第五章-贝塞尔函数讲解

第五章贝塞尔函数5.1贝塞尔方程在利用分离变量法求解其它偏微分方程的定解问题时，会导出其它形式的常微分方程的边值问题，从而得到各种各样的坐标函数---特殊函数。如贝塞尔函数、勒让德多项式等在2.3节分析了圆域内的二维拉谱拉斯方程的定解，温度是稳定分布，与时间没有关系。分离变量在极坐标系中：02202221100rruuurrrrrruf(,)()()urRr211'''''0RRRrr化简引入常量22220xyRuuf2'''0''0rRrRR欧拉方程5.1.1贝塞尔方程的导出假设半径为R的圆形薄盘，上下面绝热，圆盘边界上的温度始终保持为零度，且初始温度已知，求圆盘内温度的分布规律。由于温度是不是稳定分布，而是瞬时分布，即可表示这222200,xxyytxyRtauuuuuxy分离变量(,,,)(,)()uxyztVxyTt化简引入常量20''0xxyyVVVTaTHelmholtz方程(5.5)222221100rRVVVVrrrrV为了求Helmholtz方程(5.5)，可在极坐标中进行求解(5.7)(5.8)解：采用分离变量再次分离变量(,)()()VrFrG'''210''0FFFrrGG(5.9)(5.10)由于温度函数u(x,y,t)是单值的，所以v(x,y)也是单值，因此应是以2为周期的函数。因此，,方程(5.10)的解为：()G2n01()2Ga2()cossinnnGanbn2'''210nFFFrr2n将代入(5.9)式得到(5.11)n阶贝塞尔方程xr令，记F(r)=y(x)，则(5.11)转化为：2'''220xyxyxny(5.12)贝塞尔方程0F由于圆盘上的温度是有限的，如圆心。因此，,结合边界条件，(5.11)式可定义为求解以下定解问题。2'''220rFrFrnF00FRF(5.12)为二阶变系数常微分方程，其解称贝塞尔函数或柱函数2'''220xyxyxny(5.12)贝塞尔方程求解贝塞尔方程(5.12)，假设如下幂级数解：000skkkyxaxa(5.13)将(5.13)代回贝塞尔方程(5.12)，整理得到：2222101222210ssskkkksnaxsnaxsknaax故有：由于，可得,需要分别讨论：00a12snsn2202212220100kksnasnasknaa(5.14)(5.15)(5.16)情形1：n不为整数和半奇数，则s1-s2=2n也不为整数。取s1=n代入(5.15)式得到a1=0,代入(5.16)式得到：213502kkaaaaaknk(5.17)212012!1nmmnmnmxyxmnxmJ(5.18)Jn(x)称为n阶第一类贝塞尔函数将所求的系数代回(5.13)式得到第一个特解202112!12mmmaamnnnm引入函数并利用其递推式：，则一般项的系数变为：1nnn202112!1mmmaamnm取s2=-n时：0121nan222012!1nmmnnmmxyxJxmnm(5.19)可以得到方程另一个特解J-n(x)称为-n阶第一类贝塞尔函数Yn(x)称为n阶第二类贝塞尔函数，诺伊曼函数Jn(x)和J-n(x)线性无关，故贝塞尔方程(5.12)的通解可表示为：nnyxJxAxBJ(5.20)cot,cscAnBn令，则(5.20)可写成cossinnnnJxnJxYxn(5.21)第二个线性无关特解贝塞尔方程(5.12)的通解可表示为：nnyxJxCDYx(5.22)情形2：n为整数，则s1-s2=2n也为整数。与前面相同处理，当n=0时，方程的一个解为：22012!nmnmmnmJxmnmx(5.23)22012!1nmmnmmnxmnJmx1nnnJxJxcosilimsnaananJxaJxYxa(5.21)可见，不论n是不明为整数，贝塞尔方程(5.12)的通解都可以表示为：nnyxJxCDYx情形3：n为半奇数后面讨论。05101520-0.500.51Jn（x）05101520-35-30-25-20-15-10-505Yn（x）0246810012345Kn（x）0246810050010001500200025003000In（x）22012!1nmmnmmnxnxmmJ(5.18)5.2贝塞尔函数的递推式1nnnndxJxxJxdx由(5.18)式可以得到第一类贝塞尔函数递推式：1nnnndxJxxJxdx1nnnJxJx112nnnnJxJxJxx'112nnnJxJxJx1nnnndxNxxNxdx1nnnndxNxxNxdx第二类贝塞尔函数112nnnnNxNxNxx'112nnnNxNxNx半奇数阶贝塞尔函数122012sin32!2mnmmxxxmxmJ122cosxxJx246810-0.4-0.20.20.40.60.8150JJ5.1.2.虚宗量贝塞耳方程阶虚宗量贝塞耳方程n22222()0dRdRxxxnRdxdxix22222()0dRdRnRdd220()(1)()!(1)2nkknknkixJknk220()!(1)2nknnkkixiknk201()()()!(1)2nnknnkxIxiJixknk定义：201()()!(1)2nnknkxJiknk201()()()!(1)2nnknnkxIxiJixknk通解：)()()(2211xICxICxy5.3贝塞尔函数展开为级数由于圆盘上温度的定解问题可表示：2'''2200,0rFrFrnFrFRF贝塞尔方程(5.32)的通解可表示为：nnyxJxYCDx(5.32)(5.33)0nJR(5.34)由于(5.34)式可知：当取不同值时，Jn(x)有零值,即贝塞尔函数的零点。由于为无穷大，由边界条件可以得到D=0，再利用另一个条件可以得到：0nY1.Jn(x)有无穷多个零点,关于原点对称分布。2.Jn(x)的零点和Jn+1(x)的零点是彼此相间分布，且Jn(x)的零点更靠近坐标原点。3.当x趋于无穷大时，Jn(x)两个零点之间的距离接近于π。05101520-0.500.51J0(x)J1(x)利用上述关于贝塞尔函数的零点的结论，可设为Jn(x)的正零点，则由（5.34）可得：1,2,nmmL1,2,nmRmL即21,2,nnmmmRL与这些固有值相对应的函数F可表示为：1,2,nmmnFrJrmRL二、正交关系贝塞耳方程是施图姆－刘维尔本征值方程：0][222RRmdRddxdmn在区间(0,R)上带权r正交：00nnRmknnrJrJrdrmkRR三贝塞耳函数的模定义积分：200nRmnrJrdrR的平方根，为贝塞尔函数的模：nmnJrR222102nRnmnnmRrJrdrJR四傅立叶-贝塞耳级数在求解贝塞耳方程时，往往要把已知函数按贝塞耳函数展开为级数。如果f(r)为定义在区间(0,R)内的分段连续函数，且积分的值有限，则它必可以展开为以下级数形式：120Rrfrdr1nmmnmfrCJrR(5.42)性质：1.在级数f(r)的连续点(5.42)收敛于f(r);2.在级数f(r)的间断点r0收敛于该点的左右极限平均值。傅立叶-贝塞耳级数02212nRmnmnnmrfrJrdrRCRJ(5.43)系数Cm可以由下式确定：傅立叶-贝塞耳系数