高一数学-5.5线段的定比分点(第一课时)-大纲人教版必修

●课题§5.5.1线段的定比分点●教学目标(一)知识目标1.线段的定比分点坐标公式；2.线段的中点坐标公式.(二)能力目标1.掌握线段的定比分点坐标公式及线段的中点坐标公式；2.熟练运用线段的定比分点坐标公式及中点坐标公式；3.理解点P分有向线段21PP所成比的含义；4.明确点P的位置及范围的关系.●教学重点线段的定比分点和中点坐标公式的应用.●教学难点用线段的定比分点坐标公式解题时区分＞0还是＜0.●教学方法启发引导式●教具准备投影仪、幻灯片第一张：例1(记作§5.5.1A)第二张：例2(记作§5.5.1B)●教学过程Ⅰ.课题引入［师］上一节，我们一起研究了平面向量的坐标表示问题，这一节，我们一起来研究线段的定比分点问题，并将学习定比分点坐标公式的具体应用.Ⅱ.讲授新课1.定比分点坐标公式：若点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，为实数，且PP1＝2PP，则点P的坐标为(121xx，121yy)，我们称为点P分21PP所成的比.说明：(1)定比分点坐标公式的推导应指导学生自学；(2)点P分12PP所成的比与点P分21PP所成的比是两个不同的比，要注意方向.2.点P的位置与的范围的关系：①当＞0时，PP1与2PP同向共线，这时称点P为21PP的内分点.特别地，当＝1时，有PP1＝2PP，即点P是线段P1P2之中点，其坐标为(221xx，221yy).②当＜0时，PP1与2PP反向共线，这时称点P为21PP的外分点.3.线段定比分点坐标公式的向量形式：在平面内任取一点O，设1OP＝a，2OP＝b，由于PP1＝OP－1OP＝OP－a，2PP＝2OP－OP＝b－OP且有PP1＝2PP，所以OP－a=(b－OP).即可得OP=1ba=11a＋1b.这一结论在几何问题的证明过程中应注意应用.［例1］已知点P为有向线段AB的外分点，则点P分有向线段AB的比的范围是________.A.＜0B.－1＜＜0C.＜－1D.－1＜＜0，或＜－1［师］大家在考虑问题时注意线段定比分点的定义.［生甲］因为点P为有向线段AB的外分点，根据内分＞0，外分＜0可知应选A.［生乙］应根据点P与A、B的相对位置进行讨论.解：由线段定比分点定义可知=－||||PBAP，点P位置可分两种情况.(ⅰ)当点P在点A的左侧时，∵0＜|PA|＜|PB|，∴0＜||||PBPA＜1.∴0＞－||||PBAP＞－1，即－1＜＜0.(ⅱ)当点P在点B的右侧时，∵|PA|＞|PB|＞0∴||||PBPA＞1∴－||||PBPA＜－1，即＜－1∴＜－1或－1＜＜0，故选D.［例2］已知A(1，3)，B(－2，0)，C(2，1)为三角形的三个顶点，L、M、N分别是BC、CA、AB上的点，满足BL∶BC＝CM∶CA＝AN∶AB＝1∶3，求L、M、N三点的坐标.分析：所给线段长度的比，实为相应向量模的比，故可转换所给比值为点L、M、N分向量BC、CA、AB所成的比，由定比分点坐标公式求三个点的坐标.另外，要求L、M、N的坐标，即求OL、OM、ON的坐标(这里O为坐标原点)，为此，我们可借用定比分点的向量形式.解：∵A(1，3)，B(－2，0)，C(2，1)，∴OA＝(1，3)，OB＝(－2，0)，OC＝(2，1)又∵BＬ∶BC＝CM∶CA＝AN∶AB＝1∶3∴可得：L分CB，M分AC，N分BA所成的比均为＝2∴OL＝11OC＋1OB＝)31,32()0,2(32)1,2(31OM=11OA+1OC=)35,35()1,2(32)3,1(31ON＝11OB＋1OA＝)2,0()3,1(32)0,2(31∴Ｌ(－31,32)、M(35,35)、N(0，2)为所求.［例3］已知三点A(0，8)，B(－4，0)，C(5，－3)，D点内分AB的比为1∶3，E点在BC边上，且使△BDE的面积是△ABC面积的一半，求DE中点的坐标.分析：要求DE中点的坐标，只要求得点D、E的坐标即可，又由于点E在BC上，△BDE与△ABC有公共顶点B，所以它们的面积表达式选定一公用角可建立比例关系求解.解：由已知有AD＝DB31，则得43||||ABDB又21ABCBDESS，而S△BDE＝21｜DB｜｜BE｜·sinDBE，S△ABC＝21｜AB｜｜BC｜sinABC，且∠DBE＝∠ABC∴21||||||||BCABBEDB，即得32||||BCBE又点E在边BC上，所以||||ECBE＝2，∴点E分BC所成的比＝2由定比分点坐标公式有221)3(20221524EEyx即E(2，－2)，又由631181311)4(310DDyx有D(－1，6).记线段DE的中点为M(x，y)，则2262212)1(2yx即M(21，2)为所求.［师］为巩固本节所学，下面我们进行课堂练习.Ⅲ.课堂练习课本P115练习1，2，3Ⅳ.课时小结［师］通过本节学习，要求大家掌握线段的定比分点坐标公式及中点坐标公式，并能熟练运用线段的定比分点坐标公式及中点坐标公式解决相关问题.Ⅴ.课后作业(一)课本P115习题5.51，2，3，4，5(二)1.预习内容课本P116～P1172.预习提纲(1)两向量的夹角有何前提?(2)平面向量积的定义及几何意义.(3)平面向量数量积的运算律有哪些?●板书设计§5.5.1线段的定比分点1.定比分点坐标公式112121yyyxxx2.点P位置与范围关系＜0，外分点＞0，内分点3.中点坐标公式22210210yyyxxx