高考数学数形结合的思想

数形结合的思想一、高考真题感悟已知函数f(x)＝|lgx|，0x≤10，－12x＋6，x10，若a，b，c互不相等，且f(a)＝f(b)＝f(c)，则abc的取值范围是__________．解：画出函数f(x)的图象，如下图所示：由图象知，要使f(a)＝f(b)＝f(c)，不妨设abc，则－lga＝lgb＝－12c＋6.∴lga＋lgb＝0，∴ab＝1，∴abc＝c.由图知10c12，∴abc∈(10,12)．考题分析本小题考查了分段函数的特征及性质、对数函数及其运算．重点考查了解决问题的方法即数形结合的思想方法．体现了对知识和能力的双重考查．易错提醒(1)找不到问题解决的突破口，即想不到用数形结合．(2)f(x)的图象的特征不清，忽视对(1,0)和(10,1)这两个特殊点的分析．(3)不会借助图形进行分析．二、思想方法概述1．数形结合的数学思想：包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面，其应用大致可以分为两种情形：一是借助形的生动性和直观性来阐明数之间的联系，即以“形”作为手段，“数”作为目的，比如应用函数的图象来直观地说明函数的性质；二是借助于数的精确性和规范严密性来阐明形的某些属性，即以“数”作为手段，“形”作为目的，如应用曲线的方程来精确地阐明曲线的几何性质．2．运用数形结合思想分析解决问题时，要遵循三个原则：(1)等价性原则．在数形结合时，代数性质和几何性质的转换必须是等价的，否则解题将会出现漏洞．有时，由于图形的局限性，不能完整的表现数的一般性，这时图形的性质只能是一种直观而浅显的说明，要注意其带来的负面效应．(2)双方性原则．既要进行几何直观分析，又要进行相应的代数抽象探求，仅对代数问题进行几何分析容易出错．(3)简单性原则．不要为了“数形结合”而数形结合．具体运用时，一要考虑是否可行和是否有利；二要选择好突破口，恰当设参、用参、建立关系、做好转化；三要挖掘隐含条件，准确界定参变量的取值范围，特别是运用函数图象时应设法选择动直线与定二次曲线．3．数形结合思想解决的问题常有以下几种：(1)构建函数模型并结合其图象求参数的取值范围；(2)构建函数模型并结合其图象研究方程根的范围；(3)构建函数模型并结合其图象研究量与量之间的大小关系；(4)构建函数模型并结合其几何意义研究函数的最值问题和证明不等式；(5)构建立体几何模型研究代数问题；(6)构建解析几何中的斜率、截距、距离等模型研究最值问题；(7)构建方程模型，求根的个数；(8)研究图形的形状、位置关系、性质等．4．数形结合思想是解答高考数学试题的一种常用方法与技巧，特别是在解填空题时发挥着奇特功效，这就要求我们在平时学习中加强这方面的训练，以提高解题能力和速度．具体操作时，应注意以下几点：(1)准确画出函数图象，注意函数的定义域；(2)用图象法讨论方程(特别是含参数的方程)的解的个数是一种行之有效的方法，值得注意的是首先要把方程两边的代数式看作是两个函数的表达式(有时可能先作适当调整，以便于作图)，然后作出两个函数的图象，由图求解．5．在运用数形结合思想分析问题和解决问题时，需做到以下四点：(1)要彻底明白一些概念和运算的几何意义以及曲线的代数特征；(2)要恰当设参，合理用参，建立关系，做好转化；(3)要正确确定参数的取值范围，以防重复和遗漏；(4)精心联想“数”与“形”，使一些较难解决的代数问题几何化，几何问题代数化，以便于问题求解．三、热点分类突破题型一数形结合思想在解决方程的根、不等式解集问题中的应用例1(1)设函数f(x)＝x2＋bx＋c，x≤0，2，x0.若f(－4)＝f(0)，f(－2)＝－2，则函数y＝g(x)＝f(x)－x的零点个数为_____．(2)使log2(－x)x＋1成立的x的取值范围是________．解(1)由f(－4)＝f(0)得16－4b＋c＝c.由f(－2)＝－2，得4－2b＋c＝－2.联立两方程解得：b＝4，c＝2.于是，f(x)＝x2＋4x＋2，x≤0，2，x0.在同一直角坐标系内，作出函数y＝f(x)与函数y＝x的图象，知它们有3个交点，进而函数亦有3个零点．(2)在同一坐标系中，分别作出y＝log2(－x)，y＝x＋1的图象，由图可知，x的取值范围是(－1,0)．变式训练1已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x－4)＝－f(x)，且在区间[0,2]上是增函数，若方程f(x)＝m(m0)在区间[－8,8]上有四个不同的根x1，x2，x3，x4，则x1＋x2＋x3＋x4＝________.解函数在[0,2]上是增函数，由函数f(x)为奇函数，可得f(0)＝0，函数图象关于坐标原点对称，这样就得到了函数在[－2,2]上的特征图象，由f(x－4)＝－f(x)⇒f(4－x)＝f(x)，故函数图象关于直线x＝2对称，这样就得到了函数在[2,6]上的特征图象，根据f(x－4)＝－f(x)可得f(x－8)＝－f(x－4)＝f(x)，函数以8为周期，即得到了函数在一个周期上的特征图象，就不难根据周期性得到函数在[－8,8]上的特征图象(如图所示)，根据图象不难看出方程f(x)＝m(m0)的四个根中，有两根关于直线x＝2对称，另两根关于直线x＝－6对称，故四个根的和为2×(－6)＋2×2＝－8.题型二数形结合思想在求参数、代数式取值范围问题中的应用例2已知函数f(x)＝2x－1，x0，－x2－2x，x≤0，若函数g(x)＝f(x)－m有3个零点，则实数m的取值范围为__________．思维启迪作出分段函数f(x)的图象，观察图象与y＝m的交点个数．解函数f(x)＝2x－1，x0，－x2－2x，x≤0＝2x－1，x0，－(x＋1)2＋1，x≤0，画出其图象如图所示．又由函数g(x)＝f(x)－m有3个零点，知y＝f(x)与y＝m有3个交点，则实数m的取值范围是(0,1)．探究提高解决函数的零点问题，通常是转化为方程的根，进而转化为函数的图象的交点问题．在解决函数图象的交点问题时，常用数形结合，以“形”助“数”，直观简洁．变式训练2若不等式logaxsin2x(a0，a≠1)对任意x∈0，π4都成立，则a的取值范围为____________．解记y1＝logax，y2＝sin2x，原不等式相当于y1y2，作出两个函数的图象，如图所示，知当y1＝logax过点Aπ4，1时，a＝π4，所以当π4a1时，x∈0，π4都有y1y2.题型三数形结合思想在求几何量中最值问题中的应用例3已知P是直线3x＋4y＋8＝0上的动点，PA、PB是圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0的两条切线，A、B是切点，C是圆心，求四边形PACB面积的最小值．思维启迪在同一坐标系中画出直线与圆．作出圆的切线PA、PB，则四边形PACB的面积S四边形PACB＝S△PAC＋S△PBC＝2S△PAC.把S四边形PACB转化为2倍的S△PAC可以有以下多条数形结合的思路．画出对应图形→利用数形结合明确所求→求解得结果解方法一从运动的观点看问题，当动点P沿直线3x＋4y＋8＝0向左上方或向右下方无穷远处运动时，直角三角形PAC的面积Rt△PAC＝12PA·AC＝12PA越来越大，从而S四边形PACB也越来越大；当点P从左上、右下两个方向向中间运动时，S四边形PACB变小，显然,当点P到达一个最特殊的位置，即CP垂直直线时，S四边形PACB应有唯一的最小值，此时PC＝|3×1＋4×1＋8|32＋42＝3，从而PA＝PC2－AC2＝22.∴(S四边形PACB)min＝2×12×PA×AC＝22.方法二利用等价转化的思想，设点P的坐标为(x，y)，则PC＝(x－1)2＋(y－1)2，由勾股定理及AC＝1，得PA＝PC2－AC2＝(x－1)2＋(y－1)2－1，从而S四边形PACB＝2S△PAC＝2·12PA·AC＝PA＝(x－1)2＋(y－1)2－1，从而欲求S四边形PACB的最小值，只需求PA的最小值，只需求PC2＝(x－1)2＋(y－1)2的最小值，即定点C(1,1)与直线上动点P(x，y)距离的平方的最小值，它也就是点C(1,1)到直线3x＋4y＋8＝0的距离的平方，这个最小值d2＝(|3×1＋4×1＋8|32＋42)2＝9，∴(S四边形PACB)min＝9－1＝22.方法三利用函数思想，将方法二中S四边形PACB＝(x－1)2＋(y－1)2－1中的y由3x＋4y＋8＝0解出，代入化为关于x的一元二次函数，进而用配方法求最值，也可得(S四边形PACB)min＝22.探究提高本题的解答运用了多种数学思想方法:数形结合思想，运动变化的思想，等价转化的思想以及函数思想，灵活运用数学思想方法，能使数学问题快速得以解决．变式训练3圆C的方程为(x－2)2＋y2＝4，圆M的方程为(x－2－5cosθ)2＋(y－5sinθ)2＝1(θ∈R)．过圆M上任意一点P作圆C的两条切线PE、PF，切点分别为E、F，则PE→·PF→的最小值是________．解由题意，可知圆心M(2＋5cosθ，5sinθ)，设x＝2＋5cosθ，y＝5sinθ，则可得圆心M的轨迹方程为(x－2)2＋y2＝25，如下图所示：由图分析可知，只有当P、M、C三点共线时，才能够使PE→·PF→最小,此时PC＝4,EC＝2,则PE＝PF＝23，且∠EPF＝2∠EPC＝2×30°＝60°，故PE→·PF→＝(23)2×cos60°＝6.四、规律方法总结1．利用数形结合解题，只需把图象大致形状画出即可，不需要精确图象．2．数形结合思想是解决高考数学试题的一种常用方法与技巧，特别在解填空题时更方便，可以提高解题速度．3．数形结合思想常用模型：一次、二次函数图象；斜率公式；两点间的距离公式(或向量的模、复数的模)；点到直线的距离公式等．五、经典练习1．函数f(x)＝(12)x－sinx在区间[0,2π]上的零点个数为_____．2．已知函数f(x)＝－2－x＋1，x≤0，f(x－1)，x0，，若方程f(x)＝loga(x＋2)(0a1)有且只有两个不同的实根，则实数a的取值范围是________．