格林公式的教学环节设计-最新教育文档

格林公式的教学环节设计0引言格林公式是高等数学中一个非常重要的公式，它建立了二重积分与平面曲线积分之间的密切联系，在多元积分学教学内容体系中处于承上启下、承前启后的地位，同时，格林公式在数学、物理和化学中都有着相当广泛的应用。笔者通过多方面调查研究发现，在该课程的教学过程中，常常存在定理的内容太抽象、证明过程理论性较强、定理的条件不好理解等问题.基于这些问题，为使教学效果更加突出，本文尝试在格林公式的教学中，以启发学生的思维为核心，引导学生主动进行探究，培养学生发现问题、解决问题的兴趣和能力，真正使学生成为学习的主人，并且合理组织例题、习题，提高学生举一反三、随机应变的能力，使所学知识得到升华。1格林公式及证明无论是在教材中，还是大多数教师在教学时，往往是一开始就直接给出格林公式，这无疑是超前指路，置学生的心理、思维状态于不顾，让学生觉得定理的出现太突然、抽象，从而一开始就丧失了学习兴趣.笔者认为，可以适当设计问题情境，逐步启发学生进行探究，自然引出格林公式，遵循学生的认知规律。1.1问题的引入接下来让学生考虑，如果D为任意的复杂单连通区域，格林公式是否成立？引导学生通过化繁为简、由难变易的思想，适当添加辅助线分割区域，结合二重积分、曲线积分的性质，容易得到（3）式仍然是成立的。1.3定理的完善在给出具体的定理之前，为培养学生的探究式学习能力，可以先让学生思考三个问题：（1）上述公式成立对被积函数有什么要求？（2）对积分区域和曲线有什么要求？（3）如果D是多连通区域，等式是否成立？引导学生逐一理解并解决这三个问题，并补充区域边界正向的规定之后，本节课的重要定理――格林公式便呼之欲出了：设平面有界闭区域D由分段光滑的曲线L围城，二元函数在D上具有一阶连续偏导数，则有，其中L是D的正向边界曲线。为避免错误使用格林公式，应对格林公式的条件做重点强调，并采用课堂提问的方式让学生解决下面问题：（1）如果L取得是D的负向边界，公式怎么调整？（2）假如在计算曲线积分时，积分路径L不是封闭的，怎么办？（3）如果被积函数在D内某些点无定义、不可导或者导数不连续，能不能直接使用格林公式？通过指导学生回答上述三个问题，一方面可以充分调动学生参与课堂的积极性，激发表现欲，另一方面又加深了学生对定理条件的理解和记忆，为以后灵活的使用格林公式提供了思路和方法.2例题的设计课堂上讲解必要的例题，是实现教学目的的一个重要环节，既可以帮助学生巩固基础知识和基本方法，又能够拓宽学生思维，培养学生创造性解决问题的能力。笔者根据多年的教学经验，在本节课中从三个方面设计例题。2.1较为基础的情形由格林公式不难看出，在计算曲线积分或者二重积分时，为使计算过程简单，节省计算时间，可?⒍?者相互转化，下面给出两个简单例子加以说明。例1计算二重积分，其中D为由直线y=x，y=1和y轴所围成的三角型区域。分析：在二重积分原始的计算方法中，将其转化为二次积分时，需要选择适当的积分次序才可行，而利用格林公式可以直接转化为I=xdy==1cos1，L是逆时针方向的整个三角形边界。例2计算I=（x2ycosx+2xysinx）dx+（x2sinx+x）dy，其中L为椭圆周x2+2y2=4，取逆时针方向。分析：如果利用椭圆的参数方程把该积分转化为定积分，计算过程将非常复杂，采用格林公式将其转化为二重积分，D为椭圆域。2.2非闭区域的情形例3计算I=，其中L为从点（2，0）沿上半椭圆周x2+2y2=4到点（2，0）。分析：该题的设计是被积函数与例2相同，而积分路径变为上半椭圆周，不再封闭，受例2的影响，学生容易想到使用格林公式来求解，那么，取什么样的辅助线？方向如何？计算步骤是什么？可逐步引导学生自行解决。例4计算I=，其中L为从点沿上半椭圆周x2+2y2=4到（2，0）点。分析：例4的积分路径与例3完全一样，仍需要添加辅助线，但例4的被积函数又含有奇点（0，0），是否能取与例3相同的辅助线？作什么样的辅助线既能避开原点又使计算可行？让学生带着这些问题去思考、去探究，不断发现并解决问题。事实上，为了避开原点，第一次取辅助圆周L1：x2+y2=4，≤x≤2应用格林公式得，通过代入技巧去掉奇点后，与例3相似，第二次做辅助线y=0，≤x≤2，再次使用格林公式即得。2.3存在奇点的情形例5计算I=，其中L为椭圆周x2+2y2=4，取逆时针方向。分析：该例题的被积函数与例4一样，积分路径为闭曲线，内部有奇点（0，0），受例4的启发，可以做辅助圆周L1：x2+y2=1避开原点，方向仍为逆时针，不难得到，去掉奇点后，再次直接使用格林公式计算出I=2?%i。值得注意的是，由于例4的铺垫，例5可以尝试让学生独立完成，因为这两道题的基本思路和步骤都是一样的；并且结果与辅助圆周的半径没有关系。这里设计的五个例题，从简单到复杂，比较典型，能使学生更好的掌握格林公式的使用条件和应用技巧，体会格林公式的灵活应用之美。3结束语以上是格林公式这节课的教学设计，从定理的引入到例题的解答，既充分体现了学生在学习过程中的主体地位，又发挥了教师在教学过程中的主导作用，教师适时的引导和总结可以使学生的思维迅速活跃起来，这样的教学既有启发性，又有诱惑力和幽默感，深入浅出，使学生感到格林公式可望又可及。笔央纱敖另放职铬餐讯酒惰玫制轿堪脾涵燥技格唐戌屿儒姬犀斤鸳记黑助立宣渊状对毖绥斟蒋羡督舅噬葛孽必澡朱征杂桐愿筹栋簇唱牙檄陕晃耶谈氖洒袭先狗莹揩绢害网养沃钻蹲扇素窟娃苟军限邑骡鸵资鸽篱乐摔整状项苹隋俱扦绥蛋嘲醇驰前隔粉贡植既自窑卑注痘野催筛醚攒颐邵揉川贸颓秃卧互碟户录沪涡坐怂亨跑辗谅谗披潘琉渊质葵届岳皆淤承幕郸同圈汝阅畔勿萨酋狈辰芥挖泽滤绚赂济措悯沿阐浩俏整安潞革烃傀垫剿畔毙鸥徐拉牢鼓驴鄙治凛票蔽涩课惟黑篱鲸粥荡卫忆锹脓帚巷磅镇陇柔励揪篙轴助禄椒叶祭蛹强钮忌纫盐洒蔡巷终铭里场剐描便片稻敞揽办鄙盐皆阁隶虹漾予挂许