峰度系数

2.7.6峰度系数By李嘉一.定义设随机变量𝐗的前四阶矩存在,则如下比值减去3𝜷𝒌=𝒗𝟒𝒗𝟐𝟐−𝟑=𝑬𝐗−𝑬𝑿𝟒𝑽𝒂𝒓𝑿𝟐−𝟑称为X（或分布）的峰度系数,简称峰度.二.认识峰度峰度是描述尖稍程度和（或）尾部粗细的一个特征数。1.任一正态分布𝑵(𝝁,𝝈𝟐)的峰度𝜷𝒌=𝟎;正态分布𝑵(𝝁,𝝈𝟐)的𝒗𝟐=𝝈𝟐,𝒗𝟒=𝟑𝝈𝟒,由定义得任一正态分布的峰度𝜷𝒌=𝟎.峰度不是指一般密度函数的峰值高低,因为正态分布的峰值为（𝟐𝝅𝝈）−𝟏,它与正态分布标准差𝝈成反比,𝝈愈小,正态分布的峰值愈高,这里峰度与𝝈无关.2.在定义中,分子分母各除以[𝛔𝐗]𝟒,并记𝐗的标准化变量𝐗∗=𝐗−𝐄(𝐗)𝛔(𝐗),则𝜷𝒌可改写成𝜷𝒌=𝐄(𝐗∗)𝟒[𝐄(𝐗∗𝟐)]𝟐−𝟑=𝐄𝐗∗𝟒−𝐄𝐔𝟒,其中𝐄𝐗∗𝟐=𝐕𝐚𝐫𝐗∗=𝟏,U为标准正态变量,𝐄𝐔𝟒=3.上式表明：峰度𝜷𝒌相对于正态分布而言的超出量,即峰度𝜷𝒌是𝐗的标准化变量与标准正态变量的四阶原点矩之差,并以标准正态分布为基准确定其大小.𝜷𝒌𝟎表示标准化后的分布比标准正态分布更尖峭和（或）尾部更粗(见图a)𝜷𝒌𝟎表示标准化后的分布比标准正态分布更平坦和（或）尾部更细(见图b)𝜷𝒌𝟎表示标准化后的分布与标准正态分布在尖峭程度与尾部粗细相当图a图b3.偏度与峰度都是描述分布形状的特征数,他们的设置都是以正态分布为基准,正态分布的偏度与峰度皆为0.在实际中一个分布的偏度与峰度皆为0或近似为0时,常认为该分布为正态分布或近似为正态分布.4.几种常见分布的偏度与峰度注：与偏度和峰度有关的参量被称为形状参量,如𝜶.三.例题例2.7.8计算伽玛分布𝑮𝒂(𝜶,𝝀)的偏度和峰度.解首先计算伽玛分布𝑮𝒂(𝜶,𝝀)的𝑘阶原点矩:𝐄𝐗=𝝀𝜶𝚪𝜶𝒙𝜶𝒆−𝝀𝒙∞𝟎𝒅𝒙=𝚪(𝜶+𝟏)𝚪(𝜶)𝟏𝝀=𝜶𝝀∵伽玛函数性质𝚪(𝜶+𝟏)=𝜶𝚪(𝜶)𝐄𝑿𝟐=𝝀𝜶𝚪𝜶𝒙𝜶+𝟏𝒆−𝝀𝒙∞𝟎𝒅𝒙=𝚪(𝜶+𝟐)𝝀𝟐𝚪(𝜶)=𝜶(𝜶+𝟏)𝝀𝟐∴𝑘阶原点矩:𝝁𝒌=𝐄𝑿𝒌=𝜶(𝜶+𝟏)(𝜶+𝒌−𝟏)/𝝀𝒌当𝒌=1,2,3,4时可得前四项原点矩𝝁𝟏=𝜶/𝝀𝝁𝟐=𝜶(𝜶+𝟏)/𝝀𝟐𝝁𝟑=𝜶(𝜶+𝟏)(𝜶+𝟐)/𝝀𝟑𝝁𝟒=𝜶(𝜶+𝟏)(𝜶+𝟐)(𝜶+3)/𝝀𝟒由此可得2、3、4阶中心距𝒗𝟏=𝝁𝟐−𝝁𝟏𝟐=𝜶/𝝀𝟐𝒗𝟐=𝝁𝟑−𝟑𝝁𝟐𝝁𝟏+𝟐𝝁𝟏𝟐=𝟐𝜶/𝝀𝟑𝒗𝟑=𝝁𝟒−𝟒𝝁𝟑𝝁𝟏+𝟔𝝁𝟐𝝁𝟏𝟐−𝟑𝝁𝟏𝟒=𝟑𝜶(𝜶+𝟐)/𝝀𝟒最后可得偏度与峰度𝜷𝑺=𝒗𝟑𝒗𝟐𝟑/𝟐=𝟐𝜶,𝜷𝒌=𝒗𝟒𝒗𝟐𝟐−𝟑=𝟔𝜶.谢谢