要　　　yxffyxf.0)0,0(),0,0(,0)0,0(,)1(等于都存在且时当知　　由yxffg.)0,0(),(ΔΔ)0,0(处的全微分在确是验证　　以下按全微分定义yxfyfxfyx]Δ)0,0(Δ)0,0([Δlim0yfxffyx考察极限)0,0()Δ,Δ(ΔfyxffyxyxΔΔΔΔ),)Δ()Δ((Δlim220yxf),Δ,Δ(ΔΔyxgyx,2ΔΔyx,)0,0(),(处连续在yxg,0)Δ,Δ(ΔΔlimΔlim00yxgyxf所以,0)0,0(时当g,0)0,0()Δ,Δ(lim0gyxg.0|d,)0,0(),()0,0(zyxf且处可微分在,)1(),0(,)1(),0(1nynynyfyyfyfxffyxfyx)0,0()0,0()0,0(),(于是.即结论成立.1)1()1(,,nymxyxyxnm公式证明有下列的近似的绝对值都很小假设　　,)1()1(),(nmyxyxf设,)1()0,(,)1()0,(1mxmxmxfxxf例8证,1)0,0(f则.1nymx内容小结1.微分定义:zyyxfxyxfdzyxd),(d),(22)()(yx2.重要关系:)(o函数可导函数可微偏导数连续函数连续机动目录上页下页返回结束3.微分应用•近似计算•估计误差yyxfxyxfyx),(),(yyxfxyxfyx),(),(绝对误差相对误差yyxxzyxfyxfδ),(δ),(δyyxxzyxfyxfyxfyxfzδ),(),(δ),(),(δ机动目录上页下页返回结束思考与练习1.P130题1(总习题9)函数),(yxfz在),(00yx可微的充分条件是();),(),()(00连续在yxyxfA),(),(,),()(00yxyxfyxfByx在的某邻域内存在;yyxfxyxfzCyx),(),()(0)()(22yx当时是无穷小量;22)()(),(),()(yxyyxfxyxfzDyx0)()(22yx当时是无穷小量.2.选择题D机