第十章-曲线积分与曲面积分

第十章曲线积分与曲面积分10.1对弧长的曲线积分一、求曲线cos,sin,tttxetyetze从0t到任意点间的那段弧的质量，设它各点的密度与该点到原点的距离的平方成反比，且在点(1,0,1)处的密度为1。（13(1)te）二、计算下列曲线积分：1.2Lyds，其中L为旋轮线：(sin)(1cos)xattyat（0t）。（324a）2.()Lxyds，其中L是顶点为(0,0),(1,0),(0,1)OAB的三角形边界。（12）3.22xyLeds，其中L是由极坐标曲线,0,ra所围成的区域的边界曲线。（2(1)aaeae）4.()Lxyzds，其中L由直线AB：(1,1,0),(1,0,0)AB及螺线cos,sin,(02)xtytztt组成。（3222）三、计算22cosLxyds，其中L是由22,,0yxyRxy所围成的第一象限部分的边界。（2sincosRRR）四、计算222Lyzds，其中L是圆：2222xyzaxy。（2a）五、计算Lxds，其中L由直线0,xyx及曲线22yx所围成的第一象限部分的整个边界。（2551212）10.2对坐标的曲线积分一、设一质点处于弹性力场中，弹力方向指向原点，弹力大小与质点到原点的距离成正比，比例系数为k。若质点从点(0,)a沿椭圆22221xyab在第一象限部分移动到点(0,)b，求弹力所做的功。（221()2kab）二、计算曲线积分22(2)(2)Lxxydxyxydy，其中L是抛物线2(11)yxx沿x增加的方向。（1415）三、计算2yLyxdxxedy，其中L是曲线3yx从点(0,0)O到点(1,1)的一段弧。（2322）四、计算2222()()Lxydxxydy，其中L是曲线11yx从点(0,0)到点(2,0)的一段。（43）五、计算ABCxdyydx，其中(1,0),(0,1),(1,0)ABC，AB为圆221xy的上半部分，BC为L是一段抛物线21yx。（43）六、计算Lxdy，其中L是由直线123xy和两个坐标轴构成的三角形闭路，沿逆时针方向。（3）七、计算222()2Lyzdxyzdyxdz，其中L是曲线23,,xtytzt从0t到1t的一段弧。（135）八、已知平面力场{,}Fyx，将单位质量的质点M从坐标原点沿直线移动到椭圆22221xyab在第一象限上，问终点在何处时，力F做功最大？并求出功的最大值。（max(,),222ababW）10.3格林公式及其应用一、利用曲线积分计算由旋轮线(sin)(1cos)xattyat（0t）与x轴所围区域的面积。（23a）二、利用格林公式计算下列曲线积分：1.222()()Lxydxxydy，其中L是顶点为(1,1),(3,3),(3,5)ABC的三角形的边界，沿逆时针方向。（12）2.22Lxydxxydy，其中L是圆周222xyR的逆时针方向。（0）3.2222(2)(2)Lxxyydxxxyydy，其中L是从点(0,1)A沿直线1yx到点(1,0)M，再从点M沿圆周221xy的逆时针方向到点(0,1)B。（23）4.[()][()]xxLfyemydxfyemdy，其中()fy具有连续的导数，L是连接点1(0,)Ay和2(0,)By的任何路径，且L与直线AB所围成的区域的面积为定值S，L总是位于直线AB的左方。（2121()()()mSfyfymyy）三、求22Lxdyydxdyxy，其中L为正方形1xy的逆时针方向。（2）四、设曲线积分2)Lxydxyxdy与路径无关，其中)x具有连续的导数，且，求)x，并计算积分(1,1)2(0,0))xydxyxdy。（21),2xx）五、求22(2)(2)Lyxydxxxydy，其中L是224xy的上半圆，由点(4,0)A到点(0,0)B的弧段。（2）六、求Lydxxdy，其中L是以(1,0),(0,1),(1,0)ABC为顶点的三角形的正向边界曲线。（1）七、证明：2223(36)(64)xxydxxyydy在xOy面上是某一函数(,)uxy的全微分，并求(,)uxy。（3224(,)3uxyxxyyC）八、求抛物线2()(0)xyaxa与x轴所围区域的面积。（26a）九、设()fx在(,)上有连续导数，求2221()[()1]Lyfxyxdxyfxydyyy，其中L是从点2(3,)3A到点(1,2)B的直线段。（4）10.4对面积的曲面积分一、计算下列曲面积分：1.22()xydS，其中是球面2222xyzR。（483R）2.xyzdS，其中是平面1xyz在第一卦限部分。（3120）3.22()xydS，其中是由圆锥面22zxy和平面1z所围成的圆锥体的表面。（1(21)2）4.()xyyzzxdS，其中是圆锥面22zxy被圆柱面222(0)xyaxa所截下的那块曲面。（464215a）5.3zdS，其中是抛物面222zxy（0z）。（11110）6.xydS，其中是曲面22zxy（01z）在第一卦限的部分。（55148240）二、求上半球壳2222(0)xyzaz的质量，此壳的面密度z。（3a）三、求均匀曲面222zaxy的重心坐标。（(0,0,)2a）10.5对坐标的曲面积分一、把对坐标的曲面积分(,,)(,,)(,,)PxyzdydzQxyzdzdxRxyzdxdy化为对面积的曲面积分：1.为平面32236xyz在第一卦限部分的上侧。（1(3223)5PQRdS）2.为球面2222xyza的内侧。（222xPyQzRdSxyz）二、计算()()()fxdydzgydzdxhzdxdy，其中(),(),()fxgyhz为连续函数，为直角平行六面体0,0,0xaybzc的表面外侧。（()(0)()(0)()(0)[]fafgbghchabcabc）三、计算xyzdxdy，其中为圆柱面222xyR在0,0xy两卦限内被平面0y及(0)yhh所截部分的外侧。（3213Rh）四、计算()()()yzdydzzxdzdxxydxdy，其中为圆锥面22zxy及平面(0)yhh所围成的空间区域的整个边界的外侧。（0）五、计算[(,,)][2(,,)][(,,)]fxyzxdydzfxyzydzdxfxyzzdxdy，其中(,,)fxyz为连续函数，为平面1xyz在第四卦限部分的上侧。（12）10.6高斯公式通量与散度一、利用高斯公式计算曲面积分：1.xydydzyzdzdxzxdxdy，其中是由1xyz和三个坐标面所围成的四面体的外侧表面。（18）2.()()()xyzdydzyzxdzdxzxydxdy，其中是椭球面2222221xyzabc的外侧。（43abc）二、求向径{,,}xyzr通过圆锥体221zxy（01z）全表面外侧的通量。（）三、求333xdydzydzdxzdxdy，其中是球面2222xyza的上半部分的外侧。（565a）四、求2222221[()()][()()][()]3zfaxaydydzfaxaydzdxxyzdxdyayax其中是球面2221xyz的下半部分的上侧，常数1a，f可导。（25）五、求2233()(sin)zxzyedydzxydzdxxzydxdy，其中是下半球面222zRxy的上侧。（565a）六、计算(2)xzdydzzdxdy，其中为有向曲面22(01)zxyz，其法向量与z轴正向的夹角为锐角。（）七、求下列向量场的散度：1.Ayzxzxyijk（div0A）2.Arr，其中xyzrijk（2222divAxyz）10.7斯托克斯公式环流量与旋度一、利用斯托克斯公式计算曲线积分：()()()Lzxdxxzdyxydz，其中L是椭圆2212xyxyz，从z轴正向往负向看，L的方向是顺时针方向。（2）二、求向量场(23)(3)(2)Azyxzyxijk的旋度。（{2,4,6}Arot）