第一章-刚体力学基础--物体的弹性

医用物理学第一章刚体力学基础物体的弹性在外力作用下，物体刚体的运动形式刚体平动质点运动平动：刚体运动过程中，其上任一条直线始终保持方向不变刚体第一节刚体运动学1.刚体的平动形状大小不发生变化组成物体的任意两质点间的距离始终保持恒定理想模型平动转动转动：刚体内各个质元都绕同一直线作圆周运动刚体的平面运动2.刚体的定轴转动定轴转动非定轴转动刚体的一般运动质心的平动绕质心的转动+zx刚体定轴转动的角速度和角加速度参考平面vv)()(ttt角位移)(t角坐标00规定:沿逆时针方向转动沿顺时针方向转动0dlimdtttv角速度矢量方向:右手螺旋方向v参考轴1)角速度和角加速度)(t角加速度ddtvvA）每一质点均作圆周运动特点:刚体定轴转动的转动方向可以用角速度的正负来表示vv00zz,,vvB）任一质点运动均相同,avvv但不同2)匀变速转动公式at0vv22100attxxv)(20202xxavv0t22002()21002tt质点匀变速直线运动与刚体匀变速转动公式对比恒量v3)角量与线量的关系trevvvvrvtevvvt2narartavnav2tnarerevvvtdd22ddddttav30s内转过的角度2220(5π)75πrad22(π6)2005ππrads306t例一飞轮半径为0.2m、转速为150r·min-1，因受制动而均匀减速，经30s停止转动。试求:（1）角加速度和在此时间内飞轮所转的圈数；解（1）,sradπ5100t=30s匀减速运动00设t=0s时转过的圈数r5.37π2N。求：（2）制动开始后t=6s时飞轮的角105πrads,0.2mr若已知：速度；（3）t=6s时飞轮边缘上一点的线速度、切向加速度和法向加速度。解（2）10π(5π6)4πrads6t解（3）2tπ0.2()0.105ms6ar222nsm6.31)π4(2.0ra2sm5.2π42.0rv例在高速旋转的微型电机里，有一圆柱形转子可绕垂直其横截面并通过中心的转轴旋转。开始起动时，角速度为零。起动后其转速随时间变化关系为：，式中。求：(1)t=6s时电动机的转速。(2)起动后，电动机在t=6s时间内转过的圈数。(3)角加速度随时间变化的规律。2()mt10rad/s2.0sm，　(2)解:(1)将t=6s代入得2()1067.6rad/smωωt2πN(3)2d220πrad/sdmttt300r第4章刚体的定轴转动ddtddt620(t-)dmt600rad质点:物体所受力均作用于一点，仅考虑力的大小和方向所产生的作用0,0iiFMvv圆盘静止不动0,0iiFMvv圆盘绕圆心转动FwFvFvFv力矩:反映力作用点的位置对物体运动的影响第二节刚体定轴转动的转动定律刚体:如何处理？力作用点的位置对物体的运动有影响吗？Pz*OsinMrFhFvMvFvrvhh:力臂MrFvvv力对转轴Z的力矩：1.2.1力对轴的力矩MvzOkvFvrv讨论zFFFvvvvzMkrFvvvsinzMrFvzFvFvA）若力不在转动平面内，将力分解为平行和垂直于转轴方向的两个分量B）合力矩等于各分力矩的矢量和123MMMMvvvvL对转轴的力矩为零zFvFv对转轴的力矩z1.2.2刚体定轴转动的转动定律tt()iiFma2()iiiMmriiiiiramFrMtt)(imirvOitFvtarQ22()()iiiiiMMmrmr转动定律：MJ2iirmJ转动惯量刚体在外力对定轴的合外力矩作用下，将获得角加速度，角加速度的大小与合外力矩的大小成正比，与刚体对该轴的转动惯量成反比转动惯量物理意义：转动惯性的量度质量连续分布刚体的转动惯量mrrmJiiid22质量元:md转动惯量的大小取决于刚体的质量、形状及转轴的位置注意1.2.3刚体相对定轴的转动惯量lO´Ordr设棒的线密度为，取一距离转轴OO´为处的质量元rrmddrrmrJddd22讨论：一质量为m、长为l的均匀细长棒，与棒垂直的轴位置不同rd2l2lO´O20231dmlrrJl转轴过端点垂直于棒22/02121d2mlrrJl转轴过中心垂直于棒r解：1）分析受力例如图，有一半径为R质量为的匀质圆盘，可绕通过盘心O垂直盘面的水平轴转动。转轴与圆盘之间的摩擦略去不计。圆盘上绕有轻而细的绳索，绳的一端固定在圆盘上，另一端系质量为m的物体。试求物体下落时的加速度、绳中的张力和圆盘的角加速度。mRommyRo'TvmPvTvm2）选取坐标注意：转动和平动坐标取向一致3）列方程ymaTmg牛顿第二定律（质点）TRJ转动定律（刚体）2/'2RmJ转动惯量yaR约束条件TT)'2(2mmmgay)'2/('mmmgmT2[(2')]mgmmR解得：例有一半径为R质量为m匀质圆盘，以角速度ω0绕通过圆心垂直圆盘平面的轴转动。若有一个与圆盘大小相同的粗糙平面(俗称刹车片)挤压此转动圆盘，故而有正压力N均匀地作用在盘面上，从而使其转速逐渐变慢。设正压力N和刹车片与圆盘间的摩擦系数均已被实验测出。试问经过多长时间圆盘才停止转动?解:取面积微元rlRNrFrfddπd20rldrddfF刹车片R其所受对转轴的摩擦力矩大小面积微元所受摩擦力矩：rlRNrFrfddπd2圆环所受摩擦力矩：22π202d2dπdddRrNrlRrNrFrMrf圆盘所受摩擦力矩：NRRrNrMMR32d2d022圆盘角加速度34MNJMR0034mRtN停止转动需时例一长为质量为匀质细杆竖直放置，其下端与一固定铰链O相接，并可绕其转动。由于此竖直放置的细杆处于非稳定平衡状态，当其受到微小扰动时，细杆将在重力作用下由静止开始绕铰链O转动。试计算细杆转动到与竖直线成角时的角加速度和角速度。lm解：细杆受重力和铰链对细杆的约束力作用，由转动定律得NFv1sin2mglJml2loPvNFv式中231mlJddt得3sin2gl由角加速度的定义dsin23dlg代入初始条件积分得：)cos1(3lgddddtddddAM21dAM力矩的功：1.3.1力矩的功力的空间累积效应力矩的空间累积效应ddddAPMMtt力矩的功率：orvvvFwxvvFvoxrvtFdrd第三节刚体定轴转动的转动动能定律力的功、动能、动能定理力矩的功、转动动能、动能定理ddAFrvvdtFsdtFr22211122JJ1.3.2刚体定轴转动的转动动能221iiikmEv1.3.3刚体定轴转动的转动动能定理21dAM动能定理：合外力矩对绕定轴转动的刚体所作的功=刚体转动动能的增量22221)(21Jrmiii2211ddddJJt质点运动刚体定轴转动速度加速度ddrtvvvddavvvt角速度角加速度ddtvvddtvv质量转动惯量动能转动动能mrJd2212kEJ212kEmv力力矩FvMvm例一根长为l、质量为m的均匀细棒，棒的一端可绕通过O点并垂直于纸面的轴转动，棒的另一端有质量为m的小球。开始时，棒静止地处于水平位置A。当棒转过角到达位置B，棒的角速度为多少?解:取小球、细棒和地球为系统,设A位置为重力势能零点。pBkBpAkAEEEEolm,mABgmgm0PkAAEE2kB21JE2221433mlmlml21JJJ)sinsin2(pBmgllmgEsin23mgl21)sin(23lgsin2343022mglml力矩的时间累积效应vipvjpv0,0pvv1.4.1刚体对轴的角动量pmvvv质点运动状态:力的时间累积效应LJvv刚体定轴转动运动状态:0,0pvv第四节刚体定轴转动的角动量角动量守恒定律动量、动量定理角动量、角动量定理2k12Emv2k12EJLrprmvvvvvv质点在垂直于z轴平面：rsinvrmL大小：方向符合右手法则vrvzmvvo901)质点角动量A质点角动量（相对圆心）：vmvrvLvz2mrrmLv（圆运动）：2)刚体定轴转动的角动量iiiiiiirmrmL)(2vJLzOirvimivv1.4.2刚体对定轴的角动量定理122121ddJJLtMLLttddLtd()dJt角动量守恒定律是自然界的一个基本定律守恒条件0M若不变，不变J0M常量JL讨论1.4.3刚体定轴转动的角动量守恒定律若变，也变JJL但不变是自然界的普遍适用的规律例：花样滑冰角动量定理：作用于刚体的合外力矩=刚体绕此轴的角动量随时间的变化率角动量定理：作用于刚体的合外力矩对定轴的角冲量=刚体对该轴的角动量的增量Mt角冲量MJddJt解:系统角动量守恒)(212211JJJJ)(212211JJJJ例两个转动惯量分别为J1和J2的圆盘A和B。A是机器上的飞轮,B是用以改变飞轮转速的离合器圆盘。开始时,他们分别以角速度ω1和ω2绕水平轴转动。然后,两圆盘在沿水平轴方向力的作用下。啮合为一体,其角速度为ω,求齿轮啮合后两圆盘的角速度。承受负荷作用的骨骼是人体的重要力学支柱讨论:刚体的静力学平衡人体的静力学平衡1.5.1刚体的静力平衡xyF0,F0,M0分力平衡的形式：刚体平衡的必要条件：0,0MF解题步骤:0,0YXFF0M４）求解以上联立方程２）选合适坐标，写出３）选合适转轴，写出１）分析刚体受力情况，画出受力图第五节人体的静力学平衡T：肌腱作用在脚上的张力WFT7o1)单脚站立脚的静力平衡1.5.2人体的静力平衡F：胫骨和腓骨作用在脚上的力W:地面作用在脚上的力(等于人体重量)sin7sin0cos7cos0ooTFTFW105.60WT力的平衡方程：力矩平衡方程：解得:1.82.84.5oTWFW跟腱中张力是体重的2倍(易撕裂)距骨上的力是体重的3倍(易骨折)2)作用在脊柱上的力脊柱被称为力学的奇迹。它支撑着头和整个躯干，有很好的承重能力，它可以前屈后仰，左右弯曲，灵活扭转。脊柱由26块骨头组成，其中，颈椎7块，胸椎12块，腰椎5块，骶骨1块(由5块骶椎骨融合而成)，尾骨1块(由几块尾椎骨融合而成)，如图所示。人的脊椎从侧面看，有四个明显的生理性弯曲：颈曲、胸曲、腰曲、骶曲。其颈曲和腰曲凸向前，胸曲和骶曲凸向后。这种形式是人类直立姿式所形成的特征。它可以增大胸腔和盆腔的容积。相邻椎骨之间靠椎间盘连接。此外，这些弯曲还像弹簧装置，可以减轻行走和跳跃时对于脑的冲击和震荡，起到良好的缓冲作用。脊柱的分解图中，W1表示躯干的重量，约为人体重量W的0.4倍，即W1=0.4W，其作用点位于躯干的中部。W2表示头和手臂的重量，约为体重的0.2倍。即:W2=0.2W，作用点位于颈椎的上端。F表示骶棘肌作用在脊柱上的力，它的作用点位于距脊柱上端1／3处，与脊柱的夹角为12°。R表示骶骨对脊柱的反作用力。设脊柱长为l，它与水平方向的夹角为30°，于是，F与水